Лекции Бесов, страница 2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .188190195200203205211Г л а в а 15. Числовые ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .225§ 15.1. Сходимость числового ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 15.2. Числовые ряды с неотрицательными членами . . . . . . .§ 15.3. Абсолютно сходящиеся ряды . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .§ 15.4. Сходящиеся знакопеременные ряды . . . . . . . . . . . . . .§ 15.5. Последовательности и ряды с комплексными членами.....225227233236241Г л а в а 16. Функциональные последовательности и ряды . .243..........220§ 16.1. Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243§ 16.2. Признаки равномерной сходимости рядов . . . . . . . . . . . . . 247§ 16.3. Свойства равномерно сходящихся последовательностейи рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251Оглавление7Г л а в а 17. Степенные ряды . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .255§ 17.1. Свойства степенных рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 17.2. Аналитические функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 17.3. Разложение функций в ряд Тейлора . . . . . . . . . . . .§ 17.4. Функции , , комплексного переменного....255259260267271§ 18.1. Определение меры по Жордану . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .§ 18.2. Свойства множеств, измеримых по Жордану . . . . . . . . . .271275Г л а в а 19. Кратные интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .281§ 19.1. Определение кратного интеграла и критерий интегрируемости функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . .§ 19.2. Свойства кратного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 19.3. Сведение кратного интеграла к повторному . . . . . . . . . . .§ 19.4. Геометрический смысл модуля якобиана отображения . . .§ 19.5. Замена переменных в кратном интеграле . . . . . .

. . . . . . .281286289293297Г л а в а 20. Криволинейные интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . .304§ 20.1. Криволинейные интегралы первого рода . . . . . . . . . . . . . .§ 20.2. Криволинейные интегралы второго рода . . . . . . . . . . . . . .§ 20.3. Формула Грина .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 20.4. Геометрический смысл знака якобиана плоского отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 20.5. Потенциальные векторные поля . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .304306311Г л а в а 21. Элементы теории поверхностей . . . . . . . . . . . . .332§ 21.1. Гладкие поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 21.2. Касательная плоскость и нормальная прямая . . . .§ 21.3. Преобразование параметров гладкой поверхности .§ 21.4. Ориентация гладкой поверхности . . . . . .

. . . . . . .§ 21.5. Первая квадратичная форма гладкой поверхности§ 21.6. Неявно заданные гладкие поверхности . . . . . . . . .§ 21.7. Кусочно-гладкие поверхности . . . . . . . . . . . . . . . .332335337338339340341............Г л а в а 18. Мера множеств в метрическом пространстве..............................................3223268ОглавлениеГ л а в а 22. Поверхностные интегралы . . . .

. . . . . . . . . . . . .346§ 22.1. Поверхностные интегралы первого рода . . . . . . . . . . . . . .§ 22.2. Поверхностные интегралы второго рода . . . . . . . . . . . . . .346349Г л а в а 23. Скалярные и векторные поля . . . . . .

. . . . . . . . .351§ 23.1. Основные скалярные и векторные поля . . . . . .§ 23.2. Формула Гаусса–Остроградского . . . . . . . . . . .§ 23.3. Формула Стокса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 23.4. Потенциальные векторные поля (продолжение)351353358361................................Г л а в а 24. Тригонометрические ряды Фурье .

. . . . . . . . . . .365§ 24.1. Определение ряда Фурье и принцип локализации . . . . . .§ 24.2. Сходимость ряда Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 24.3. Приближение непрерывных функций многочленами . . . . .§ 24.4. Почленное дифференцирование и интегрирование; убывание коэффициентов и остатка ряда Фурье .

. . . . . . . . . .§ 24.5. Ряды Фурье 2-периодических функций. Комплексная форма рядов Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .365370378381390Г л а в а 25. Метрические, нормированные и гильбертовыпространства . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393§ 25.1. Метрические и нормированные пространства . .§ 25.2. Пространства 1 , 2 , 1 , 2 , 1 , 2 . . .§ 25.3. Евклидовы и гильбертовы пространства . . . . . .§ 25.4. Ортогональные системы и ряды Фурье по ним .................................393399406410Г л а в а 26. Интегралы, зависящие от параметра . . . .§ 26.1. Интегралы Римана, зависящие от параметра . .

. . .§ 26.2. Равномерная сходимость функции на множестве . .§ 26.3. Несобственные интегралы, зависящие от параметра....................422422426428Г л а в а 27. Интеграл Фурье и преобразование Фурье . . . . .§ 27.1. Интеграл Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .§ 27.2. Преобразование Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .439439445Оглавление9Г л а в а 28. Обобщённые функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 28.1. Пространства и основных и обобщённых функций§ 28.2. Дифференцирование обобщённых функций . . . . . . . . . .§ 28.3. Пространства и основных и обобщённых функций .....449449453455Приложение . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Производные основных элементарных функций . . . . . . .Простейшие неопределённые интегралы . . . . . . . . . . . .Формулы Тейлора для основных элементарных функций....459459460461Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .462............ПредисловиеНастоящий учебник написан на основе лекций автора, читаемых студентам Московского физико-технического института(государственного университета).Отбор и порядок следования основных тем математического анализа и их содержание соответствуют Государственномуобразовательному стандарту высшего профессионального образования по направлению и специальности «Прикладная математика и физика». Книга может быть использована студентамифизико-математических, а также инженерно-физических специальностей и направлений с повышенной подготовкой по математике.В ряде вопросов изложение несколько отличается от стандартного в сторону его упрощения, уточнения или доходчивости.В изложении доказательств теорем и лемм автор стремилсяк сравнительной краткости (не в ущерб завершённости), полагая,что необходимое обдумывание читаемого будет способствоватьлучшему пониманию и усвоению материала.

При изучении курсанастоятельно рекомендуются самостоятельное выполнение предлагаемых упражнений и тщательный разбор примеров.Автор благодарит профессоров А.А. Абрамова, Б.И. Голубова,С.А. Теляковского за конструктивные обсуждения ряда вопросов,изложенных в книге, и Т.Е. Денисову, прочитавшую рукописьвсей книги и сделавшую много полезных замечаний, способствовавших её улучшению, а также сотрудника кафедры высшейматематики МФТИ А.В. Полозова, взявшего на себя нелёгкийтруд по подготовке рукописи к печати.Основные обозначенияДля сокращения записи используются следующие обозначения:— «для каждого», «для любого», «для всех» (от англ.

All); — «существует», «найдётся» (от англ. Exists);— «такой, что», «такие, что»;, — «по обозначению равно» 1); — «соответствует», «поставлено в соответствие»; — «следует»; — «равносильно».Множество является одним из исходных понятий в математике,оно не определяется. Вместо слова «множество» говорят «набор», «совокупность», «собрание». Множество состоит из объектов, которыепринято называть его элементами.

Вводится также пустое множество как множество, не содержащее ни одного элемента. Множествачасто обозначают прописными буквами , , , . . ., а элементы множеств — строчными. Запись , или означает, что элемент содержится во множестве , принадлежит , множество содержит элемент . Запись означает, что множество несодержит элемента .Запись , означает, что множество является подмножеством множества , т. е.