М.Л. Сердобольская - Методы функционального анализа в задачах редукции (учебное пособи, страница 17

, r и j = 1, . . . , n, i = 1, . . . , ñ.При этом:• ортонормированные системы {ek }k=1,r и {ẽk }k=1,r суть базисы линейных мно-гообразий R(A∗ ) и R(A) соответственно, r = dim R(A) = dim R(A∗ ) = rank A;• ортонормированные системы {e0j }j=1,n и {ẽ0i }i=1,ñ суть базисы линейных под-пространств N (A) и N (A∗ ) соответственно, n = dim N (A) и ñ = dim N (A∗ );e• размерности базисов удовлетворяют равенствам r+n = dim R и r+ ñ = dim R(каждая из упомянутых выше размерностей может быть равна бесконечности).Базисы в (C.27) называются сингулярными базисами оператора A, а числаa1 , . . .

, ar — сингулярными числами оператора A.Для любого x ∈ R можно записать разложение в ряд!rnXXAx = A(x, ek )ek +(x, e0j )e0j =k=1=rX(x, ek )Aek +j=1nX(x, e0j )Ae0jj=1k=1=rXak (x, ek )ẽk + 0.k=1(в случаях r = ∞, n = ∞ оператор можно заносить под знак суммы в силунепрерывности A). РядrXAx =ak (x, ek )ẽk(C.28)k=1называется рядом Шмидта для оператора A ∈ CO(R 7→ R). Ряд Шмидта сопря-жённого оператора, очевидно, имеет вид∗A y=rXak (y, ẽk )ekk=193(C.29)eдля любого элемента y ∈ R.Для всех k = 0, . . . , r справедливы следующие равенства:ak+1 =supx∈L⊥ (e1 ,...,ek ),kAxk =supy∈L⊥ (ẽkxk611 ,...,ẽk ),kA∗ yk.(C.30)kyk61В самом деле, первое из равенств в (C.30) есть просто преобразованное равенство (C.24).

Докажем второе равенство в (C.30). Пусть 0 6 k < r и элементy ∈ L⊥ (ẽ1 , . . . , ẽk ). Тогдаy=rX(y, ẽq )ẽq +ñX(y, ẽ0i )ẽ0i .i=1q=k+1Вследствие невозрастания последовательности ak , k = 1, 2, . . ., с учётом (C.29)можно написать оценку∗2kA yk =rXq=k+1a2k (y, ẽk )2 6 a2k+1 kyk2,y ∈ L⊥ (ẽ1 , . . . , ẽk ).Таким образом, вторая точная верхняя грань в (C.30) не превосходит ak+1 .

C другой стороны, для y = ẽk+1 ∈ L⊥ (ẽ1 , . . . , ẽk ) имеем kA∗ ẽk+1 k = ak+1 , т. е. эта точнаянижняя грань достигается на элементе ẽk+1 .При r < ∞ с учётом L⊥ (e1 , . . . , er ) = N (A) и L⊥ (ẽ1 , . . . , ẽr ) = N (A∗ ) получаем,что при k = r точные верхние грани в (C.30) равны нулю, и это согласуетсяс принятым обозначением ar+1 = 0.C.4.

Минимаксное свойство сингулярных чисел. Пусть a1 > · · · > ar > 0e r 6 ∞, а {ek } и {ẽk } —— сингулярные числа оператора A ∈ CO(R 7→ R),части сингулярных базисов, отвечающие этим числам, Aek = ak ẽk . Из теоремы C.9,заменяя A на A∗ A и, соответственно, (Ax, x) на (A∗ Ax, x) = kAx2 k, получаемследующую теорему.Теорема C.10.Для любого натурального m < rank(A)a2m+1 =minsupL : dim L6n x∈L⊥ , kxk61kAxk2 ,(C.31)где минимум вычисляется по всем линейным подпространствам в R, размерность которых не превосходит m.Из этой теоремы вытекает следующее утверждение.94Теорема C.11.eПусть Vm — множество всюду определённых линейных операторов из R в R,ранг которых не превосходит m. Тогда(am+1 , если m < rank A,(C.32)min kA − V k =V ∈Vm0,если m > rank A.Доказательство.

Пусть m < rank A и V ∈ Vm — произвольный оператор.Воспользуемся теоремой C.10: поскольку8) dim R(V ∗ ) = dim R(V ) = rank V < m,для любого оператора V ∈ Vmam+1 =minsupL : dim L6m x∈L⊥ , kxk61=supx∈R⊥ (V ∗ ), kxk61kAxk 6kAx − V xk 6supx∈R⊥ (V ∗ ), kxk61supx∈R, kxk61kAxk =kAx − V xk = kA − V k,где равенство kAxk = kAx−V xk вытекает из того, что V x = 0 для любого элементаx ∈ R⊥ (V ∗ ) = N (V ).

Таким образом, при m < rank A для любого V ∈ Vm имеетместо неравенство kA − V k > am+1 .Зададим оператор Am ∈ Vm для каждого x ∈ R равенствомAm x =mXaq (x, eq )ẽq .(C.33)q=1Тогда при kxk 6 1 с учётом неубывания сингулярных чисел, формулы (C.28)и неравенства Бесселя2k(A − Ak )xk =rXa2q (x, eq )26a2m+1q=m+1rXq=m+1(x, eq )2 6 a2m+1 kxk2 6 a2m+1 .С другой стороны, k(A − Am )em+1 k = am+1 , поэтому для V = Am имеемkA − V k = sup k(A − Am )xk = am+1 .kxk61Формула (C.32) для случая m < rank A доказана.Если rank A < ∞ и m > rank A, то A ∈ Vm , поэтому минимум в (C.32) дости-гается при V = A и равен нулю. Теорема доказана.Если положить, что множество V0 имеет единственным элементом нулевойоператор, то (C.32) можно считать верной и при k = 0 т. е. a1 = kAk = kA − V kпри V = 0.8)e 7→ R).Будучи оператором конечного ранга, оператор V ∈ Vk имеет сопряжённый V ∗ ∈ B(R95Доказанному свойству можно придать следующую геометрическую интерпретацию: величина minV ∈Vk kA−V k есть расстояние от оператора A до операторногомножества Vk , а оператор Ak из (C.33) — проекция оператора A на множество Vk .96.