Лекции Бесов, страница 10

:0 0 при . В нашем случае Итак, показано, что правая часть (3) стремится к при 0 0.Аналогично показывается, что левая часть (3) также стремится к .Переходя к пределу в неравенствах (3), получаем (2).Теперь покажем, что 11 00Пустьимеем11 0. Положив , . 1 1 0,1 1 1Таким образом,1(4)111111. 11 1. 11 1 11,1 0,т.

е. функция 1 1 представлена в виде суперпозиции двух функций, гдеÆ 0,причём 0,00 1, 0 . . 00,0,,Применяя теорему о пределе суперпозиции, получаем, что 1001 (5)Из (4), (5) следует 5Æ .Замечание 1. Теорема о пределе суперпозиции былаустановлена для случая, когда функции , определены в проколотых окрестностях предельных точек.Упражнение 1. Перенести эту теорему на нужный нам случай односторонних пределов.Замечание 2.

Вместо теоремы о пределе суперпозиции можно воспользоваться доказанной теоремой о непрерывности суперпозиции непрерывных функций для , гдеÆÆ64Гл. 4. Непрерывные функциипри . 0, . 111 .при . 0; при 1 0, 1 при 00 1 ( 0, 1).1Представив1 1 16Æ .0в виде суперпо-зиции логарифмической функции и функции 1 1 ,применяем теорему о пределе суперпозиции с учётом примера 5Æ .1 1 (частный случай 6 ). 0 18 .

( 0, 1). 0Пусть 1. 11 Тогда , 1 7Æ .ÆÆ1.Остаётся воспользоваться теоремой о пределе суперпозициии примером 7Æ .19Æ . 1 (частный случай 8Æ).0Из рассмотренных примеров следует, что при 110Æ .зуя 9Æ ).1 1 00 1 (доказать самостоятельно, исполь-Глава 5ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ§ 5.1. ПроизводнаяОпределение 1. Пусть функция определена на 0 ,. 0 Предел , если он существует и конечен, на0 0зывается производной (от) функции в точке 0 и обозначается символом 0 .Нахождение производной от функции называется дифференцированием. При дифференцировании конкретных функций используются обозначения вида .Упражнение 1. Доказать, что функция, имеющая производную в данной точке, непрерывна в этой точке.Примеры.

, , 1( ), .0Теорема 1 (арифметические свойства производных). Пустьсуществуют 0 , # 0 . Тогда:1Æ # 0 0 # 0 ;2Æ # 0 0 #0 0 # 0 ; в частности, 0 0, где — постоянная;3Æ если #0 0, то 0 00 20 0 0Доказательствоприведём лишь для дифференцирования дроби. Другие формулы устанавливаются аналогично. Положим 0 , 0 0 ,# #0 #0 . Тогда 0 0 0 0 0 0 при 0 .3 О.В. Бесов 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 266Гл.

5. Производные и дифференциалы§ 5.2. ДифференциалОпределение 1. Пусть функция определена на 0 , 0. Пусть её приращение в точке 0 может быть представленов виде 0 0 0 *(1)при 0, где .Тогда функцию называют дифференцируемой в точке 0 ,а линейную функцию+ 0 , ,(2)— дифференциалом функции в точке 0 .Теорема 1. Функция дифференцируема в точке 0 тогдаи только тогда, когда существует 0 .

При этом 0 .Д о к а з а т е л ь с т в о. 1Æ . Пусть функция дифференцируема в точке 0 . Тогда справедливо равенство (1).Поделив его почленно на , получим 0 что*1Переходя в этом равенстве к пределу при 0 .Æ2 . Пусть теперь существует 0 0, получим, 0 0 0Тогда 0 *1 при 0.Умножая последнее равенство почленно на 0 0, получаем* при 0(3)Это означает, что приращение функции представлено в виде (1) с 0 , так что функция дифференцируема в точке 0 .Теорема 2. Пусть функция дифференцируема в точке 0 .Тогда непрерывна в точке 0 .Д о к а з а т е л ь с т в о.

По условию теоремы приращение 0 представимо в виде (1). Из (1) следует, что 0 0при 0, а это и означает непрерывность функции в точке 0 .§ 5.3. Геометрический смысл производной и дифференциала67Пример , 0 0, показывает, что непрерывностьфункции в точке не влечёт за собой её дифференцируемостив этой точке.Последние две теоремы утверждают, что дифференцируемость функции в точке 0 и существование производной 0 — эквивалентные свойства и что каждое из них сильнеесвойства непрерывности функции в точке 0 .Представление (1), как показано, можно записать в виде (3).Выражение (2) дифференциала функции в точке 0 записывается также в виде+ 0 0 , В последней формуле переменное часто (ради симметриизаписи) обозначают через + .

Тогда дифференциал + 0 принимает вид+ 0 0 +, + При этом + называют дифференциалом независимого переменного, а + 0 — дифференциалом функции. Символомчасто обозначают производную , но теперь видно, что на негоможно смотреть как на частное двух дифференциалов.Теорема 3 (арифметические свойства дифференциалов).Пусть функции , # дифференцируемы в точке 0 . Тогда функции #, #, и в случае #0 0 также и дифференцируемы в точке 0 , причём в этой точке:Æ1 + # + +#;2Æ +# # + +#; 3Æ +.2Д о к а з а т е л ь с т в о следует из соответствующих формулдля производных.

Установим для примера 2Æ . Формулу производной произведения # # # умножим почленно на +.Получим+# # + # + # + # + +#§ 5.3. Геометрический смысл производнойи дифференциалаПроведём секущую 0 через точки 0 0 , 0 и 0 , 0 графика функции , где 0(см. рис. 1).3*68Гл. 5. Производные и дифференциалыy = f (x )yMhΔfdfM0y0x0Oxx0 + hРис. 1Уравнение секущей 0 имеет вид 00 , 0  0 где 0 0 , .Устремим к нулю.

Тогда точка будет стремитьсяк 0 , секущая — поворачиваться, меняя свой угловой коэффициент , который стремится к конечному пределу тогда и толькотогда, когда существует 0 : 0 0 .Прямую, проходящую через точку 0 , 0 графика и являющуюся «предельным положением секущей», называют касательной. Дадим точное определение.Определение 1.

Пусть существует 0 . Касательнойк графику функции в точке 0 , 0 называется прямая 0 , где 0 00 0Теорема 1. Пусть функция определена на 0 и существует 0 . Тогда среди всех прямых, проходящих черезточку 0 , 0 (пр ) 0 0 , 0 0 ), касательнаяк графику функции и только она обладает свойством * 0 при пр0 Д о к а з а т е л ь с т в о. Поскольку функция дифференцируема в точке 0 , то имеем Отсюда 0 пр00* при 0 ) 0 0* 00 § 5.3. Геометрический смысл производной и дифференциала69Правая часть равенства есть * 0 при 0 тогда и толькотогда, когда ) 0 , т.

е. когда прямая пр ) 0 0является касательной.Доказанная теорема показывает, что касательная в окрестности точки касания расположена «ближе» к графику функции,чем другие прямые.Производная 0 , являясь угловым коэффициентом касательной, равна , где — угол между осью абсцисс и касательной, отсчитываемый от оси абсцисс в направлении кратчайшего поворота от базисного вектора оси абсцисс к базисномувектору оси ординат. Дифференциал функции + 0 0 при заданном равен приращению ординаты касательной.Определение 2. Пусть функция непрерывна в точке 0и(, ) при 0. Тогда говорят, что имеетбесконечную производную в точке 0 , 0 (, ),и что график функции имеет в точке 0 , 0 вертикальнуюкасательную 0 .Ранее рассмотренную касательную с конечным угловым коэффициентом 0 часто называют наклонной касательной.Определение 3.

Правой (левой) односторонней производной функции в точке 0 называется число 0 0 0 0 00 0 0 ,00 если этот предел существует и конечен.Слово «односторонняя» часто опускают и называют 0 правой, а 0 — левой производной.Теорема 2. Производная 0 существует тогда и только тогда, когда существуют односторонние производные 0 , 0 и 0 0 .Докажите в качестве упражнения.Теорема 3. Пусть существует односторонняя производная 0 . Тогда функция непрерывна справа в точке 0 .Докажите в качестве упражнения. Сформулируйте и докажите аналогичную теорему о непрерывности слева.Замечание 1. На основе односторонней производной можноввести понятие односторонней касательной.Упражнение 1. Рассмотреть с этой точки зрения пример .70Гл.

5. Производные и дифференциалы§ 5.4. Производная обратной функцииТеорема 1. Пусть функция непрерывна и строгомонотонна на 0 , и пусть 0 0. Тогда обратная функция 1 имеет производную в точке 0 0 , причём 10 1 . 0 Д о к а з а т е л ь с т в о. По теореме 4.5.2 об обратной функции 1 определена, строго монотонна и непрерывна на некоторой окрестности 0 точки 0 .Из дифференцируемости функции в точке 0 следует, чтоприращения 0 и 0 0 связанысоотношением 0 ,где 0 при 0.В силу строгой монотонности каждое из приращений , однозначно определяется другим.

Будем считать теперь независимым, тогда . При этом 0 0,строгомонотонна и непрерывна на некоторой окрестности 0 точки 0.Тогда 0 По теореме о пределе суперпозиции Тогда 10 1при 0 0 при0.0,что и требовалось доказать.Другое доказательство этой же теоремы можно провести так:1 0 0 111 0 0 0 (1)Здесь запись означает, что отношение рассматривается как функция аргумента . Принципиально важнымявляется предпоследнее равенство, которое следует из теоремыо пределе суперпозиции.§ 5.5. Производная сложной функции71§ 5.5.