М.Л. Сердобольская - Методы функционального анализа в задачах редукции (учебное пособи

Московский государственный университет им. М. В. ЛомоносоваФизический факультетКафедра компьютерных методов физикиМ. Л. СердобольскаяМетоды функционального анализав задачах редукции2014 г.СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙR — множество (поле) действительных чисел, R+ — множество неотрицательных действительных чисел, N — множество натуральных чисел;e и т. п. — действительные сепарабельные гильбертовы пространства бесR, Rконечной (если иное не оговорено особо) размерности;{xn }n=1,∞ — последовательность элементов x1 , .

. . , xn , . . .;M = x ∈ R : x = lim xn , где {xn }n=1,∞ ⊂ M — замыкание множества M;n→∞⊥M = {x ∈ R : (x, z) = 0 для любого z ∈ M} — ортогональное дополнениемножества M;e — множество линейных операторов, действующих из пространL(R 7→ R)eства R в пространство R;e — множество замкнутых плотно определённых операторов, дейCL(R 7→ R)eствующих из пространства R в пространство Re — банахово пространство ограниченных всюду определённых лиB(R 7→ R)eнейных операторов, действующих из пространства R в пространство R;e — банахово пространство ограниченных всюду определённых комCO(R 7→ R)e (линейноепактных операторов, действующих из пространства R в пространство Reподпространство пространства B(R 7→ R));e — гильбертово пространство всюду определённых линейных операH(R 7→ R)eторов Гильберта–Шмидта, действующих из пространства R в пространство R;D(A) = {x ∈ R : существует Ax} — область определения линейного оператоeра A, действующего из пространства R в пространство R;N (A) = {x ∈ D(A) : Ax = 0} — нуль-пространство (ядро) линейного оператоeра A, действующего из пространства R в пространство R;e : существует x ∈ D(A), для которого y = Ax} — пространR(A) = {y ∈ Rство значений (образ) линейного оператора A, действующего из пространства Reв пространство R;Eξ — математическое ожидание случайного элемента (случайной величины) ξ.В предельных переходах типа xn → x или lim xn = x мы не всегда будем писатьусловие n → ∞ в тех случаях, когда это не может вызвать недоразумений.

То жезамечание относится и к последовательностям {xn } элементов с одним индексом.2ГЛАВА 1СЛУЧАЙНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХПРОСТРАНСТВАХ1.1. Понятие случайного элемента. Пусть (Ω, F , P ) — некоторое вероят-ностное пространство. Основные понятия и некоторые полезные теоремы теориивероятностей можно найти в приложении A.Определение. Элементом ξ, случайным в слабом смысле, принимающим значения в гильбертовом пространстве R называется правило ξ : Ω 7→ R, однозначным образом сопоставляющее элементарному исходу ω ∈ Ω элемент ξ(ω) ∈ R так,что для любого фиксированного x ∈ R скалярное произведение (ξ(ω), x), рассматриваемое как функция из Ω в R, есть случайная величина.В дальнейшем будем называть такой элемент «случайным элементом в R»,опуская слова «в слабом смысле». Непосредственно из определения вытекает, чтолинейная комбинация λ1 ξ1 + λ2 ξ2 случайных элементов (действующих из одногои того же Ω в одно и то же R) с постоянными коэффициентами λ1,2 ∈ R естьслучайный элемент.

Кроме того, kξk2 также есть случайный элемент. Это следуетиз того, что1)2(λ1 ξ1 + λ2 ξ2 , x) = λ1 (ξ1 , x) + λ2 (ξ2 , x) и kξk =∞Xi=12(ξ, ei ) = limn→∞nX(ξ, ei)2i=1суть случайные величины как линейная комбинация и предел последовательностислучайных величин соответственно (см. теорему A.1 приложения A). В последнихравенствах x — произвольный элемент из R и e1 , e2 , . . . — произвольный ортонормированный базис (ОНБ) пространства R; разумеется, численное значение любойреализации kξk2 (ω), ω ∈ Ω, не зависит от базиса.e Если R ∈ B(R 7→ R),e то соответствиеПусть R — линейный оператор из R в R.e заданное формулой (Rξ)(ω) = R · ξ(ω), есть случайная величина.Rξ : Ω 7→ R,e скалярное произведение (Rξ, y) = (ξ, R∗ y) естьВ самом деле, для любого y ∈ Rслучайная величина. Написав последнее равенство, мы воспользовались тем, что1)Всюду далее, когда мы пишем равенства и неравенства для случайных величин, мы подразумеваем, что они имеют место для любого ω ∈ Ω, точнее — с вероятностью единица.3e существует всюду определённый сопряжённыйдля оператора R ∈ B(R 7→ R)оператор R∗ .1.2.

Моменты случайных элементов. Пусть случайная величина kξk2 имеет математическое ожидание: существует (вообще говоря, несобственный) интеграл Лебега–Стилтьеса2Ekξk =ZRt dF (t) < ∞,где F (·) — функция распределения случайной величины kξk2 . Напишем цепочкуравенств2Ekξk = E∞X2 ?(ξ, ei) =∞XE(ξ, ei )2i=1i=1и выясним, справедливо ли равенство, помеченное вопросительным знаком.

В самом деле, возможность поменять местами знак математического ожидания и знаксуммы ряда — это возможность применить равенство E(lim αn ) = lim Eαn . В данном случае такая замена предельных переходов правомерна. Это вытекает из теоремы А.2 о сходимости математических ожиданий. Мы можем написать2kξk = limn→∞nXnX(ξ, ei )2 6 kξk2 ,2(ξ, ei) ,i=1i=1следовательно,2Ekξk = lim En→∞nXi=12(ξ, ei ) = limn→∞nX2E(ξ, ei ) =i=1∞XE(ξ, ei )2 .(1.1)i=1Определение.

Случайный элемент ξ называется гильбертовым случайнымэлементом, если Ekξk2 < ∞.Пусть при любом x ∈ R существует математическое ожидание случайной ве-личины (ξ, x). Следовательно, всюду на R определен (очевидно, линейный) функционал f (x) = E(ξ, x). Если этот функционал ограничен, то по теореме Рисса обобщем виде линейного функционала в гильбертовом пространстве найдется единственный (неслучайный) элемент Eξ ∈ R такой, что f (x) = (Eξ, x) для любогоx ∈ R. В результате мы получаем следующее определение.Определение. Элемент Eξ ∈ R, заданный равенствомE(ξ, x) = (Eξ, x),x ∈ R,называется математическим ожиданием случайного элемента ξ.4(1.2)Заметим, что если ξ — гильбертов случайный элемент, тоqpp|E(ξ, x)| 6 E|(ξ, x)| 6 E kξk2 kxk2 6 E(kξk2 kxk2 ) = kxk Ekξk2 ,(1.3)где мы воспользовались неравенством |Eα| 6 E|α|, неравенством Коши–Буня√√ковского, а также неравенством E α 6 Eα, которое эквивалентно неравенству√√D α = Eα − E 2 α > 0.

Таким образом,kEξk = kf k = sup |E(ξ, x)| 6kxk=1pEkξk2 < ∞,в результате, если существует Ekξk2 , то существует и Eξ ∈ R, причем имеет местонеравенство kEξk2 6 Ekξk2 .Пусть существуют Eξ, Eξ1,2 . Из равенствE(λ1 ξ1 + λ2 ξ2 , x) = λ1 E(ξ1 , x) + λ2 E(ξ2 , x) = (λ1 Eξ1 + λ2 Eξ2 , x),E(Rξ, y) = E(ξ, R∗ y) = (Eξ, R∗ y) = (R Eξ, y),e любых действительных чисел λ1,2 и люсправедливых для любых x ∈ R, y ∈ R,e следует, чтобого оператора R ∈ B(R 7→ R),E(λ1 ξ1 + λ2 ξ2 ) = λ1 Eξ1 + λ2 Eξ2 ,ERξ = R Eξ.e Пусть суПусть ξ — случайный элемент в R и η — случайный элемент в R.ществуют математические ожидания Eξ = 0 и Eη = 02) .

Предположим, что дляe существует E(ξ, x)(η, y), причём найдется конкаждого x ∈ R и каждого y ∈ Rстанта C такая, что выполнено неравенство|E(ξ, x)(η, y)| 6 C · kxk · kyk,x ∈ R,ey ∈ R.(1.4)Заметим, что если ξ и η — гильбертовы случайные элементы, то в силу цепочкинеравенств, аналогичной (1.3), мы имеем|E(ξ, x)(η, y)| 6ppkEξk2 kEηk2 · kxk · kyk,таким образом, в этом случае неравенство (1.4) выполнено. При условии (1.4)зафиксируем x ∈ R, тогда E(ξ, x)(η, ·) — ограниченный линейный функционал,e Следовательно, найдется единственныйопределённый на всём пространстве R.2)Мы не вводим, если в этом нет необходимости, специальных символов для нулевых элементовв разных пространствах, используя единое обозначение 0. Так, E ξ = 0 — нулевой элемент в R,eа E η = 0 — нулевой элемент в R.5e такой, что E(ξ, x)(η, y) = (ux , y) для любого y ∈ R.e Можно сказать,элемент ux ∈ Rчто соответствие x 7→ ux задаёт оператор, который мы обозначим через Σξη :(Σξη x, y) = E(ξ, x)(η, y),x ∈ R,ey ∈ R.(1.5)e можно задать оператор Σηξ со значениями в R такой,Аналогично, всюду на Rчтоe(x, Σηξ y) = E(ξ, x)(η, y),x ∈ R, y ∈ R.(1.6)Очевидно, что данные формулы задают линейные операторы, причем Σηξ = Σ∗ξη .e и Σηξ ∈ L(Re 7→ R), заданныеОпределение.

Операторы Σξη ∈ L(R 7→ R)равенствами (1.5) и (1.6), называются взаимными ковариационными операторамислучайных элементов ξ и η.Определение. Будем говорить, что случайный элемент ξ со значениями в Re некоррелированы, если Σηξ есть нулевойи случайный элемент η со значениями в Re т. е. Σξη x = 0 (нулевой элемент в R)e для всех x ∈ R.оператор из R в R,В силу равенства Σηξ = Σ∗ξη для некоррелированных ξ и η их взаимный ковариe в R) также есть нулевой оператор3) .ационный оператор Σηξ (действующий из RОчевидно, что если ξ и η некоррелированы, то Rξ и η также некоррелированы(здесь R — ограниченный всюду определённый линейный оператор):E(Rξ, x)(η, y) = E(ξ, R∗ x)(η, y) = (Σξη R∗ x, y) = 0для всех x и y из надлежащих пространств.Если положить η = ξ, то мы получим следующее определение.Определение. Оператор Σξξ ∈ L(R 7→ R), заданный равенством(x, Σξξ z) = E(ξ, x)(ξ, z),x, z ∈ R,(1.7)называется ковариационным оператором случайного элемента ξ.Очевидно, что Σξξ = Σ∗ξξ и Σξξ > 0, поскольку (x, Σξξ x) = E(ξ, x)2 > 0.

Изданного соотношения вытекает, что если x ∈ N (Σξξ ), то E(ξ, x)2 = 0, что вкупес равенством E(ξ, x) = (Eξ, x) = 0 даёт D(ξ, x) = 0. В силу неравенства Чебышёва D(ξ, x)P |(ξ, x)| > ε 6=0ε2для любого ε > 0, поэтому (ξ, x) = 0 с вероятностью единица, если x ∈ N (Σξξ ).3)Мы вновь не вводим, если в этом нет необходимости, специальных символов для обозначениянулевых операторов, если они действуют в разных пространствах, и пишем Σξη = 0 и Σηξ = 0.6Условие Eξ = 0 и Eη = 0 можно заменить условием существования математических ожиданий.

Тогда ковариационные операторы задаются равенствами(x, Σξξ z) = E(ξ − Eξ, x)(ξ − Eξ, z),x, z ∈ R,(y, Σξη x) = E(ξ − Eξ, x)(η − Eη, y),x ∈ R,(x, Σηξ y) = E(ξ − Eξ, x)(η − Eη, y),x ∈ R,ey ∈ R.ey ∈ R.При этом соотношения Σηξ = Σ∗ξη , Σξξ = Σ∗ξ и Σξξ > 0, разумеется, сохраняют своюсилу, а условие x ∈ N (Σξξ ) влечёт, что с вероятностью единица (ξ, x) = (Eξ, x),т.

е. (ξ, x) — опять же не случайная, а детерминированная величина.Для упрощения формул (без потери общности, поскольку всегда можно совершить замену ξ 7→ ξ − Eξ) будем считать, что в последующих свойствах ковариационного оператора случайные элементы имеют нулевые математические ожидания.e то ковариационный оператор случайного элемента Rξ1.

Если R ∈ B(R 7→ R),eесть RΣξξ R∗ , поскольку для любых y, u ∈ R(ΣRξ y, u) = E(Rξ, y)(Rξ, u) = E(ξ, R∗ y)(ξ, R∗u) = (Σξξ R∗ y, R∗u) = (RΣξξ R∗ y, u).eВ силу произвольности u это означает, что ΣRξ y = RΣξξ R∗ y для любого y ∈ R,что в свою очередь эквивалентно операторному равенству ΣRξ = RΣξξ R∗ .2. Пусть ξ1,2 — некоррелированные случайные элементы в R. ТогдаΣξ1 +ξ2 ,ξ1 +ξ2 = Σξ1 + Σξ2 .В самом деле, положим для краткости ξ = ξ1 + ξ2 и Σij = Σξi ξj , i, j = 1, 2, и,учитывая, что Σ12 = 0, Σ21 = Σ∗12 = 0, запишем цепочку равенств(Σξ1 +ξ2 x, z) = E(ξ1 + ξ2 , x)(ξ1 + ξ2 , z) == E(ξ1 , x)(ξ1 , z) + E(ξ1 , x)(ξ2 , z) + E(ξ2 , x)(ξ1 , z) + E(ξ1 , z)(ξ1 , z) == (Σ11 x, z) + (Σ12 x, z) + (Σ21 z, x) + (Σ22 x, z) = (Σ11 + Σ22 )x, zдля любых x, z ∈ R.