М.Л. Сердобольская - Методы функционального анализа в задачах редукции (учебное пособи, страница 3

Пусть R ∈ HΣ1/2 . Запишем среднеквадратичную погрешность,пользуясь свойствами ковариационных операторов:2EkRξ − ηk2 = EkRξk2 − 2E(Rξ, η) + Ekηk2 = kRΣ1/2 k22 − 2E(Rξ, η) + kΣ1/2η k2 =2= kRk2Σ1/2 − 2E(Rξ, η) + kΣ1/2η k2 .(1.18)Теперь представим второе слагаемое в правой части равенства (1.18) в удобной длярешения экстремальной задачи виде: мы покажем, что для некоторого R◦ ∈ HΣ1/2E(Rξ, η) = (R, R◦ )Σ1/2 ,R ∈ HΣ1/2 .(1.19)Сначала сузим пространство HΣ1/2 до всюду плотного линейного многообразияe Для каждого R ∈ H(R 7→ R)e положим f (R) = E(Rξ, η) = (R, Σξη )2H(R 7→ R).12(см. равенство (1.14)). Понятно, что таким образом мы получим f ( · ) — линейныйe гильбертофункционал, заданный на всюду плотном подмножестве H(R 7→ R)ва пространства HΣ1/2 . При этом в силу (1.13) f ( · ) ограничен как функционалнад HΣ1/2 :|f (R)| = |E(Rξ, η)| 6 kRΣ1/2 k2 kΣη1/2 k2 = kRkΣ1/2 kΣ1/2η k2 ,1/2следовательно, kf k 6 kΣη k2 .

Тогда его можно доопределить по непрерывности¯e как функционал f¯, причём kf k = kfk.на всё пространство HΣ1/2 = H(R 7→ R)По тереме Рисса об общем виде линейного функционала найдется единственныйэлемент R◦ ∈ HΣ1/2 такой, чтоf¯(R) = (R, R◦ )Σ1/2 = E(Rξ, η) = (R, R◦ )Σ1/2 ,R ∈ HΣ1/2 .Теперь мы без труда можем решить задачу на минимум. Подставляем последнее равенство в правую часть равенства (1.18):2221/2 2EkRξ − ηk2 = kRk2Σ1/2 − 2(R, R◦ )Σ1/2 + kΣ1/2η k2 = kR − R◦ kΣ1/2 − kR◦ kΣ1/2 + kΣη k2 .Отсюда сразу вытекает, что для любого R ∈ HΣ1/222EkRξ − ηk2 > kΣ1/2η k2 − kR◦ kΣ1/2 .причем равенство возможно тогда и только тогда, когда kR − R◦ k2Σ1/2 = 0, т.

е.выполнено равенство RΣ1/2 = R◦ Σ1/2 . Таким образом,22min EkRξ − ηk2 = EkR◦ ξ − ηk2 = kΣ1/2η k2 − kR◦ kΣ1/2 .R∈HΣ1/2(1.20)Осталось найти R◦ . По условию E(Rξ, η) = (R, Σξη )2 = (R, R◦ )Σ1/2 для любогоR ∈ HΣ1/2 . В результате(Σξη , R)2 = (R◦ Σ1/2 , RΣ1/2 )2 = Tr R◦ Σ1/2 (RΣ1/2 )∗ = Tr R◦ ΣR∗ = (R◦ Σ, R)2для любого R ∈ HΣ1/2 . Следовательно, Σξη = R◦ Σ. Перепишем последнее равенствокак R◦ Σ1/2 · Σ1/2 = Σξη . Отсюда получимR◦ Σ1/2 x = Σξη Σ−1/2 x,x ∈ D(Σ−1/2 ) = R(Σ−1/2 ).e и, следовательно,По условию R◦ ∈ HΣ1/2 , т. е.

R◦ Σ1/2 ∈ H(R 7→ R)kΣξη Σ−1/2 k =supx∈R(Σ−1/2 ),kΣξη Σ−1/2 xk =kxk61supx∈R(Σ−1/2 ),kxk6113kR◦ Σ1/2 xk < ∞.Замкнём ограниченный на R(Σ−1/2 ) оператор Σξη Σ−1/2 по непрерывности, полуe Таким образом,чим, что оператор Σξη Σ−1/2 = R◦ Σ1/2 ∈ H(R 7→ R).R◦ = Σξη Σ−1/2 · Σ−1/2 .(1.21)kR◦ k2Σ1/2 = kR◦ Σ1/2 k22 = kΣξη Σ−1/2 k22 ,(1.22)Тогдапричём, выбрав для расчёта последней нормы ОНБ во всюду плотном линейноммногообразии R(Σ1/2 ) = D(Σ−1/2 ), мы можем не писать в ней символ замыкания.Подставляя R◦ из (1.21) и выражение для kR◦ k2Σ1/2 из (1.22) в (1.20), получаем (1.17). Теорема доказана.1.4. Задача редукции измерения.

Пустьξ = Aφ + ν,eA ∈ B(R 7→ R),φ — случайный элемент в R,eν — случайный элемент в R,Eφ = f0 , Σφ = F,Eν = 0,(1.23)Σν = Σ.Будем считать, что случайные элементы φ и ν некоррелированы, Σφν = 0. Будем говорить, что условия (1.23) задают линейную модель [A, f0 , F, Σ] измеренияслучайного элемента φ. Действие оператора A моделирует воздействие измерительного прибора на измеряемый сигнал φ, случайный элемент ν — это модельслучайной погрешности (шума) измерения, условие Eν = 0 отвечает отсутствиюсистематической погрешности.Пусть задан U — линейный ограниченный всюду определённый ограниченныйb и η = Uφ. Тогда в силуоператор из R в некоторое гильбертово пространство Rобщих свойств математического ожидания и ковариационного оператора мы име-ем E η = Uf0 и Σηη = UF U ∗ . Кроме того, ковариационный оператор S = Σξξ приусловии некоррелированности φ и ν и, следовательно, некоррелированности Aφи ν равен S = ΣAφ + Σν = AF A∗ + Σ.Поставим следующую вариационную задачу: требуется найти линейный опеe в R,b и (неслучайный) элемент r ∈ R,b которые доставратор R, действующий из Rляютmin min EkRξ + r − Uφ k2 ,Rbr∈R(1.24)где математическое ожидание вычисляется по совместному распределению случайных элементов φ и ν (множество операторов R, по которому вычисляется миe «Центрируем»нимум, будет указано ниже, пока потребуем только D(R) = R).14входящие в (1.24) случайные элементы, т.

е. вычтем их математические ожидания:φ◦ = φ − Eφ = φ − f0 ,ξ ◦ = ξ − Eξ = ξ − (EAφ + Eν) = ξ − Af0 = A(φ − f0 ) + ν = Aφ◦ + ν,η ◦ = η − Eη = Uφ − Uf0 = U(φ − f0 ) = Uφ◦ .Тогда погрешность в (1.24) записывается какEkRξ + r − Uφ k2 = EkR(ξ ◦ + Af0 ) + r − (Uφ◦ + Uf0 )k2 = EkRξ ◦ + r ◦ − Uφ◦ k2 ,где r ◦ = r + RAf0 − Uf0 .

При этом, очевидно,Eξ ◦ = 0,Σξ◦ ξ◦ = Σξξ = S = AF A∗ + Σ,Eη ◦ = 0,Ση◦ η◦ = Σηη = UF U ∗ .(1.25)Используя полученные соотношения, преобразуем погрешность:EkRξ + r − Uφ k2 = EkRξ ◦ + r ◦ − Uφ◦ k2 == EkRξ ◦ − Uφ◦ k2 − 2E(Rξ ◦ − Uφ◦ , r ◦) + kr ◦k2 == EkRξ ◦ − Uφ◦ k2 − 2(E(Rξ ◦ − Uφ◦ ), r ◦) + kr ◦ k2 == EkRξ ◦ − Uφ◦ k2 + kr ◦ k2 > EkRξ ◦ − Uφ◦ k2 ,где мы воспользовались тем, что E(Rξ ◦ − Uφ◦ ) = ERξ ◦ − E Uφ◦ = 0. Отсюда сразувытекает, чтоmin EkRξ + r − Uφ k2 = min EkRξ ◦ + r ◦ − Uφ◦ k2 = EkRξ ◦ − Uφ◦ k2br∈Rbr ◦ ∈R(1.26)и достигается на единственном элементе r ◦ = 0, т.

е. при r = −RAf0 + Uf0 . Заметим, что при этомE(Rξ + r) = ERξ + r = RAf0 − RAf0 + Uf0 = Uf0 = E Uφ = Eη,другими словами, Rξ + r — несмещённая оценка случайного элемента η.Теперь задача (1.24) свелась к задаче, рассмотренной в теореме 2: требуетсянайти min EkRξ ◦ − η ◦ k, где ковариационные операторы случайных элементов ξ ◦и η ◦ определены в (1.25). Для завершения постановки вариационной задачи и еёрешения нам осталось найти взаимный ковариационный оператор Σξ◦ η◦ .

Имеемe иz∈Rbдля y ∈ RE(ξ ◦ , y)(η ◦, z) = E(Aφ◦ + ν, y)(Uφ◦, z) = E(Aφ◦ , y)(Uφ◦, z) + E(ν, y)(Uφ◦ , z) == E(φ◦ , A∗ y)(φ◦, U ∗ z) + E(ν, y) · E(Uφ◦ , z) == (Σφ◦ A∗ y, U ∗ z) = (Σφ A∗ y, U ∗ z) = (UF A∗ y, z),15где мы воспользовались некоррелированностью случайных элементов ν и Uφ◦ и равенствами Eν = 0 и E Uφ◦ = 0. Отсюда Σξ◦ η◦ = UF A∗ . Теперь мы готовы воспользоваться теоремой 2.Пусть ξ = Aφ + ν — случайный элемент из (1.23) и Uφ — линейное преобразоb Предположим, что ковариационныевание случайного элемента φ, U ∈ B(R 7→ R).операторы Σξξ = S, ΣU φ = UF U ∗ и Σξη = UF A∗ удовлетворяют следующим включениям:Пустьe 7→ R),eS ∈ B(Rb 7→ R),bUF U ∗ ∈ H(Re 7→ R).bUF A∗ ∈ H(RТогдаe 7→ R)b : D(R) = R(S 1/2 ), RS 1/2 ∈ H(Re 7→ R)b .HS 1/2 = R ∈ L(Rmin min EkRξ + r − Uφ k2 = EkR0 ξ − Uφ k2 ,(1.27)R0 = UF A∗ (AF A∗ + Σ)−1/2 (AF A∗ + Σ)−1/2 .(1.28)R∈HS 1/2 r∈RbВариационная задача, сформулированная в (1.27), называется задачей редукции измерения ξ = Aφ + ν к виду η = Uφ в модели [A, f0 , F, Σ].

Как мы ужеb можно заменить r = 0 и условием несмеотмечали, условие минимума по r ∈ Rщённости E(Rξ + r) = E Uφ.По теореме 2 оператор R0 , заданный в (1.28), доставляет минимум. Он называется оператором редукции.Погрешность редукции с учетом (1.17) и вида ковариационных операторовможет быть записана как2−1/2 k =EkR0 ξ − Uφ k2 = kΣ1/22η k2 − kΣξη Σ= k(UF U ∗ )1/2 k22 − kUF A∗ (AF A∗ + Σ)−1/2 k2 == Tr UF U ∗ − Tr UF A∗ (AF A∗ + Σ)−1 (UF A∗ )∗ ,где мы воспользовались определением kBk2 = Tr BB ∗ и самосопряжённостью операторов (UF U ∗ )1/2 и (AF A∗ + Σ)−1/2 .16ГЛАВА 2ПСЕВДООБРАЩЕНИЕ ОПЕРАТОРОВИдея псевдообращения широко используется в теории конечномерных линейных операторов для решения систем линейных уравнений, уравнений в линейныхоператорах и вариационных задач.

Одним из основных свойств оператора A− ,псевдообратного линейному оператору A, является, например, равенствоmin kAx − yk = kAA− y − yk,xиз которого следует, что элемент A− y гарантирует наилучшее приближение элемента y элементами вида Ax. Помимо этого, можно отметить, что псевдообратныйоператор обладает значительно менее стеснёнными условиями существования посравнению с обратным, но в случае, когда обратный оператор существует, совпадает с ним.Мы введем псевдообратный оператор для любого плотно определённого замкнутого линейного оператора, который действует из бесконечномерного действительного гильбертова пространства R в бесконечномерное действительное гильe исследуем его свойства и применения к решению вариабертово пространство R;ционных задач и линейных уравнений.2.1.

Определение псевдообратного оператора. Пусть A — замкнутый,e Тогда N (A) и N (A∗ ) суть липлотно определённый линейный оператор из R в R.e следовательно, справедливы разложения в прянейные подпространства в R и R,мые суммы подпространствe = N (A∗ ) ⊕ N ⊥ (A∗ ).RR = N (A) ⊕ N ⊥ (A),В силу равенств N ⊥ (A) = R(A∗ ), N (A) = R⊥ (A∗ ) и аналогичных равенств дляN ⊥ (A∗ ) и N (A∗ ) (см. приложение B, теорема B.7, формула (B.14)) данные разложения в прямые суммы подпространств могут быть записаны в разных формах:N (A) ⊕ N ⊥ (A) = N (A) ⊕ R(A∗ ) = R⊥ (A∗ ) ⊕ N ⊥ (A) = R⊥ (A∗ ) ⊕ R(A∗ ),N (A∗ ) ⊕ N ⊥ (A∗ ) = N (A∗ ) ⊕ R(A) = R⊥ (A) ⊕ N ⊥ (A∗ ) = R⊥ (A) ⊕ R(A).17(2.1)Условимся далее обозначать принадлежность линейным подпространствам N (A)и N (A∗ ) с помощью верхнего индекса “0”, а принадлежность линейным подпространствам N ⊥ (A) и N ⊥ (A∗ ) — с помощью верхнего индекса “⊥”, таким образом,e будут означать,равенства x = x0 + x⊥ и y = y 0 + y ⊥ для элементов x ∈ R и y ∈ Rчто эти элементы разложены в соответствии c любым из представлений (2.1), нопри этом всегдаx0 ∈ N (A) = R⊥ (A∗ ),x⊥ ∈ N ⊥ (A) = R(A∗ ),y 0 ∈ N (A∗ ) = R⊥ (A),y ⊥ ∈ N ⊥ (A∗ ) = R(A).В ряде случаев ортогональные составляющие x⊥ или y ⊥ могут принадлежать болееузкому подмножеству, чем линейное подпространство N ⊥ (A) или N ⊥ (A∗ ) соответственно, и этот факт будет оговариваться особо.e множествоВыделим в Re = R(A) ⊕ N (A∗ ) =D= y = y ⊥ + y 0 : y ⊥ ∈ R(A), y 0 ∈ N (A∗ ) == y = Ax + y 0 : x ∈ D(A), y 0 ∈ N (A∗ ) .e и разложим его: y = y ⊥ + y 0 , где y ⊥ ∈ R(A).Возьмём произвольный y ∈ DСоставляющая y ⊥ ∈ R(A) может иметь много прообразов в D(A), т.