Лекции Бесов, страница 4

Любой из них (IVK в сочетании с A) можно былобы взять в качестве аксиомы непрерывности при определении18Гл. 1. Множество действительных чиселмножества действительных чисел, а другие доказать в качестветеорем.Два из указанных в диаграмме логических следствий ужеустановлены, другие два предлагается доказать читателю в качестве упражнения. Было доказано также (теорема 1.3.1), чтоD K.Теорема 2 (принцип математической индукции). Пусть множество обладает свойствами:1Æ 1;2Æ 1.Тогда .Д о к а з а т е л ь с т в о. Последовательно убеждаемся, что 2 1 1, 3 2 1, . .

. . Следовательно, . Отсюдаи из следует .Замечание 1. Мы видим, что принцип математической индукции следует непосредственно из определения множества натуральных чисел. Существуют и другие построения теории действительных чисел, в которых этот принцип берется в качествеаксиомы. § 1.5. Счётные и несчётные множестваОпределение 1.

Будем говорить, что между двумя множествами и установлено взаимно однозначное соответствие, и писать , если:1Æ каждому поставлен в соответствие один и толькоодин элемент ( );2Æ если 1 2 , 11 , 2 2 , то 1 2 ;3Æ : .Определение 2. Два множества и называются эквивалентными (пишут ), если между ними можно установитьвзаимно однозначное соответствие.Эквивалентные множества называют также равномощными,при этом говорят, что они имеют одну и ту же мощность («одинаковое» количество элементов).Пример 1. 2, 4, 6, 8, 10, . . .

.Определение 3. Множество называется счётным, если оноэквивалентно множеству натуральных чисел, иначе говоря, еслиего можно занумеровать всеми натуральными числами.Упражнение 1. Доказать, что бесконечное подмножествосчётного множества счётно. § 1.5. Счётные и несчётные множества19Теорема 1. Множество рациональных чисел счётно.Д о к а з а т е л ь с т в о.

Составим таблицу чисел (открытуюснизу и справа), содержащую все рациональные числа:123...010/10/20/3...1/11/21/3...1111213...22/12/22/3...23212223...3/13/23/3...3313233..................Будем двигаться по клеткам этой таблицы из левого верхнегоугла по следующему пути:,нумеруя встречающиеся в клетках рациональные числа и пропуская при этом те из них, которые ранее уже встречались.Очевидно, таким способом мы занумеруем все рациональныечисла всеми натуральными, что и требовалось доказать.Упражнение 2. Доказать, что объединение счётного множества счётных множеств счётно.Теорема 2 (Кантора).

Множество всех точек отрезка 0, 1несчётно.Д о к а з а т е л ь с т в о. Допустим противное. Тогда все точки отрезка 0, 1 можно занумеровать: 1 , 2 , 3 , . . . . Поделимотрезок 0, 1 на три равных отрезка и обозначим через 1 , 1 один из них, свободный от точки 1 .

Поделим 1 , 1 на три равных отрезка и обозначим через 2 , 2 один из них, свободныйот точки 2 . Продолжая процесс, получим систему вложенныхотрезков , 1 . По теореме о вложенных отрезках существует точка , принадлежащая всем отрезкам системы. Этаточка не совпадает ни с одной из занумерованных точек 1 , 2 ,3 , . . ., так как любая из них не содержится в отрезке , ,в то время как содержится в этом отрезке.Итак, при допущении, что все точки отрезка 0, 1 занумерованы, мы пришли к противоречию, найдя точку 0, 1,отличную от каждой из занумерованных.

Это противоречие показывает, что наше допущение неверно. Теорема доказана.20Гл. 1. Множество действительных чиселОб изоморфизме различных множеств действительныхчисел.Теорема 3. Пусть имеются два множества и , удовлетворяющие всем аксиомам множества действительных чисел. Тогдамежду ними можно установить взаимно однозначное соответствие, при котором из того, что , , , , , , следует, что:1Æ ;Æ 2 ;Æ3 .В этом случае говорят, что множестваи изоморфныдруг другу и что множество действительных чисел единственнос точностью до изоморфизма.Глава 2ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ§ 2.1.

Определение предела последовательностиОпределение 1. Пусть — произвольное множество, и пустькаждому поставлен в соответствие некоторый элемент. Тогда говорят, что задана последовательность1,2,3,...со значениями из , которая обозначается также символами , 1, Æ .Пара , называется -м элементом последовательности, — значением -го элемента последовательности.Всякая последовательность имеет счётное множество элементов.

Множество значений элементов последовательности можетбыть конечным или счётным. Например, множество значенийэлементов последовательности 0, 1, 0, 1, 0, 1, . . .(1)состоит из двух элементов: 0 и 1.Пока мы будем рассматривать лишь последовательности созначениями изи называть их числовыми последовательностями, или просто последовательностями.Замечание 1. Часто вместо «значение элемента последовательности» говорят «элемент последовательности». Например,можно сказать: «Данный отрезок содержит бесконечно многоэлементов последовательности» и т. п.Определение 2. Числоназывается пределом последовательности , если 0 При этом пишут , или при ворят, что последовательность сходится к .1 , и го-Например, 0.Обобщим понятие предела (числовой) последовательности,рассматривая в качестве предела не только число, но и какойлибо из символов,, .

Для этого рассмотрим множестваи . 22Гл. 2. Предел последовательностиОпределение 3. Пусть 0. -окрестностью числа называется , — интервал с центром в ; -ок)рестностью элемента ( , 1называется множество , ( 1 , , , ).Через при обозначается произвольная -окрест1ность элемента , называемая окрестностью элемента .Сформулируем общее определение предела последовательности в терминах окрестностей. называется пределом поОпределение 4.

Элементследовательности 0 : , если .Это же определение можно перефразировать следующим образом. называется пределом поОпределение 5. Элементследовательности , если в любой его окрестности содержатся значения почти всех (т. е. всех за исключением, бытьможет, конечного числа) элементов последовательности. Определение 6. Последовательность называется сходящейся(говорят, что она сходится), если она имеет конечный (т. е. принадлежащий ) предел. В противном случае последовательностьназывается расходящейся (говорят, что она расходится).Примерами расходящихся последовательностей являются и последовательность (1).Определение 7.

Последовательность называется сходящейся(в ), если она имеет предел, принадлежащий ( ).Расходящаяся последовательность сходится в и в .Расходящаяся последовательность 1 сходится в к .Бывает полезна формулировка в позитивных терминах утверждения, что число не является пределом последовательности . Приведём её.Число не является пределом последовательности , если0 0: 0 , 0 : 0.Упражнение 1. Воспользовавшись этой формулировкой, показать, что последовательность (1) расходится.Теорема 1 (единственности).

Числовая последовательностьне может иметь в более одного предела.в § 2.2. Свойства пределов, связанные с неравенствами23Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположив противное, допустим,что для данной последовательности каждый из двух различных элементов ,является пределом. Пусть 0столь мало, что . Тогда по определению предела ( ), при котором ( ).Положив , , получаем, что , а это невозможно, так как данное пересечениепусто. Теорема доказана. § 2.2. Свойства пределов, связанные с неравенствами Определение 1. Последовательность называется ограниченной (ограниченной сверху, ограниченной снизу), еслимножество значений её элементов ограничено (ограничено сверху, ограничено снизу).Определение 2.

Последовательность называется ограниченной (ограниченной сверху, ограниченной снизу), если , Приведённые два определения, очевидно, эквивалентны (равносильны).Теорема 1. Сходящаяся последовательность ограничена. Обратное неверно.Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть последовательность сходится и 1 : . Тогда для 1 1 1 , так что 1Пусть 1, , , ...

,. Очевидно, что ограничена сверху числом . Аналогично показывается, что ограничена снизу. Последовательность ограничена в силу11211 1её ограниченности сверху и снизу.Пример последовательности (1) показывает, что не всякаяограниченная последовательность сходится.Следующие три свойства, в которых , , устанавливаютсвязь между неравенствами и предельным переходом:1Æ , ; 2Æ, : ;24Гл. 2. Предел последовательности3Æ , ).Следствие. ( , ,.Упражнение 1.

Показать, что свойство 3Æ не сохраняетсяпри замене знака на .§ 2.3. Свойства пределов,связанные с арифметическими операциямиТеорема 1. Пусть Тогда:1Æ , ,;3 если 0 , 0, то2Æ . ; .Д о к а з а т е л ь с т в о проведём лишь для свойства 3 .Положим , . Тогда 0, 0при в силу свойства 1 .

Оценим разность между ÆÆÆи предполагаемым пределом: 1 , , : , , 2 .Положим , , . Тогда при некотором 0 2 2 ,Возьмём 0. Тогда2так что не превосходит сколь угодно малого числа привсех достаточно больших , а это означает по определениюпредела последовательности, что . Определение 1.

Последовательность называется бесконечно малой, если 0.§ 2.4. Предел монотонной последовательности25Следствием арифметических свойств пределов последовательностей являетсяЛемма 1. Сумма, разность и произведение двух бесконечномалых последовательностей являются бесконечно малыми последовательностями.Упражнение 1.

Построить примеры бесконечно малых последовательностей , ( 0 ), для которых 0, , 1, не существует. Упражнение 2. Доказать, что тогда и толькотогда, когда , где — бесконечно малаяпоследовательность.Определение 2. Последовательность называется бесконечно большой, если .Арифметические свойства пределов последовательностей непереносятся на бесконечно большие последовательности. Например: 1 , — бесконечно большие последовательности, но 1 не сходится даже в . § 2.4. Предел монотонной последовательностиОпределение 1. Верхней (нижней) гранью последовательности называется верхняя (нижняя) грань множества значенийеё элементов.

При этом используются обозначения , соответственно.Каждая последовательность имеет вверхнюю и нижнююграни.Определение 2. Последовательность называется возрастающей (убывающей), если .1 ( 1 ) Символ ( ) означает, что последовательность возрастающая (убывающая). Символ ( ) означает, что последовательность возрастает (убывает) и сходится к .Возрастающие и убывающие последовательности называютсямонотонными.Определение 3. Последовательность называется строго возрастающей (строго убывающей), если 1 ( .1 ) Строго возрастающие и строго убывающие последовательности называются строго монотонными.