М.Л. Сердобольская - Методы функционального анализа в задачах редукции (учебное пособи, страница 10

Условной вероятностью события A (точнее, вероятностью события A приусловии, что произошло событие B) называется величинаP(A | B) =P(A ∩ B).P(B)Особенностью условной вероятности является то, что она удовлетворяет всем аксиомам и свойствам обычной вероятности, если в них заменить Ω на B. Еслисобытия B1 , B2 , . . . удовлетворяет следующим условиям:Bk ∩ Bk′ = ∅ при k 6= k ′ ,P(B1 ∪ B2 ∪ · · · ) = 1,P(Bk ) 6= 0,(A.11)то справедлива формула полной вероятности: для любого события AP(A) =XkP(A | Bk )P(Bk ).Количество событий Bk может быть конечным или счётным, кроме того, условие P(Bk ) 6= 0 можно опустить, считая, что если P(Bk ) = 0, то соответствующееслагаемое в сумме равно нулю.Применим это понятие к распределению случайной величины: заменим в определении F (x) = P(ξ < x) вероятность на условную, получим условную функциюраспределения F (x | B) = P(ξ < x | B), точнее функцию распределения случайной54величины ξ при условии, что произошло событие B.

Условное математическоеожидание определяется как интеграл по условному распределению:ZE(ξ | B) =x dF (x | B),Rгде, очевидно,P {ω : x 6 ξ(ω) < x + dx} ∩ B.dF (x | B) = P(x 6 ξ < x + dx | B) =P(B)Условное математическое ожидание обладает всеми свойствами обычного математического ожидания, в частности теми, которые мы привели выше.В ряде случаев удобнее умножить условное математическое ожидание на P (B)и рассматривать величинуE(ξ; B) = E(ξ | B)P(B) =ZRx P {ω : x 6 ξ(ω) < x + dx} ∩ B .(A.12)Очевидно, что если события B1 , . . . , Bn удовлетворяют условиям (A.11), то мыможем написать аналог формулы полной вероятности:Eξ =nXk=1E(ξ | Bk )P(Bk ) =nX(A.13)E(ξ; Bk ).k=1С помощью формулы (A.13) легко доказать следующие неравенства:P(ξ 2 > ε2 ) 6Eξ 2,ε2P(|ξ − Eξ| > ε) 6Dξ,ε2ε > 0.(A.14)Первое из них выводится на основе тривиальной цепочки соотношенийEξ 2 = E(ξ 2 | ξ 2 > ε2 )P(ξ 2 > ε2 ) + E(ξ 2 | ξ 2 < ε2 )P(ξ 2 < ε2 ) > ε2 P(ξ 2 > ε2 ), (A.15)поскольку E(ξ 2 | ξ 2 > ε2 ) > ε2 и E(ξ 2 | ξ 2 < ε2 ) > 0.

Чтобы обосновать последниенеравенства, достаточно воспользоваться для условных математических ожиданий E(ξ 2 | B) следующим свойством (аналогичным свойству Eξ 2 ): если ξ 2 (ω) > Mдля всех ω ∈ B, то E(ξ 2 | B) > M. Понятно, что мы применили это свойство приM = 0 во втором неравенстве, а при M = ε2 — в первом, поскольку в этом слагаемом в роли события B выступает именно ω : ξ 2 (ω) > ε2 . Второе неравенствов (A.14) (неравенство Чебышёва) получается при замене в первом неравенстве ξна ξ − Eξ.Из неравенства Чебышёва следует, что если Dξ = 0, то P(ξ = Eξ) = 1.В частности, если во втором соотношении в (A.10) Σx = 0, то E(x, ξ − Eξ)2 = 0,55при этом с учётом первой цепочки равенств в (A.10) мы имеем E(ξ − Eξ, x) =(Eξ, x) − (Eξ, x) = 0, следовательно, (ξ − Eξ, x) = 0 с вероятностью единица.A.4.

Сходимость случайных величин. Последовательностью случайныхвеличин назовём упорядоченный счётный набор случайных величин ξ1 , ξ2 , . . . таких, что для любого натурального n существует совместное распределение случайных величин ξ1 , . . . , ξn . Говорят, что последовательность {ξn } сходится с вероятностью единица (почти наверное) к случайной величине ξ, еслиP{ω ∈ Ω : ξn (ω) → ξ(ω)} = 1(A.16)(здесь мы предполагаем, все члены последовательности и предельная случайнаявеличина заданы на одном и том же Ω). Говорят, что последовательность {ξn }сходится по вероятности к случайной величине ξ, если для любого ε > 0 имеетместо сходимость числовой последовательности вероятностейP{|ξn − ξ| > ε} −→ 0.(A.17)n→∞Нетрудно показать, что сходимость с вероятностью единица влечёт сходимостьпо вероятности. Условие ξn (ω) → ξ(ω) означает, что для всякого ε > 0 найдётсяN = N(ω) такое, что для всех n > N имеет место неравенство |ξn (ω) − ξ(ω)| < ε.Это можно записать как∞ \∞\ [ \ω : ξn (ω) − ξ(ω)| < ε =lim inf An (ε),ω∈ε>0ε>0 N =1 n=Nгде мы ввели краткое обозначение ω : |ξn (ω) − ξ(ω)| < ε = An (ε) и использовалиопределение нижнего предела в (A.2).

Тогда условие (A.16) принимает вид\Plim inf An (ε) = 1,ε > 0.ε>0Понятно, что\Plim inf An (ε) 6 P lim inf An (ε)ε>0для любого фиксированного ǫ > 0. Также мы имеем цепочку неравенств (A.3):P lim inf An (ε) 6 lim inf P An (ε) 6 lim sup P An (ε) 6 P lim sup An (ε) .Объединяя три последних соотношения и учитывая P lim sup An (ε) 6 1, мы видим, что1 6 lim inf P An (ε) 6 lim sup P An (ε) 6 1,56откуда следует, что P An (ε) = P(|ξn (ω) − ξ(ω)| < ε) → 1 для любого ε > 0, и этасходимость, очевидно, эквивалентна (A.17).Сходимость случайных величин, вообще говоря, не влечёт сходимость их математических ожиданий, однако при некоторых дополнительных предположенияхсходимость математических ожиданий есть следствие сходимости по вероятности.Докажем теорему, являющуюся одним из вариантов знаменитой теоремы Лебегао мажорируемой сходимости.Теорема A.2.Пусть последовательность случайных величин {ξn } сходится к случайной величине ξ по вероятности.

Пусть существует случайная величина η такая,что |ξn | 6 η для всех n = 1, 2, . . . с вероятностью единица. Если существуютматематические ожидания Eη, Eξ и Eξn , n = 1, 2, . . . , то E|ξn − ξ| → 0 приn → ∞.Доказательство. Сделаем несколько предварительных замечаний общего характера. Условие B1 ⊂ B2 влечёт P(A ∩ B1 ) 6 P(A ∩ B2 ) для любого события A,в частностиP {ω : x 6 ξ(ω) < x + dx} ∩ B1 6 P {ω : x 6 ξ(ω) < x + dx} ∩ B2 .(A.18)Пусть случайная величина α неотрицательна с вероятностью единица, тогда изсоотношений (A.18) получаемZx P {ω : x 6 ξ(ω) < x + dx} ∩ B1 6E(α; B1 ) =ZR+x P {ω : x 6 ξ(ω) < x + dx} ∩ B2 = E(ξ; B2 ).6(A.19)R+C другой стороны, если α 6 β с вероятностью единица, то аналогично свойствуобычного математического ожидания мы имеем E(α | B) 6 E(β | B) иE(α; B) = E(α | B)P (B) 6 E(β | B)P (B) 6 E(α; B)(A.20)для любого события B.Теперь воспользуемся полученными оценками для доказательства теоремы.Применим формулу (A.13) к случайной величине α = |ξn − ξ|: для любых ∆ > 0и M > ∆ справедливо равенствоE|ξn − ξ| = E(|ξn − ξ|; 0 6 |ξn − ξ| < ∆) ++ E(|ξn − ξ|; ∆ 6 |ξn − ξ| < M) + E(|ξn − ξ|; |ξn − ξ| > M).57(A.21)Рассмотрим каждое из слагаемых по отдельности.

Имеем для любого nE 1 (n, ∆) = E(|ξn − ξ|; 0 6 |ξn − ξ| < ∆) 6 ∆.(A.22)Далее, из условий |ξn | 6 η и ξn → ξ, справедливых с вероятностью единица,т. е. для почти всех ω ∈ Ω, следует, что |ξ| 6 η и |ξn − ξ| 6 2η с вероятностьюединица. Тогда условие |ξn − ξ| > M влечёт 2η > M, другими словами, мы имеем включение ω : |ξn (ω) − ξ(ω)| > M ⊂ ω : η > M/2}. Отсюда для любого n в силусоотношений (A.19) и (A.20)E 3 (n, M) = E(|ξn − ξ|; |ξn − ξ| > M) 6 E(|ξn − ξ|; η > M/2) 6 E(2η; η > M/2) =Zy P(y 6 η 6 y + dy; η > M) ==2R++∞=2Zy P(y 6 η 6 y + dy) = 2MZ+∞y dFη (y) −→ 0.M →∞M(A.23)Здесь введено обозначение Fη (·) для функции распределения случайной величины η и использовано условие существования Eη, т.

е. сходимость интегралаRy dFη (y). Заметим, что вследствие |ξn − ξ| 6 2η сходимость E 3 (n, M) → 0 приR+M → +∞ равномерная по n, другими словами, величина E 3 (n, M) может бытьсделана сколь угодно малой, если взять M > M0 , где M0 не зависит от n.Наконец, аналогично (A.23)ZME 2 (n, ∆, M) = E(|ξn − ξ|; ∆ 6 |ξn − ξ| < M) =z dF|ξn −ξ| (z) 6∆Z MZ ∞6MdF|ξn −ξ| (z) 6 MdF|ξn −ξ| (z) = MP(|ξn − ξ| > ∆), (A.24)∆∆где F|ξn −ξ| (·) — функция распределения случайной величины |ξn − ξ|.Теперь мы готовы доказать утверждение теоремы. Пусть ε > 0 произвольно.Возьмём ∆ = ε/3, тогда вследствие (A.22)E 1 (n, ∆) <ε3при всех n = 1, 2, .

. . .В силу (A.23) найдётся номер M, который определяется только значением ε, такойчтоεE 3 (n, M) <при всех n = 1, 2, . . . .3По условию ξn → ξ по вероятности, т. е. P (|ξn − ξ| > ∆) → 0 при n → ∞. Дляданного значения ∆ = ε/3 найдётся номер N, который определяется величинами58ε, ∆ = ε/3 и M = M(ε), т.

е. в конечном итоге — величиной ε, такой что P (|ξn −ξ| >∆) < ε/3M при всех n > N, тогда с учётом (A.24)E 2 (n, ∆, M) <ε3при n > N,N = N(ε).Объединяя полученные оценки, получаемE|ξn − ξ| = E 1 (n, ∆) + E 2 (n, ∆, M) + E 3 (n, M) < ε при n > N(ε).Теорема доказана.Понятно, что утверждение теоремы будет тем более верным, если мы потребуемвместо сходимости ξn → ξ по вероятности сходимость с вероятностью единица.Кроме того, |Eξn − Eξ| = |E(ξn − ξ)| 6 E|ξn − ξ|, поэтому при выполнении условийтеоремы мы также имеем сходимость Eξn → Eξ.59ПРИЛОЖЕНИЕ BНЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗАВ этом приложении мы приведём некоторые хорошо известные теоремы функционального анализа, в основном касающиеся свойств линейных операторов, действующих в бесконечномерных действительных сепарабельных гильбертовых пространствах.Определим классы операторов, рассматривающиеся в настоящем курсе, и приведём их базовые свойства.e замкнутых плотно определённых линейных опера• Множество CL(R 7→ R)eторов, действующих из пространства R в пространство R.e область определения всюду плотна, D(A) = R,У оператора A ∈ CL(R 7→ R)и график Γ(A),e : x ∈ D(A), y = Ax ,Γ(A) = hx, yi ∈ R ⊗ Rесть замкнутое линейное многообразие.

Другими словами,({xn } ⊂ D(A),x ∈ D(A),=⇒xn → x,y = Ax.Axn → yЕсли A замкнут и плотно определён, то у него существует сопряжённый оператор A∗ , также являющийся замкнутым и плотно определённым. При этомe : y ∈ D(A∗ ), x = −A∗ y .Γ⊥ (A) = hx, yi ∈ R ⊗ RCправедливо операторное равенство5) A∗∗ = A. Если линейный оператор A замкнут, то его нуль-пространство тоже замкнуто. Заметим, что в общем случаеу замкнутого оператора ни D(A), ни R(A) не являются замкнутыми линейнымимногообразиями.e всюду определённых ограниченных ли• Банахово пространство B(R 7→ R)eнейных операторов, действующих из пространства R в пространство R.5)Равенство A = B для операторов означает, что выполнены условия D(A) = D(B) и Ax = Bxдля всех x ∈ D(A) = D(B).60e область определения совпадает со всем пространУ оператора A ∈ B(R 7→ R)ством, D(A) = R, и найдётся некоторая постоянная M ∈ R такая, что выполненоусловие kAxk 6 Mkxk для всякого x ∈ R.

На множестве операторов, удовлетво-ряющих данным условиям, вводятся естественные линейные операцииdef(αA + βB)x = αAx + βBx,α, β ∈ R,и нормаkAk = sup kAxk = sup kAxk = supkxk61kxk=1x6=0kAxk.kxk(B.1)(B.2)e является полным.Нормированное линейное пространство B(R 7→ R)Условие kAk < ∞ ограниченности оператора A эквивалентно условию егонепрерывности: A( lim xn ) = lim Axn или, другими словами,({xn } ⊂ D(A),Axn → y,.=⇒xn → x,y = Axx ∈ D(A)Для любого x ∈ R имеет место оценка kAxk 6 kAk · kxk.Ограниченный (непрерывный) оператор переводит:ограниченную последовательность в ограниченную, а именно, если kxn k 6 M1 , тоkAxn k 6 M2 ;сходящуюся последовательность в сходящуюся: если xn → x, то Axn → Ax;фундаментальную последовательность в фундаментальную: если kxn − xm k → 0при n, m → ∞, то kAxn − Axm k → 0.Любой оператор A, ограниченный на незамкнутом линейном многообразииD(A), можно доопределить по непрерывности на D(A) без увеличения нормы: длялюбого x = lim xn ∈ D(A), где {xn } ⊂ D(A), мы определяем действие оператора ĀравенствомdefĀx = Ā( lim xn ) = lim Axn .При этомkĀk = sup kĀxk = sup kAxk = kAk.kxk61,x∈D(A)kxk61,x∈D(A)Оператор Ā есть замыкание оператора A, т.