М.Л. Сердобольская - Методы функционального анализа в задачах редукции (учебное пособи, страница 9

Еслипоследнее равенство не выполнено, говорят, что последовательность событий {An }не имеет предела. Можно показать, чтоP(lim inf An ) 6 lim inf P(An ) 6 lim sup P(An ) 6 P(lim sup An ),(A.3)откуда и вытекает (A.1).A.2. Понятие случайной величины. Математические ожидания. Случайной величиной на вероятностном пространстве [Ω, F , P] называется измеримаяфункция ξ : Ω 7→ R. Измеримость функции ξ эквивалента тому, что для любогоx ∈ R существует вероятность события ξ < x.

Из этого условия и свойств сигмаалгебры событий вытекает, что имеют вероятность также {ω ∈ Ω : ξ(ω) > x},{ω ∈ Ω : ξ(ω) = x}, {ω ∈ Ω : x1 < ξ(ω) < x2 } и т. д. РавенствоF (x) = P{ω ∈ Ω : ξ(ω) < x},x ∈ R,задаёт функцию F : R 7→ R, которая называется функцией распределения случайной величины ξ. Обычно в выражениях, содержащих случайные величины,опускают зависимость от ω и пишут F (x) = P(ξ < x). Можно также определитьфункцию распределения равенством F (x) = P(ξ 6 x).Теорема A.1.Если ξ — случайная величина, то ξ + a и aξ — случайные величины для любого (неслучайного) числа a ∈ R. Также являются случайными величинами ξ 2 ,сумма ξ1 и ξ2 двух случайных величин, заданных на одном и том же вероятностном пространстве [Ω, F , P], и предел последовательности {ξn } случайныхвеличин, заданных на одном и том же вероятностном пространстве, если сходимость ξn (ω) → ξ(ω) имеет место для (почти) всех ω ∈ Ω.Доказательство.

Чтобы показать, что какая-либо функция η : Ω 7→ R есть случайная величина, нужно доказать, что для всех x ∈ R множество {ω : η(ω) < x}принадлежит сигма-алгебре событий F или, другими словами, что существуетP(η < x) для любого x ∈ R. Все доказательства основаны на том, что опера-ции дополнения, конечного или счётного объединения и конечного или счётногопересечения множеств не выводят из F .49Очевидно, неравенство ξ + a < x эквивалентно ξ < x − a, следовательно,{ω : ξ(ω) + a < x} = {ω : ξ(ω) < x − a},P(ξ + a < x) = P(ξ < x − a).Далее,aξ < x ⇐⇒(ξ < x/a, a > 0,ξ > x/a, a < 0;(P(ξ < x/a), a > 0,P(aξ < x) =P(ξ > x/a), a < 0.При a = 0 мы имеем aξ(ω) ≡ 0, поэтому P(0 < x) = 0 при x 6 0 и P(0 < x) = 1при x > 0.√√Для ξ 2 рассуждения также очевидны: P(ξ 2 < x) = P(− x < ξ < x ) приx > 0 и P(ξ 2 < x) = 0 при x < 0.Прежде чем доказывать утверждение для ξ1 + ξ2 , покажем, что если ξ1 и ξ2 —две случайные величины, заданные на одном и том же вероятностном пространстве, то ξ1 < ξ2 — событие.

Действительно, если ω таково, что ξ1 (ω) < ξ2 (ω), тонайдётся рациональное число r, при котором ξ1 (ω) < r < ξ2 (ω). Верно и обратноевключение: если ξ1 (ω) < r < ξ2 (ω) при некотором r, то ξ1 (ω) < ξ2 (ω). Множестворациональных чисел счётно, пронумеруем их произвольным образом как r1 , r2 , . . . .Тогда![P ω : ξ1 (ω) < ξ2 (ω) = P{ω : ξ1 (ω) < rk < ξ2 (ω)} ,kгде вероятность в правой части данного равенства существует, поскольку множества{ω : ξ1 (ω) < rk < ξ2 (ω)} = {ω : ξ1 (ω) < rk } ∩ {ω : ξ2 (ω) > rk }принадлежат сигма-алгебре событий F . Отсюда следует, что ξ1 + ξ2 — случайнаявеличина, ибо P(ξ1 + ξ2 < x) = P(ξ1 < −ξ2 + x) и, как показано выше, −ξ2 + x естьслучайная величина при любом фиксированном x ∈ R.Если {ξn } — последовательность случайных величин и ξn (ω) → ξ(ω) для каж-дого ω ∈ Ω, то{ω : ξ(ω) < x} =[ [ \{ω : ξn (ω) < x − 1/k}.(A.4)k∈N m∈N n>mВ самом деле, если ξ(ω) < x, то найдётся k ∈ N такое, что ξ(ω) < x − 1/k.

Далее,в силу сходимости ξn (ω) → ξ(ω) найдётся такое m ∈ N, что для всех n > m имеетместо неравенство |ξn (ω) − ξ(ω)| < x − 1/k − ξ(ω). Тогда ξn (ω) < x − 1/k для всехn > m. Данные рассуждения показывают, что если ξ(ω) < x, то ω принадлежит50множеству в правой части равенства (A.4). Наоборот, если найдётся k ∈ N такое,что ξn (ω) < x − 1/k при всех n, бо́льших некоторого m ∈ N, тоξ(ω) = lim ξn (ω) = n→∞,lim ξn (ω) 6 x − 1/k < x,n→∞n>mоткуда следует, что любой элементарный исход ω, принадлежащий множествув правой части равенства (A.4), принадлежит и множеству в левой части равенства.

Таким образом, множества в (A.4) совпадают. Поскольку в силу свойствсигма-алгебры множество в правой части равенства (A.4) является событием, множество в левой части также принадлежит сигма-алгебре событий, т. е. имеет вероятность. Теорема доказана.Из доказанной теоремы следует, чтоnXξk ,k=1∞Xξk = limk=1n→∞nXξkk=1(если ряд сходится для каждого для каждого ω ∈ Ω) суть случайные величины.Математическим ожиданием случайной величины ξ называется числоZEξ =x dF (x),(A.5)Rгде в правой части стоит интеграл Лебега–Стилтьеса. Считается, что математическое ожидание существует, если интеграл сходится абсолютно.

Интеграл Лебега–Стилтьеса от функции g(x) = x, x ∈ [a, b), определяется как предел последовательности интегральных сумм видаnXk=1x∗k µ[xk−1 , xk ),µ[xk−1 , xk ) = P(ξ ∈ [xk−1 , xk )) = F (xk ) − F (xk−1 ) ,где a 6 x0 < x1 < · · · < xn < b — произвольные точки на полуинтервале [a, b) и x∗k— произвольные точки на каждом из полуинтервалов [xk−1 , xk ). Заметим, что вэтих формулах возникает специфическая мера µ( · ) множества (в данном случаеполуинтервала) на действительной оси.

Далее нужно потребовать существованиепредела последовательности интегральных сумм при∆n = max (xk − xk−1 ) → 0,16k6nn→∞и независимость его от разбиения полуинтервала [a, b) и выбора точек x∗k . Этотпредел и даёт интеграл Лебега-Стильтьеса (A.5)51Интеграл по всей действительной прямой определяется как обычно:ZZ bx dF (x) = limx dF (x).a→+∞,b→−∞RaПоскольку F (xk ) − F (xk−1 ) = P(xk 6 ξ < xk−1 ), мы можем записать равенствов бесконечно малых dF (x) = P(x 6 ξ < x + dx).Чтобы найти математическое ожидание случайной величины η = g(ξ), заданной как некоторая функция от ξ, то по определению мы должны написатьZEg(ξ) =y dFη (y),Fη (y) = P(η < y).RНо можно также заметить, что мера интервала задаётся какµ[yk−1, yk ) = P(yk−1 6 g(ξ) < yk ) = P(ξ ∈ g (−1) [yk−1 , yk )).где g (−1) [yk−1, yk ) = {x : yk−1 6 g(x) < yk }.

Таким образом, мы имеем для интегральных суммnXk=1yk∗ µ[yk−1 , yk )=nXk=1g(x∗k )P(ξ ∈ g (−1) [yk−1 , yk )),Если теперь перейти к пределу, то мы естественным образом можем записатьZEg(ξ) =g(x) dF (x),(A.6)Rконечно, требуя при этом абсолютную сходимость интеграла. Тем самым мы определим интеграл Лебега–Стильтеса от функции g( · ) достаточно общего вида.Дисперсией случайной величины ξ называется величина Dξ = E(ξ − Eξ)2 .Говорят, что набор случайных величин ξ1 , . .

. , ξn имеет совместное распределе-ние, если для любых x1 , . . . , xn ∈ R существует вероятность P(ξ1 < x1 , . . . , ξn < xn ).Функция F : Rn 7→ R, заданная равенством F (x1 , . . . , xn ) = P(ξ1 < x1 , . . . , ξn < xn ),называется совместной функцией распределения случайных величин ξ1 , . . . , ξn .Случайные величины ξ1 , . . . , ξn называются независимыми, еслиF (x1 , . . . , xn ) = P(ξ1 < x1 ) .

. . P(ξn < xn ) = F1 (x1 ) . . . Fn (xn ),где Fk (·) — функция распределения случайной величины ξk , k = 1, . . . , n.Если наделить множество Rn структурой n-мерного векторного, точнее евклидова, пространства Rn и считать, что все случайные величины ξ1 , . . . , ξn заданы наодном и том же множестве Ω элементарных исходов, то ξ = hξ1 , . . . , ξn i : Ω 7→ Rn52называется n-мерным случайным вектором. Математическое ожидание случайного вектора ξ есть вектор Eξ = hEξ1 , . . .

, Eξn i ∈ Rn , координаты которого сутьматематические ожидания координат случайного вектора ξ. Аналогом дисперсиислужит матрица ковариаций Σ размера n × n с элементамиΣij = E(ξi − Eξi )(Eξj − ξj ).(A.7)Математическое ожидание в правой части равенства (A.7) называется коэффициентом ковариации случайных величин ξi и ξj и обычно обозначается как cov(ξi , ξj ).Видно, что матрица ковариаций симметрична, Σij = Σji .A.3. Свойства математического ожидания. Важными для наших рассуждений свойствами математического ожидания являются следующие.• Для любых (неслучайных) чисел b, a1 , . .

. , an и случайных величин ξ1 , . . . , ξnE(b + a1 ξ1 + · · · + an ξn ) = b + a1 Eξ1 + · · · + an Eξn ,(A.8)если математические ожидания в правой части равенства существуют (линейностьматематического ожидания).• Eсли случайные величины ξ1 , . . . , ξn независимы, то(A.9)E(ξ . . . ξn ) = Eξ1 . . . Eξn ,если, опять же, математические ожидания в правой части равенства существуют.Из этих двух свойств легко вывести, чтоE const = const,D const = 0,Dξ = Eξ 2 − E 2 ξ,cov(ξi , ξj ) = Eξi ξj − Eξi · Eξj .Кроме того, cov(ξi, ξj ) = 0, если случайные величины ξi , ξj независимы.• Из свойств интеграла (A.5) вытекает, что |Eξ| 6 E|ξ|.• Если P(ξ > 0) = 1, то Eξ > 0. Отсюда следует, что:если M1 6 ξ(ω) 6 M2 для (почти) всех ω ∈ Ω, т.

е. P(M1 6 ξ 6 M2 ) = 1, тоM1 6 Eξ 6 M2 ;если ξ1 (ω) 6 ξ2 (ω) для (почти) всех ω ∈ Ω, т. е. P(ξ1 6 ξ2 ) = 1, то Eξ1 6 Eξ2 ;для любой случайной величины Dξ > 0 или, эквивалентно, Eξ 2 > E 2 ξ (если,конечно, математические ожидания существуют).• Пусть x = hx1 , . . . , xn i и z = hz1 , . . . , zn i — произвольные неслучайные векторы из Rn . Тогда для математического ожидания Eξ = hEξ1 , . . .

, Eξn i ∈ Rnи ковариационной матрицы Σ с элементами Σij = cov(ξi , ξj ) случайного вектора53ξ = hξ1 , . . . , ξn i в силу линейности математического ожидания имеют место равенства(Eξ, x) =(Σz, x) =nXi=1nX(Eξ)i xi =(Σx)i zi =i=1=EnXEξi xi = Ei=1n XnXnXΣij xj zi =i=1 j=1nXj=1ξi xi = E(ξ, x),i=1xj (ξj − Eξj ) ·nXi,j=1nXi=1E(ξi − Eξi )(Eξj − ξj )xj zi =zi (ξi − Eξi )!(A.10)= E(x, ξ − Eξ)(z, ξ − Eξ).Равенства (Eξ, x) = E(ξ, x) и (Σz, x) = E(x, ξ − Eξ)(z, ξ − Eξ) в бесконечномерномслучае мы примем за определение математического ожидания и ковариационногооператора.

Из последнего равенства ещё раз получаем симметричность ковариационной матрицы, (Σz, x) = (Σx, z), а также то, что она неотрицательно определена:подставляя в последнее равенство z = x, имеем (Σx, x) = E(x, ξ − Eξ)2 > 0.Удобным для исследования свойств математического ожидания является аппарат условных распределений. Пусть B — некоторое событие ненулевой вероятности.