М.Л. Сердобольская - Методы функционального анализа в задачах редукции (учебное пособи, страница 8

Сузим пространство R до L⊥m = L (e1 , . . . , em )и перейдем к сужению Am оператора A на L⊥m , другими словами, исключим изпространства R первые m «размерностей». Очевидно, что формулы (3.1) и (3.2)41сохраняют свою силу:Am ek = Aek = ak ẽk ,A−m ẽk = A− ẽk =1ek ,akAm e0j = Ae0j = 0,k = m + 1, .

. . , r,j = 1, . . . , dim N (A)Следовательно,R(Am ) = L⊥ (ẽ1 , . . . , ẽm ) ∩ R(A) = L(ẽm+1 , . . . , ẽr ),N (Am ) = N (A).По аналогии с равенством (3.5) получаем1a2m+1=2kA−m yk.e⊥kyk2y∈Lm ∩R(A),infkyk6=0−Поскольку A−m y = A y для y ∈ L(ẽm+1 , . . . , ẽr ), мы имеем формулу типа (3.5)в случае 1 < m < r = rank A:1a2m+1kA− yk2=inf,e⊥kyk2y∈Lm ∩R(A),kyk6=0Le⊥m = L(ẽm+1 , . . .

, ẽr ),1 6 m < r.(3.6)Поскольку L(ẽ1 , . . . , ẽr ) = R(A) для m = 0, мы можем считать, что формула (3.6)верна и в случае m = 1. Если r < ∞, то ar+1 = 0, и тогда формула (3.6) не имеетсмысла при m > r.Докажем основное для нахождения эффективного ранга свойство сингулярныхбазисов.Теорема 7.Пусть натуральное число m < r = rank A и ẽ1 , .

. . , ẽm – первые m элементов сингулярного базиса оператора A. Тогда для любого конечного натурального числа n > m и для любой ортонормированной системы элементов ϕe1 , . . . , ϕenв R(A) справедлива следующая оценка:nXi=1kA− ϕei k2 >nmXX11.+22akam+1k=1(3.7)k=m+1Доказательство. Разложим элемент ϕei ∈ R(A) по сингулярным базисам и вмес−те с ним — элемент A ϕei :mXϕei =(ϕei , ẽk )ẽk + ϕe⊥i ,k=1mX1A ϕei =(ϕei , ẽk )ek + A− ϕe⊥i ,akk=1−42(3.8)⊥где ϕe⊥i ∈ L (ẽ1 , . . . , ẽm ) Тогда для каждого k = 1, . . . , m(ϕe⊥ei , ẽk ) − (ϕei , ẽk ) = 0,i , ẽk ) = (ϕ− ∗∗ −(A− ϕe⊥e⊥e⊥i , ek ) = (ϕi , (A ) ek ) = (ϕi , (A ) ek ) =(3.9)1 ⊥(ϕe , ẽk ) = 0.ak iОтсюда следует, что в каждом из равенств (3.8) слагаемые ортогональны, поэтому21 = kϕei k =mXk=12(ϕei , ẽk ) +2kϕe⊥i k ,mX12(ϕei , ẽk )2 + kA− ϕe⊥kA ϕei k =i k .

(3.10)2ak=1 k−2Кроме того, вследствие первого из соотношений (3.9) и условия ϕei ∈ R(A) мыe⊥имеем ϕe⊥i ∈ Lm ∩ R(A) = L(ẽm+1 , . . . , ẽr ). Таким образом, применив формулу (3.6),мы можем записать оценку2kA− ϕe⊥1kA− yk2i k= 2>inf⊥ 22⊥am+1kϕei ky∈L (ẽm+1 ,...,ẽr ), kykkyk6=0или, эквивалентно,−kA2ϕe⊥i k>1a2m+12kϕe⊥i k=1a2m+1mX2(ϕei , ẽk ) ,1−k=1где мы учли первое из равенств (3.10).Теперь с учётом получившейся оценки найдём разность ∆ между левой и правой частями доказываемого неравенства (3.7) и покажем, что ∆ > 0.

ИмеемnXmnXX11∆=kA ϕei k −=−22aai=1k=1 kk=m+1 m+1 Xn XmmnXX1112− ⊥ 2=>(ϕei , ẽk ) + kA ϕei k −−222aaai=1k=1 kk=1 kk=m+1 m+1 Xn XmmmnnXXXX111122>−1−(ϕe,ẽ)(ϕe,ẽ)+−.i ki k2222aaaam+1m+1kki=1 k=1i=1k=1k=1k=m+1−2(3.11)Рассмотрим сначала члены, содержащие множители 1/a2k с k = 1, . . . , m:mmnn XmXXXX11122(ϕei , ẽk ) −=−1−(ϕei , ẽk ) .∆1 =222aaakkki=1i=1 k=1k=1k=1Заметим, что с учётом нормировки kẽk k2 = 1, введя ΠΦ — ортогональный проекторPe Φ y = n (ϕe мы можем написатьна L(ϕe1 , .

. . , ϕen ), т. е. Πei , y)ϕei для любого y ∈ R,i=1e Φ ẽk k2 + k(I˜ − Πe Φ )ẽk k2 =1 = kẽk k = kΠ243nXe Φ )ẽk k2 .(ϕei , ẽk )2 + k(I˜ − Πi=1Таким образом, мы можем записать ∆1 какmX1 ˜ ek(I − ΠΦ )ẽk k2 .∆1 = −2ak=1 k(3.12)Теперь рассмотрим оставшиеся (пропорциональные 1/a2m+1 ) члены в правойчасти неравенства (3.11), заменив один раз индекс суммирования i на k:∆2 ===nX1a2i=1 m+1Xn1−1a2k=1 m+1mX1a2k=1 m+1−mX(ϕei , ẽk )k=1nX2−nX1a2k=m+1 m+1n XmX=1(ϕei , ẽk )2 =2ai=1 k=1 m+1mnXX1122(ϕei , ẽk ) =1−(ϕei , ẽk ) .a2a2i=1k=1 i=1 m+1k=1 m+1−1a2k=m+1 m+1m XnX−Мы снова видим в круглых скобках в правой части выражение, которое в соотe Φ )ẽk k2 .

В результатеветствии с нашими обозначениями равно k(I˜ − Π∆2 =mX1a2k=1 m+1e Φ )ẽk k2 .k(I˜ − Π(3.13)Подставляя (3.12) и (3.13) в (3.11), получаемm X11e Φ )ẽk k2 > 0,− 2 k(I˜ − Π∆ > ∆1 + ∆2 =2aam+1kk=1поскольку a2m+1 6 a2k при k 6 m. Таким образом, неравенство (3.7) доказано.Пусть n = m + 1 < r, тогда вторая сумма в (3.7) будет содержать одно слагаемое, и его можно добавить к первой сумме, записав в правой части (3.7) единуюсумму по k от k = 1 до k = m + 1 = n:nXC другой стороны,nX1.2akk=1i=1kA− ϕei k2 >nXnX1.kA ẽk k =2aii=1k=1−2Таким образом, для любого n < r = rank A справедливо следующее утверждение:nnnXXX1−2kA− ϕek k2 ,=kA ẽk k = min2{ϕek }⊂R(A)ai=1k=1 kk=144(3.14)где минимум берётся по всем ортонормированным системам элементов ϕe1 , . .

. , ϕen ,лежащих в R(A).3.2. Эффективный ранг модели [A, Σ]. Погрешность редукции (2.35) опре˜ но она такжеделяется моделью измерения, в том числе операторами A и Σ = I,зависит от оператора U. Если модель измерения фиксирована, единственным способом уменьшить погрешность является изменение оператора U (разумеется, приусловии, что мы не подвергаем сомнению истинность само́й модели). Можно попытаться оценить не весь сигнал f , а некоторую его «часть». Для линейных задачестественным способом вырезания части сигнала является операция ортогонального проектирования.Итак, пусть U = Π — ортогональный проектор. Запишем погрешность редукции:XkΠA− g̃k⊥ k2 ,h(Π) = kΠA− k22 =kгде{g̃k⊥ }— произвольный ОНБ в R(A).

При этом необходимо сохранить условиеразрешимости Π = ΠA− A. Сформулируем его в эквивалентном, но более удобномдля нас виде. А именно, сначала перепишем Π = ΠA− A как Π(I − A− A) = 0,и это означает, что R(I − A− A) ⊂ N (Π). Далее, поскольку I − A− A представляет собой ортогональный проектор на N (A), последнее включение эквивалентноN (A) ⊂ N (Π). Отметим, что это совершенно естественное условие: если Af = 0,то измерение ξ = Af + ν = ν представляет собой чистый «шум», и элемент Πfможно по такому измерению оценить, только если Πf = 0.Перейдём в N (A) ⊂ N (Π) к ортогональным дополнениям, получим ещё одно эквивалентное соотношение R(Π) ⊂ R(A∗ ), где мы приняли во внимание, чтоrank Π = dim R(Π) < ∞, и не поставили символ замыкания над R(Π). Таким образом, условие Π = ΠA− A можно переписать как R(Π) ⊂ R(A∗ ).

Отсюда, кстати,следует, что rank Π 6 rank A = dim R(A).Преобразуем выражение для погрешности, введя произвольные ОНБ {g̃k } в ли-нейном многообразии D(A− ) и {ϕi } в линейном подпространстве R(Π) ⊂ R(A∗ );отметим, что ОНБ {ϕi } содержит конечное число элементов, равное rank Π < ∞.Итак,h(Π) =kΠA− k22=∞Xk=1−2kΠA g̃k k =∞ rankXXΠk=1i=1−2(ΠA g̃k , ϕi ) =rank∞XΠ Xi=1(A− g̃k , ϕi )2 ,k=1(3.15)где мы воспользовались тем, что rank Π конечен, и поменяли порядок суммирования, а также учли, что Π∗ ϕi = Πϕi = ϕi .45Покажем, что для выполнения условия h(Π) < ∞ необходимо более точное, чемϕi ∈ R(A∗ ), включение ϕi ∈ R(A∗ ) для всех i = 1, . .

. , rank Π. Рассмотрим случай,/ D(A∗ )− = R(A∗ ) ⊕ R⊥ (A∗ ). Но (A∗ )− = (A− )∗ ,когда ϕi ∈ R(A∗ ) \ R(A). Тогда ϕi ∈следовательно, ϕi ∈/ D(A− )∗ , и это означает, чтоsupy∈D(A− ),|(A− y, ϕi)| = ∞.kyk=1Таким образом, мы можем выбрать в (3.15) надлежащим образом один базисныйэлемент (скажем, g̃1 ) и сделать слагаемое (A− g̃1 , ϕi )2 , а вместе с ним и погрешность h(Π) = kΠA− k22 больше любого наперед заданного числа. Поскольку нормаГильберта–Шмидта либо конечна для любого базиса {g̃k } в линейном многообразии D(A− ), либо бесконечна для любого базиса, мы получаем, что в этом случаеkΠA− k22 = ∞. Таким образом, условие h(Π) < ∞ влечёт {ϕi} ⊂ R(A).Предположим, что мы хотим оценить конечное, но не меньшее чем n числокоординат вектора f .

В результате мы получаем естественный класс конечномер-ных ортогональных проекторов, для которых задача редукции в модели [A, Σ]разрешима и погрешность h(Π) конечна:Pn = Π : R(Π) ⊂ R(A∗ ), n 6 rank Π, n < ∞ .(3.16)Поставим следующую вариационную задачу: в указанном множестве требуетсянайти ортогональный проектор, для которого погрешность минимальна, т. е. найдём проектор, на котором достигаетсяmin kΠA− k22 .(3.17)Π∈PnПри условии ϕi ∈ R(A∗ ) ⊂ D(A− )∗ можно записать (A− g̃k , ϕi) = (g̃k , (A− )∗ ϕi ),и погрешность (3.15) приобретает видkΠA−k22=rank∞XΠ Xi=1− ∗2(g̃k , (A ) ϕi ) =rankXΠi=1k=1k(A− )∗ ϕi k2 ,e = D(A− ).

Видно, что попоскольку {g̃k } — ОНБ в D(A− ) и, следовательно, в Rгрешность тем больше, чем больше rank Π, поэтому минимум kΠA− k22 достигаетсяна проекторе из класса Pn , ранг которого минимален, т. е. равен n. Таким образом,мы можем переформулировать задачу (3.17): требуется найтиmin{ϕi }⊂R(A∗ )nXi=1k(A− )∗ ϕi k2 ,46(3.18)где {ϕi } — ортонормированная система из n элементов в R(A∗ ). Мы видим полнуюидентичность данного минимума и минимума в (3.14), следует только заменитьв (3.14) оператор A на A∗ .

В результате получаем, чтоminπ∈PnkΠA− k22=min{ϕi }⊂R(A∗ )nXi=1− ∗2k(A ) ϕi k =nXi=1nX1,k(A ) ei k =2aii=1− ∗2(3.19)а проектор Πn , доставляющий минимум, проецирует на L(e1 , . . . , en ) — линейнуюоболочку первых n сингулярных векторов оператора A.Введём функцию H : N 7→ R+ формулойnX1,H(n) =akk=11 6 n 6 r = rank A,n < ∞.Эта функция строго возрастает от минимального значения H◦ = H(1) = a−21 домаксимального значения значения H ◦ = H(r), которое равно бесконечности в случае r = ∞.

Последнее утверждение вытекает из того, что для компактного оператора A∗ A последовательность {an } его собственных значений стремится к нулю.Зададим теперь функцию ρ : [H◦ , H ◦ ) 7→ N равенствомρ(δ) =max nn : H(n)6δ(3.20)и назовем ρ(·) эффективным рангом модели измерения [A, I˜ ]. Доопределим её какρ(δ) = 0 при 0 < δ < H◦ и как ρ(δ) = r при δ > H ◦ , если r < ∞.Значение ρ(δ) = n говорит о том, что если мы решаем задачу редукции в модели [A, I˜ ], то с погрешностью, не большей δ, можно оценить не более чем n координат вектора f . Если r = rank A < ∞ и δ достаточно велико, то эффективныйранг совпадает с рангом оператора A.47ПРИЛОЖЕНИЕ AНЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙВ этом приложении мы приведём некоторые определения и теоремы теории вероятностей, которые потребуются нам в основном курсе. Мы не даём строгих обоснований сходимости интегралов, поскольку видим цель этого материала преждевсего в ознакомлении с методами и инструментами теории вероятности.

Хорошоизвестные теоремы приводятся без доказательства, и основное внимание уделенотем утверждениям, в основном из теории меры, которые обычно не доказываютв общих курсах теории вероятностей.A.1. Аксиомы вероятности. Вероятностным пространством называетсясовокупность трёх математических объектов [Ω, F , P], где:Ω — множество некоторых элементов, которые называются элементарнымиисходами,F — некоторая сигма-алгебра его подмножеств4) , каждое подмножество A ∈ Fназывается событием,P — вероятность, заданная на сигма-алгебре F .Вероятностью называется функция P(·), которая единственным образом сопоставляет любому событию A конечное действительное число P(A) и удовлетворяетследующим аксиомам:• неотрицательность вероятности: P(A) > 0 для любого A ∈ F ,• счётная аддитивность вероятности:P(A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An ∪ · · · ) = P(A1 ) + P(A2 ) + · · · + P(An ) + · · · ,если Ak ∈ F и Ak ∩ Ak′ = ∅ при k 6= k ′ ,• нормировка вероятности: P(Ω) = 1.Важнейшим следствием из аксиом является теорема о непрерывности вероят-ности:(A.1)P( lim An ) = lim P(An ),n→∞n→∞где предел последовательности событий {An } определяется следующим образом:вводятся события, которые называются верхним и нижним пределами последовательности {An },lim sup An =∞ [∞\An ,lim inf An =N =1 n=N∞ \∞[An ,(A.2)N =1 n=N4)Множество подмножеств называется сигма-алгеброй, если оно замкнуто относительно операций дополнения, конечного или счётного объединения и конечного или счётного пересечениямножеств.48а пределом последовательности {An } называют множествоlim An = lim sup An = lim inf An ,при условии, разумеется, что выполнено равенство lim sup An = lim inf An .