Лекции Бесов

УДК 517ББК 22.16Б 53Б е с о в О. В. Лекции по математическому анализу.М.: ФИЗМАТЛИТ, 2014. — 480 с. — ISBN 978-5-9221-1506-3.—Учебник содержит материалы по теории пределов, дифференциальному и интегральному исчислению функций одного и несколькихпеременных, числовым и функциональным рядам, тригонометрическим рядам Фурье, преобразованиям Фурье, элементам нормированныхи гильбертовых пространств и другим темам.

Он написан на основелекций, в течение многих лет читаемых автором в МФТИ.Рекомендовано Научно-методическим советом по математике Министерства образования и науки Российской Федерации в качествеучебника для студентов вузов, обучающихся по направлениям 010400«Прикладная математика и информатика», 010900 «Прикладные математика и физика».c ФИЗМАТЛИТ, 2014ISBN 978-5-9221-1506-3c О.В.

Бесов, 2014ОГЛАВЛЕНИЕПредисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Основные обозначения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1011Г л а в а 1. Множество действительных чисел .

. . . . . . . .§ 1.1. Аксиоматика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 1.2. Верхние и нижние грани числовых множеств . . . . . . .§ 1.3. Система вложенных отрезков . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 1.4. Связь между различными принципами непрерывности§ 1.5.

Счётные и несчётные множества . . . . . . . . . . . . . . . .121214161718..................Г л а в а 2. Предел последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 2.1. Определение предела последовательности . . . . . . . . . . . .§ 2.2. Свойства пределов, связанные с неравенствами .

. . . . . . .§ 2.3. Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 2.4. Предел монотонной последовательности . . . . . . . . . . . . . .§ 2.5. Число . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .§ 2.6. Подпоследовательности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 2.7. Теорема Больцано–Вейерштрасса . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 2.8. Критерий Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 2.9. Изображение действительных чисел бесконечными десятичными дробями . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .212123Г л а в а 3. Предел функции . . . . . . . . . . . . . . . .§ 3.1. Понятие функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 3.2. Элементарные функции и их классификация§ 3.3. Понятие предела функции . . . .

. . . . . . . . . .36363738........................................242526272930314Оглавление§ 3.4. Свойства пределов функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 3.5. Критерий Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .§ 3.6. Односторонние пределы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 3.7. Пределы монотонных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 3.8. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Сравнение функций . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40414243Г л а в а 4. Непрерывные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 4.1. Непрерывность функции в точке . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 4.2. Предел и непрерывность сложной функции . . . . . . . . . . .§ 4.3. Односторонняя непрерывность и точки разрыва . . . . . . . .§ 4.4.

Свойства функций, непрерывных на отрезке . . . . . . . . . .§ 4.5. Обратные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 4.6. Показательная функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 4.7. Логарифмическая и степенная функции . . . . . . . . . . . . . .§ 4.8. Тригонометрические и обратные тригонометрическиефункции . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .§ 4.9. Некоторые замечательные пределы . . . . . . . . . . . . . . . . .47474849505255596061Г л а в а 5. Производные и дифференциалы . . . . . . . . . .§ 5.1. Производная . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 5.2.

Дифференциал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 5.3. Геометрический смысл производной и дифференциала§ 5.4. Производная обратной функции . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 5.5. Производная сложной функции . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 5.6. Производные и дифференциалы высших порядков . . ......................65656667707173Г л а в а 6. Свойства дифференцируемых функций . . .§ 6.1. Теоремы о среднем . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 6.2. Формула Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 6.3. Раскрытие неопределённостей (правило Лопиталя) .............77777984Г л а в а 7. Исследование поведения функций . . . . . . . . . .

. .88§ 7.1. Монотонность и экстремумы функции . . . . . . . . . . . . . . .§ 7.2. Выпуклость и точки перегиба . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8890........44Оглавление5§ 7.3. Асимптоты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 7.4. Построение графика функции . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .Г л а в а 8. Кривые в трёхмерном пространстве . . . . . . . . . .§ 8.1. Векторнозначные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 8.2. Кривая . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 8.3. Длина дуги кривой . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 8.4. Кривизна, главная нормаль, соприкасающаяся плоскость.....93949696101104106Г л а в а 9. Неопределённый интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 9.1. Первообразная и неопределённый интеграл . . . . . . . . . . .§ 9.2. Методы интегрирования . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .§ 9.3. Комплексные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 9.4. Разложение многочлена на множители . . . . . . . . . . . . . . .§ 9.5. Разложение правильных рациональных дробей на простейшие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .§ 9.6. Интегрирование рациональных дробей . . . . . . . . . . . . . . .§ 9.7. Интегрирование некоторых иррациональных функций . . .119121123Г л а в а 10. Функции многих переменных .§ 10.1. Метрическое пространство.......§ 10.2. Открытые и замкнутые множества . . . .§ 10.3. Предел функции многих переменных . .§ 10.4. Функции, непрерывные в точке . . . .

. .§ 10.5. Функции, непрерывные на множестве .127127131135138140....................................................................................Г л а в а 11. Дифференциальное исчисление функций многих переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .§ 11.1. Частные производные и дифференцируемость функций многих переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 11.2. Геометрический смысл дифференциала функции и частных производных . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .§ 11.3. Дифференцируемость сложной функции . . . . . . . . . . . . .§ 11.4. Производная по направлению и градиент . . . . . . . . . . . . .§ 11.5. Частные производные и дифференциалы высших порядков§ 11.6. Формула Тейлора . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1121121141151171441441491501531541596ОглавлениеГ л а в а 12. Неявные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .162§ 12.1. Неявные функции, определяемые одним уравнением . . . .§ 12.2. Система неявных функций . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 12.3. Дифференцируемые отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . .162167171Г л а в а 13. Экстремумы функций многих переменных . . . .176§ 13.1. Локальный экстремум . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 13.2. Условный локальный экстремум . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .176181Г л а в а 14. Определённый интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . .188§ 14.1. Понятие определённого интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 14.2. Критерий интегрируемости функции . . . . . . . . . . . . . . . .§ 14.3. Свойства интегрируемых функций . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 14.4. Связь между определённым и неопределённым интегралами§ 14.5. Замена переменного и интегрирование по частям . . .

. . . .§ 14.6. Приложения определённого интеграла . . . . . . . . . . . . . . .§ 14.7. Несобственные интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 14.8. Приближение интегрируемых функций ступенчатымии непрерывными . . . . . . . . .