М.Л. Сердобольская - Методы функционального анализа в задачах редукции (учебное пособи, страница 7

Тогда оператор X = A− Yявляется решением задачи 2.Пусть условие Y = AA− Y выполнено, и X — любое решение задачи 2. Положим Z = X − A− Y . Тогда для любого u ∈ D(Y ) мы имеем Zu ∈ N (A) или,эквивалентно, Zu = (I − A− A)Zu. Наоборот, если Xu = A− Y u + (I − A− A)Zu, гдеZ — произвольный линейный оператор, область определения которого содержитD(Y ), а пространство значений содержится в D(A), то XY — решение задачи 2.Подводим итог.D(Y )решение задачи 4.

Уравнение AX = Y разрешимо тогда и только тогда,когдаY = AA− Y,и множество решений задачи 4 описывается формулой D(Y ) −X = A Y + (I − A− A)Z,b 7→ R) : D(Z) ⊃ D(Y ), R(Z) ⊂ D(A) .Z ∈ L(R35e и оператор U ∈ L(R 7→ R)bЗадача 5. Пусть заданы оператор A ∈ CL(R 7→ R)e 7→ R),b для котороготакой, что D(U) ⊃ D(A). Требуется найти оператор R ∈ L(RRAx = Ux при всех x ∈ D(A).Пусть уравнениеD(A)RA = U(2.28)разрешимо. Тогда в силу равенства A = AA− A (см. свойство 3 псевдообратногооператора) для любого x ∈ D(A) мы имеем равенство Ux = RAx = RAA− Ax. Поусловию RAz = Uz для всякого z ∈ D(A). В частности, при любом x ∈ D(A) дляэлемента z = A− Ax ∈ R(A− ) ⊂ D(A) мы можем написать равенство RAz = Uzили, возвращаясь к элементу x, — равенство Ux = UA− Ax для любого x ∈ D(A).Наоборот, если Ux = UA− Ax для любого x ∈ D(A), то оператор UA− естьрешение уравнения (2.28).Пусть UA− Ax = Ux для всех x ∈ D(A) и, помимо UA− , взято ещё какое-торешение R.

Тогда для оператора W = R − UA− мы имеем W Ax = Ux − Ux = 0для всех x ∈ D(A), другими словами, W y = 0 и Ry = UA− y для всех y ∈ R(A).Подведём итог.D(A)решение задачи 3. Уравнение RA = U разрешимо тогда и только тогда,D(A)когда U = UA− A, и на множестве R(A) оператор R, являющийся решениемR(A)уравнения, определяется однозначно: R = UA− . Действие оператора R на R⊥ (A)уравнением не фиксируется и может быть задано произвольным образом или незадано вовсе.Далее нам потребуется описать класс операторов, являющихся решением уравe или хотя бы на всюду плотномнения (2.28) и заданных на всём пространстве Rлинейном многообразии D(A− ).

Нетрудно понять, что множество таких решенийописывается формулойR = UA− + W (I − AA− ),e 7→ R)b : D(W ) ⊃ D(A− ).W ∈ L(R(2.29)В самом деле, согласно общим свойствам псевдообращения I˜−AA− — это проекторв D(A− ) на линейное многообразие R⊥ (A) = N (A∗ ) = N (A− ), следовательно,((UA− y, y ∈ R(A),0,y ∈ R(A),−˜Ry =W (I − AA )y =W y,y ∈ R⊥ (A).W y, y ∈ R⊥ (A);Таким образом, при y ∈ R⊥ (A) мы имеем равенство Ry = W y, где W — произвольный линейный оператор (с надлежащей областью определения).362.5. Задача редукции измерений. Пусть результат измерения описываетсяe где Re — гильбертово пространство.

Зададим модель измерения:элементом ξ ∈ R,предположим, чтоeA ∈ L(R 7→ R),e Eν = 0, Σν = Σ.ν — случайный элемент в R,ξ = Af + ν,(2.30)Мы считаем, что неслучайный элемент f ∈ R фиксирован, но неизвестен и нетникакой априорной информации о том, какие значения он может принимать (f —произвольный элемент из R). Будем говорить, что условия (2.30) задают линей-ную модель [A, Σ] измерения сигнала f без априорной информации об измеряемомсигнале. Оператор A моделирует измерительный прибор, ν — шум измерения.e Σ ∈ B(Re 7→ R).e Кроме того,Далее мы будем полагать, что A ∈ CL(R 7→ R),в силу общих свойств ковариационного оператора Σ = Σ∗ > 0.

Вспомним, чтоесли y ∈ N (Σ), то случайная величина (ν, y) равна нулю с вероятностью единица,другими словами, (ξ, y) = (Af, y) с вероятностью единица. Из этого равенстваможно получить точную информацию о сигнале f , таким образом, мы уже неможем говорить о модели без информации об измеряемом сигнале. В силу этихрассуждений будем считать, что оператор Σ > 0, т. е. невырожден.Поставим задачу линейного оценивания сигнала Uf : будем считать, что заданлинейный оператор U, D(U) = R, со значениями в (действительном бесконечb и будем искать наилучшую оценку эленомерном) гильбертовом пространстве R,мента Uf в классе всех оценок, заданных как линейное преобразование результатаизмерения.Пусть Rξ = RAf + Rν — линейное преобразование элемента ξ. Определимошибку оценивания как максимальную среднеквадратичную погрешностьsup EkRξ − Uf k2 ,f ∈Rгде наличие точной верхней грани говорит о том, что мы ищем «наихудшую» погрешность среди всех возможных в измерении сигналов f (напомним, элемент fаприори произволен).

Преобразуем погрешность, учитывая, что Eν = 0 и, следо-37вательно, ERν = 0:sup EkRξ − Uf k2 = sup Ek(RA − U)f + Rνk2 =f ∈R= sup E k(RA − U)f k2 + 2E((RA − U)f, Rν) + EkRνk2 =f ∈Rf ∈R= sup k(RA − U)f k2 + 2(R∗ (RA − U)f, Eν) + EkRνk2 =f ∈R= EkRνk2 + sup k(RA − U)f k2 =f ∈R(0,RA − U = 0,.= EkRνk2 ++∞, RA − U 6= 0.Таким образом, погрешность конечна, если выполнены два условия: RA = Uи EkRνk2 < ∞.

В соответствии с этим зададим класс операторовe 7→ R)b : RA = U, EkRνk2 < ∞, D(R) = Re .RU = R ∈ L(R(2.31)Задача редукции в модели [A, Σ]. Требуется найти оператор R ∈ RU , до-ставляющий следующий минимум:min EkRξ − Uf k2 .R∈RU(2.32)Оценка Rξ при этом называется результатом редукции измерения ξ к виду Ufв модели [A, Σ].Заметим, условие supf ∈R EkRξ − Uf k2 < ∞ равносильно тому, что ERξ = Uf ,т. е. Rξ — несмещенная оценка элемента Uf , для любого оператора R ∈ RU .˜ ЭтоМы будем искать решение задачи редукции в предположении, что Σ = I.несколько сужает общность рассуждений, но при этом существенно упрощает фор˜ но элементы ξ, Af, ν ∈ D(Σ−1/2 ) = R(Σ1/2 ) (намулы. Заметим, что если Σ 6= I,помним, в силу N (Σ) = {0} линейное многообразие R(Σ) = N ⊥ (Σ) всюду плотно),то мы можем преобразовать результат измерения: Σ−1/2 ξ = Σ−1/2 Af + Σ−1/2 ν, гдеслучайный элемент Σ−1/2 ν имеет единичный ковариационный оператор (представ-ляет собой «белый шум»).

Переобозначая элемент Σ−1/2 ξ как ξ, элемент Σ−1/2 Af— как Af и элемент Σ−1/2 ν — как ν, мы приходим к модели [A, I˜ ].Рассмотрим уравнение RA = U. Как было показано в предыдущем разделе,данное уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда U = UA− A, и общийвид решения таков:R = UA− + W (I˜ − AA− ),(2.33)e 7→ R)b — произвольный линейный оператор с D(W ) ⊃ D(A− ). Такойгде W ∈ L(Rоператор R определен на плотном подмножестве D(A− ) = R(A) ⊕ R⊥ (A).38Теперь преобразуем EkRνk2 .

Согласно формуле (1.12) и при нашем допущенииΣ = I˜ мы имеем∞X21/2 22EkRνk = kRΣ k2 = kRk2 =kRẽi k2 ,(2.34)i=1e который может быть выбран произвольно. Мыгде {ẽi } — ОНБ в пространстве R,0⊥возьмём в качестве ОНБ {ẽ⊥k } ⊕ {ẽj }, где {ẽk } — ОНБ в линейном многообразии R(A) и {ẽ0j } — ОНБ в линейном подпространстве R⊥ (A). Тогда для оператора (2.33) мы имеем ⊥−−− ⊥˜Rẽ⊥k = UA + W (I − AA ) ẽk = UA ẽk ,Rẽ0j = UA− + W (I˜ − AA− ) ẽ0j = W (I˜ − AA− ) ẽ0j = W ẽ0j ,ẽ⊥k ∈ R(A),ẽ0j ∈ R⊥ (A),поскольку оператор I˜ − AA− есть ортогональный проектор в D(A− ) на подпространство R⊥ (A) = N (A∗ ) = N (A− ). Таким образом,EkRνk2 =∞Xk=12kRẽ⊥kk +∞Xj=1kRẽ0j k2 =∞Xk=12kUA− ẽ⊥kk +∞Xj=1kW ẽ0j k2 >∞Xk=12kUA− ẽ⊥kk ,и мы получаем, что минимум EkRνk2 среди всех операторов вида (2.33) достигается при W = 0.P− ⊥ 2Оператор UA− определён на D(A− ), но условие EkRνk2 = ∞k=1 kUA ẽk k < ∞гарантирует, что этот оператор ограничен (более того, на D(A− ) он является опе-ратором Гильберта–Шмидта), поэтому его можно доопределить по непрерывностиe = D(A), и замыкание этого оператора UA−(замкнуть) на всём пространстве Re 7→ R).b Итак, решениe задачи редукции даётсяпринадлежит пространству H(Rследующей теоремой.Теорема 6.Задача (2.32) редукции в модели [A, I˜ ] разрешима, если и только если выполненыe 7→ R),b и наилучшая в среднеквадратичномусловия U = UA− A и UA− ∈ H(Rнесмещенная линейная оценка элемента Uf есть UA− ξ; погрешность такойоценки равнаkUA− k22 =Xkгде {ẽ⊥k } — произвольный ОНБ в R(A).392kUA− ẽ⊥kk ,(2.35)ГЛАВА 3ЭФФЕКТИВНЫЙ РАНГ МОДЕЛИ [A, Σ]3.1.

Сингулярные базисы псевдообратного оператора. Для построенияэффективного ранга мы будем использовать математический аппарат теории сингулярных чисел, изложенный в приложении C. Далее будем считать, что оператор A всюду определён и компактен. Как обычно, положим r = rank A dim R(A)и будем рассматривать как случай r < ∞, так и случай r = ∞, уделяя последнемуосновное внимание. Введём для оператора A (см.

формулы (C.27) приложения C)его сингулярные базисы {ek } ⊕ {e0i } и {ẽk } ⊕ {ẽ0j } и строго положительные сингулярные числа a1 > a2 > · · · :Aek = ak ẽk ,A∗ ẽk = ak ek ,Ae0j = 0,A∗ ẽ0i = 0.k = 1, . . . , r = rank A 6 ∞,(3.1)Напомним, что первая пара равенств устанавливает взаимно однозначное соответствие между ОНБ {ek } и {ẽk }, таким образом, эти базисы содержат «одинаковое» количество элементов, равное рангу оператора A, даже в случае, когдаr = ∞.

Что касается равенств в второй строке, то в них индексы пробегают, вообще говоря, разные значения: Ae0j = 0 для j = 1, . . . , dim N (A) и A∗ ẽi = 0 дляi = 1, . . . , dim N (A∗ ), однако эти равенства не имеют для нас большого значения,поэтому мы не пишем в них, как меняются индексы.−1−∗Из (3.1) имеем A− ẽk = a−1k A Aek = ak ek , потому что ek ∈ R(A ), а операторA− A проецирует на R(A∗ ). Далее, A− ẽ0j = 0, поскольку ẽ0j ∈ N (A∗) = N (A− ).Аналогичные формулы можно написать и для (A− )∗ = (A∗ )− .

Таким образом,1ek ,akA− ẽ0j = 0,A− ẽk =1ek ,ak(A− )∗ e0j̃ = 0,(A− )∗ ek =k = 1, . . . , r,(3.2)и мы получаем равенства, совершенно идентичные (3.1), с той лишь разницей, чтотеперь сингулярные числа упорядочены по возрастанию: 1/ak 6 1/ak+1.Положим для краткости Lm = L(e1 , . . . , em ) и посмотрим, во что перейдутравенства (см. формулы (C.30) из приложения C)kAxk,kxkx∈L⊥m,am+1 = supm = 0, 1, . . . , r = rank A 6 ∞,kxk6=040(3.3)⊥где мы для единообразия положили по определению L⊥1 = L (e1 , .

. . , em ) = R приm = 0 (тогда a1 = kAk). Кроме того, в случае r < ∞ мы считаем, что ar+1 = 0 приm = r в силу L⊥ (e1 , . . . , er ) = N (A).Пусть m = 0. Разложим произвольный элемент x ∈ R на ортогональные составляющие x⊥ ∈ N ⊥ (A) и x0 ∈ N (A) как x = x⊥ + x0 и преобразуем форму-лу (3.3) при m = 0, т. е. для первого сингулярного числа (здесь и далее мы неe под знаком точной верхней грани, посколькупишем включения x ∈ R или y ∈ Rони не ограничивают область):kAx⊥ k2kAx⊥ k2kA(x⊥ + x0 )k2=sup=sup,⊥ 20 2⊥ 20 2⊥ 2kxk6=0 kx k + kx kkxk6=0 kx k + kx kx⊥ ∈N ⊥ (A), kx ka21 = sup(3.4)kx⊥ k6=0где мы воспользовались тем, что наличие слагаемого kx0 k2 > 0 в знаменателе тольeко уменьшает значение дроби. Поскольку мы предположили, что A ∈ CO(R 7→ R),т. е. в частности, D(A) = R, можно написать R(A− ) = N ⊥ (A) ∩ D(A) = N ⊥ (A),отсюда для любого x⊥ ∈ N ⊥ (A) найдётся y ∈ D(A− ) такой, что x⊥ = A− y.

Разло-жим и этот элемент на ортогональные составляющие, y = y ⊥ + y 0 , в соответствиис разложением D(A− ) = R(A) ⊕ N (A∗ ). ТогдаAx⊥ = AA− y = AA− (y ⊥ + y 0 ) = y ⊥ ,x⊥ = A− y = A− (y ⊥ + y 0 ) = A− y ⊥ ,в силу того что оператор AA− — ортогональный проектор в D(A− ) на линейноемногообразие R(A) и N (A∗ ) = N (A− ). Причём x⊥ 6= 0 тогда и только тогда,когда y ⊥ 6= 0, поскольку операторы A и A− осуществляют взаимно однозначноесоответствие между N ⊥ (A) и R(A). Таким образом, мы можем переписать правуючасть равенства (3.4) и получаемa21 =−1ky ⊥ k2kA− y ⊥ k2 =inf− ⊥ 2⊥ 2 y ⊥ ∈R(A), ky ky ⊥ ∈R(A), kA y ksupky ⊥ k6=0ky ⊥ k6=0или, заменив для краткости записи y ⊥ на y,kA− yk21.=infa21 y∈R(A), kyk2(3.5)kyk6=0⊥Пусть теперь 1 < m < r 6 ∞.