Лекции Бесов, страница 3

что . Если и , то пишут . Запись означает, что и — это одини тот же элемент.Примеры множеств:— множество всех действительных чисел, 2 1, 1, 2, . . . , , . . .. (объединение множеств и ) — множество, состоящее извсех элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному измножеств , ; (пересечение множеств и ) — множество, состоящее извсех элементов, каждый из которых принадлежит как множеству ,так и множеству ; (разность множеств и ) — множество, состоящее извсех элементов, каждый из которых принадлежит множеству и непринадлежит множеству .В книге все теоремы, определения и т.

п. нумеруются автономновнутри каждого параграфа. При ссылке на теорему (лемму и т. п.) из другого параграфа его номер указывается следующим образом: например,для теоремы 3 из § 14.8 используется обозначение «теорема 14.8.3».1)Двоеточие ставится со стороны определяемого объекта.Глава 1МНОЖЕСТВО ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ§ 1.1. АксиоматикаОпределение 1. Непустое множествоназывается множеством действительных (вещественных) чисел, а его элементы — действительными (вещественными) числами, если наопределены операции сложения и умножения и отношение порядка, удовлетворяющие следующим аксиомам.(I) Аксиомы сложения ( , ):1.,(коммутативность);2.

, , (ассоциативность);3. 0:0;4. : 0, называется противоположным числом для .(II) Аксиомы умножения ( , ) 1):1. ,(коммутативность);2. , , (ассоциативность);3. 1, 1 0: 1 ; 14. , 0, : 1 1, 1 называется обратнымчислом для .(I–II) Связь сложения и умножения:1. , , (дистрибутивность умножения относительно сложения).(III) Аксиомы порядка (для любых , установлено отношение или ):1., , ;2., , , . записывается также в виде ; при —в виде , или .(I–III) Связь сложения и порядка:1. , , .(II–III) Связь умножения и порядка:1.

0,0 0,.1) Иногда наряду с используется также обозначение.§ 1.1. Аксиоматика13(IV) Аксиома непрерывности (вариант принципа Дедекинда):1. Пусть , — непустые подмножества , такие, чтоТогда существует , : , Замечание 1. Множество рациональных чисел удовлетворяет аксиомам (I), (II), (I–II), (III), (I–III), (II–III), но не удовлетворяет аксиоме (IV).

Покажем последнее. Пусть , 0, 2 2}, , 0, 2 2 . Тогда во множестве не существует числа ( ) со свойством: , .Действительные числа часто будем называть числами.Некоторые следствия из аксиом множества действительныхчисел.1. Число 0, число, противоположное к , и решение урав нения единственны, причём ,. Число называется разностью между и . (при2. ЧислоЧисло1, обратное к(при 0), и решение уравнения 0) единственны, причём1 , , 0называется частным при делении на .3. 0 0.4. , , 0 0 или 0.5.

Для любых , всегда имеет место одно и только одноиз соотношений , , .6. 0 1. (У к а з а н и е. Допустив, что 1 0, прийтик противоречию, использовав равенство 1 1 1.)Примеры числовых множеств.Множество натуральных чисел 1, 2, 3, . . . , где2 1 1, 3 2 1, . . . .Множество 0 0 .Множество целых чисел 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, . . .

.Множество рациональных чисел , , Множество иррациональных чисел .14Гл. 1. Множество действительных чисел , , интервал , , полуинтервалы , , , : , , , , , , , ОтрезокМножество действительных чиселчасто называют числовой прямой, а числа — точками числовой прямой.§ 1.2. Верхние и нижние грани числовых множествОпределение 1. Множество называется ограниченным сверху (снизу), если существует число (число ) такое,что ( ).При этом говорят, что число (число ) ограничивает множество сверху (снизу).Определение 2. Множество называется ограниченным, если оно ограничено сверху и снизу.Определение 3. Множество называется неограниченным сверху (снизу), если оно не является ограниченным сверху(снизу).Определение 4.

Верхней гранью непустого множества называется число , удовлетворяющее условиям:1Æ ;2Æ : , или иначе: 0 : .Определение 5. Нижней гранью непустого множества называется число , удовлетворяющее условиям:1Æ ;2Æ : , или иначе: 0 : .Верхняя и нижняя грани множества обозначаются символами , соответственно.Примеры. , , , Отметим, что верхняя грань множества может как принадлежать, так и не принадлежать этому множеству, ср. случаи , , , . Теорема 1 (единственности). Числовое множество не можетиметь больше одной верхней (нижней) грани.Д о к а з а т е л ь с т в о проведём лишь для случая верхней грани. Допустив противное, предположим, что каждое изчисел и ( ) является верхней гранью множества .§ 1.2. Верхние и нижние грани числовых множеств15Пусть, для определённости, .

Тогда в силу того, что , из определения верхней грани следует, что для числа , . Но тогда не может быть верхнейгранью множества . Из полученного противоречия следуютошибочность предположения и утверждение теоремы.Заметим, что в условиях теоремы не предполагается существование верхней (нижней) грани. Теорема утверждает, чтоесли верхняя (нижняя) грань существует, то она единственна.Значительно более глубокой является теорема о существовании верхней грани.Теорема 2 (о существовании верхней (нижней) грани).

Всякое непустое ограниченное сверху (снизу) числовое множествоимеет верхнюю (нижнюю) грань.Д о к а з а т е л ь с т в о проведём лишь для верхней грани.Пусть — непустое ограниченное сверху множество. Рассмотрим непустое множество , элементами которого являются всечисла , ограничивающие множество сверху.Тогда, В силу аксиомы непрерывности для некоторого , (1)Покажем, что . Первое условие из определения верхней грани выполняется для в силу левого из неравенств (1).Убедимся, что выполняется и второе.

Пусть . Тогда , так как для каждого элемента из выполняется правое изнеравенств (1). Следовательно, не ограничивает множество сверху, т. е. ,так что второе условие также выполняется.Следовательно, , и теорема доказана.Определение 6. Расширенным множеством действительных чисел называется множество ,так что элементами множестваявляются все действительныечисла и ещё два элемента: , .На множестве не введены сложение и умножение, но имеется отношение порядка.

Для двух элементов , в случае, отношение порядка то же, что в . В других же случаяхоно определено так: , ; .16Гл. 1. Множество действительных чиселРассматривая множество как подмножество расширенного множества действительных чисел (), можно обобщить понятие ( ). Это обобщающее определение будетотличаться от приведённых выше лишь тем, что в качестве ( )можно брать не только число, но и элемент().Тогда для непустого неограниченного сверху (снизу) числового множества Учитывая теорему 2, приходим к выводу, что всякое непустоечисловое множество имеет в расширенном множестве действительных чисел как верхнюю, так и нижнюю грани.§ 1.3. Система вложенных отрезковОпределение 1.

Множество отрезков , 1 1 , 1, 2 , 2, . . ., если , называется системой вложенных отрезков, 1, 1 , т. е. каждый отрезок содержит следующий за ним.В следующей теореме формулируется свойство, называемоенепрерывностью множества действительных чисел по Кантору. Теорема 1. Для всякой системы вложенных отрезков существует точка, принадлежащая всем отрезкам данной системы.Д о к а з а т е л ь с т в о. Для системы вложенных отрезков , 1 рассмотрим два непустых множества 1 , 2 , . .

. и 1 1 , 2 , . . . . 1Очевидно, что , В силу аксиомы непрерывности существует число такое, что , , В частности, при получаем, чточто и требовалось доказать. ,§ 1.4. Связь между различными принципами непрерывности17Определение 2. Система вложенных отрезков , называется стягивающейся, если1 0 : .Теорема 2. Стягивающаяся система вложенных отрезковимеет ровно одну точку, принадлежащую всем отрезкам.Д о к а з а т е л ь с т в о.

По крайней мере одна общая точкадля отрезков рассматриваемой системы имеется в силу теоремы 1. Покажем, что общих точек не больше одной. Допустивпротивное, предположим, что каждая из двух различных точек и является общей для всех отрезков системы. Пусть, для определённости, , т. е. 0. По определению стягивающейся системы : . .

Тогда Отсюда , что противоречит выбору . Теорема доказана. § 1.4. Связь между различнымипринципами непрерывности Теорема 1 (принцип Архимеда). .Д о к а з а т е л ь с т в о. Допустим, что теорема неверна. Этозначит, что: . Следовательно, ограничивает сверху множество и по теореме 1.2.2 : .Тогда, по определению верхней грани для числа 1, : 1. Но тогда 1 , 1 , что противоречит тому, что . Теорема доказана.В диаграмме D K A D(1)приняты обозначения:IVD — вариант принципа Дедекинда,IV — принцип верхней грани, т. е. утверждение теоремы 1.2.2,IVK — принцип Кантора, т. е. утверждение теоремы 1.3.1,A — принцип Архимеда.Эта диаграмма показывает, что перечисленные принципы эквивалентны.