Лекции Бесов, страница 7

Пусть, , , # ;функции , # определены на , . Тогда:1Æ # ;2Æ # ;то3Æ если, кроме того, 0 и Æ 0 # 0 при , Ƨ 3.5. Критерий Коши41Д о к а з а т е л ь с т в о всех свойств проводится по однойи той же схеме, поэтому приведём доказательство лишь длясвойства 2Æ .Пусть последовательность такова, что , ,Тогда # в силу определения 3.3.2.По свойству пределов последовательностей # .

В силу произвольности последовательности по определению 3.3.2 получаем, что # . § 3.5. Критерий КошиТеорема 1 (критерий Коши существования конечного преде0, 0 .ла функции). Пусть функция определена на Тогда для существования конечного предела необ-0ходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Коши: 0 Æ Æ 0 , Д о к а з а т е л ь с т в о.Необходимость.

Пусть . Тогда 0 Æ Æ 0: , , . Отсюда 2 , , что и требовалось показать.Æ00ÆÆ00Достаточность. Пусть выполняется условие Коши. Покажем, что существует . Для этого воспользуемся опре0делением 3.3.2 предела функции (т. е. определением в терминах0 , 0 при последовательностей). Пусть .Возьмём произвольное 0. Пусть Æ Æ 0 взято из условия Коши. В силу определения предела последовательности найÆ 0 Æ .дётся Æ , такое, что Отсюда и из условия Коши имеем , Последовательность сходится в силу критерия Кошидля последовательностей.

Пусть .Для завершения доказательства остаётся показать, что для0, 0 (любой последовательности , ), 42Гл. 3. Предел функции (существующий по уже доказанному) такжеравен . Предположим противное: для неко0, 0 ( ).торой последовательности , Рассмотрим последовательность 1 , 2 , 3 , 4 , . . ..пределОна, очевидно, расходится (имеет два различных частичныхпредела и ).

Это противоречит доказанной сходимости всякой последовательности значений функции для сходящейся к 0последовательности значений аргументов.Теорема доказана.§ 3.6. Односторонние пределыПусть 0, Æ 0. Множество Æ 0 0 0 Æ , 0 называют левой полуокрестностью точки 0 радиуса Æ . Через 0 0 обозначают левую полуокрестность точки 0 произвольного радиуса.Множество Æ 0 0 0 , 0 Æ называется правой полуокрестностью точки 0 радиуса Æ . Через 0 0 обозначают правую полуокрестность точки 0 произвольного радиуса.Проколотыми полуокрестностями называют соответственно: 0 0 Æ, , 0 0 , 0 0 , Æ, 0 0 Определение 1. Пусть , и пусть функция определенана 0.

Точка называется пределом слева функции в точке (пишут 0 , или ), если 0 Æ Æ 0 0 Æ 0Æ00Æ000Æ000000000000000 0Æ 00Аналогично определяется предел справа функции в точке. Он обозначается через 0 0, или .0 0Пределы функции слева и справа называются односторонними пределами функции.§ 3.7. Пределы монотонных функций43Будем пользоваться также следующими обозначениями дляпределов: , Упражнение 1. Сформулировать определения пределов слеваи справа в терминах последовательностей.Упражнение 2.

Сформулировать и доказать критерий Кошисуществования конечного одностороннего предела функции.Замечание 1. Можно расширить общее определение пределафункции , , считая в нём либо числом, либоодним из символов,, , 0 0, 0 0, где 0. Тогдаэто определение предела функции будет содержать и только чтовведённые понятия предела слева и предела справа. 0 .Лемма 1. Пусть 0, функция определена на Тогда для существования необходимо и достаточно0существования каждого из пределов 0равенства 0 0 0 0. 0 и 00 и ихУпражнение 3.

Доказать лемму.§ 3.7. Пределы монотонных функцийОпределение 1. Функция : называется возрастающей (убывающей) на , если из 1 , 2 , 1 2следует 1 2 ( 1 2 ).Если вместо( ) можно написать ( ), то функциюназывают строго возрастающей (строго убывающей).Возрастающие и убывающие функции называются монотонными. Строго возрастающие и строго убывающие функции называются строго монотонными.на Теорема 1. Пусть , . Тогда0 , функция возрастает , Замечание 1. В случае подД о к а з а т е л ь с т в о. Пусть , 0 понимается ..

Возьмёмпроизвольное 0. Из определения верхней грани функцииследует, что , : . Выберем Æ Æ 0таким, что Æ (т. е. Æ лежит правее ). Тогда 44Æ Гл. 3. Предел функции 0 в силу возрастания функции . Следовательно, 0 .Упражнение 1. Доказать соответствующую теорему дляубывающей функции, а также для предела 0.Следствие. Пусть функция монотонна на , 0 .

Тогдасуществуют конечные пределы 0 0, 0 0.§ 3.8. Бесконечно малые и бесконечно большиефункции. Сравнение функцийПусть илиявляется одним из символов,,0 (0).Определение 1. Функция , определённая на некоторой проколотой окрестности , называется бесконечно малой (бесконечно большой) при , если 0 ( ).0 0, 0Упражнение 1.

Показать, что произведение конечного числабесконечно малых функций является бесконечно малой функцией.Упражнение 2. Показать, что произведение бесконечно малой функции на ограниченную является бесконечно малой функцией.Далее будем считать, что функции , # определены на неко , гдеторой проколотой окрестности либо являетсяодним из символов:,, 0 0, 0 0 (0).Определение 2.

Пусть существует постоянная $ 0, такая,что $ #1).Тогда пишут '# при Определение 3. Функции и # называются функциямиодного порядка при , если '#, # ' При этом пишут # при Лемма 1. Пустьпри ( ., (являются функциями одного порядка при 1) 0. Тогда и #.Читается: есть «» большое относительно при , стремящемся к.§ 3.8. Сравнение функцийД о к а з а т е л ь с т в о. Имеемвательно, при некотором Æ 012Отсюда#32( 3245 ( 0. Следо-( ( , Æ2 # ,Æт. е.

и # — функции одного порядка.Определение 4. Функции и # называются эквивалентными (асимптотически равными) при (записывается , причём # при ), если )#, ) 1.Отношение эквивалентности обладает свойствами:1Æ # при # при (симметрия);2Æ #, # при при (транзитивность).Упражнение 3. Доказать свойства 1Æ , 2Æ . Лемма 2. Пусть 1. Тогда # при при при 2 12 1г) 2 1в)20;;;0;д) ниже будет показано, что при .Примеры.а) 2 ' при б) '2 при 4 0 1 1Определение 5.

Функция # называется бесконечно малой по сравнению с функцией при (записывается , причём# * при ) 1), если # , 0.1)Читается есть «» малое относительно при , стремящемся к.46Гл. 3. Предел функцииЕсли при этом функции , # являются бесконечно малымипри , то говорят, что функция # является бесконечномалой более высокого порядка, чем функция .Запись *1 при означает по определению, что — бесконечно малая функция при .Примеры.а) 2 * при 0;2б) * при .Замечание 1.

Последние три определения наиболее содержательны, когда и # — бесконечно малые или бесконечно большие функции.Теорема 1. Пусть ,##111 , то существует и 1 при . Если существует1 . 1 Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно заметить, чтои что 111 1 1Пример 1.2 01 2 0 1Глава 4НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ§ 4.1. Непрерывность функции в точкеБудем считать, что функция определена на 0 , 0.Обозначим: 0 , 0 0 0 .Определения.

Функция называется непрерывной в точке0 , если выполняется какое-либо из следующих условий:(1) 0 ;(2)(3)(4)(5)(6) 0 0 ( ); 0 0 0 0 Æ Æ 0: 0 : 0 Æ ; 0 Æ Æ 0: Æ 0 0 ; 0 0 : 0 0 ; : 0 , 0 () имеет место 0 (). Эквивалентность определений (1) – (6) следует из эквивалентности соответствующих определений предела функции.Обратим внимание на то, что в определении (3) можетсовпадать с 0 , а в определении (6) может совпадать с 0 .Однако при добавлении условия 0 в определение (3) илиусловия 0 в определение (6) соответствующее определениезаменяется на эквивалентное.Теорема 1 (о сохранении знака функции). Пусть функция непрерывна в 0 , 0 0 0 0. Тогда 0 : 0 0 0.Д о к а з а т е л ь с т в о.

Непрерывность функции в точке0 означает, в частности, что определена на некоторой окрестности точки 0 . Пусть, для определённости, 0 + 0. Возьмём +2 0. Тогда, по определению (3) непрерывности, существует Æ 0, такое, что 0 +2 при 0 Æ ,откуда следует, что 0 + 2 2 0 при Æ00Теорема 2 (арифметические свойства непрерывных функций). Пусть функции , # непрерывны в точке 0 . Тогда функции #, #, #, а при #0 0 и непрерывны в точке 0 .48Гл.

4. Непрерывные функцииД о к а з а т е л ь с т в о. Напомним, что # #. Аналогично определяются произведениеи частное двухфункций. Докажем лишь, что функциянепрерывна в 0 (для # и # доказательства аналогичны).По предыдущей теореме : # 0 при , такчто частноеопределено на00 0 . Имеем теперь, используясвойства пределов и непрерывность функций , #: 00 00 0 ,00что и требовалось доказать.Упражнение 1. Доказать непрерывность многочленов и рациональных функций в каждой точке областей их определения.§ 4.2. Предел и непрерывность сложной функцииПусть функция определена на , а функция — на ! ,причём ! . Тогда сложная функция (суперпозиция, композиция функций , ) определяется на ! формулойÆ Æ " "," !Теорема 1 (о непрерывности суперпозиции непрерывныхфункций).