А.И. Волковец, А.Б. Гуринович. Практикум для студентов, страница 8

Случайная величина X распределена по равномерномузакону, т.е.⎧ 1,a ≤ x ≤ b,⎪f ( x) = ⎨ b − a⎪⎩0,x < a ∨ x > b.Необходимо определить оценки параметров a и b.Решение. Для данного закона распределения определяем теоретическиевыражения двух (по числу неизвестных параметров) моментов:bα1( x) = m X = ∫ax( a + b)dx =;2(b − a )µ2 ( x) = DX =(b − a ) 2.122По исходной выборке определяем оценки этих же моментов x и S0 поформулам (13.1) и (13.2) соответственно. Составляем систему их двухуравнений:⎧ (a + b)= x,⎪⎪ 2⎨⎪ DX = b − a = S0.⎪⎩2 3Решив ее относительно неизвестных параметров a и b, получим оценки:aˆ = x − 3 ⋅ S0 ,bˆ = x + 3 ⋅ S0 .Пример 13.2. Пусть xi – независимые значения случайной величины X,распределенной по экспоненциальному закону, т.е.⎧⎪λ e− λ x ,x ≥ 0,f ( x) = ⎨x < 0.⎪⎩0,Необходимо получить оценку параметра λ методом максимальногоправдоподобия.Решение.

Функция правдоподобия имеет видnln( L( x1, ..., xn , λ )) = n ⋅ ln(λ ) − λ ⋅ ∑ xi .i =1Далее записываем уравнение∂ ln( L) n n= − ∑ xi = 0 .λ i =1∂λРешив его, получаем выражение для оценки параметра λ:n1λˆ = n= .x∑ xii =1ЗАДАЧИ13.1 Найти методом моментов оценку параметра λ случайной величины,распределенной по экспоненциальному закону (см. пример13.2)1Ответ: λˆ = .x13.2. Отобрано 5 телевизоров с целью контроля некоторых параметров.Результаты измерения напряжения источника питания в телевизорах: 12; 11,5;12,2; 12,5; 12,3 В. Методом наибольшего правдоподобия найти оценкупараметра m, если напряжение – случайная величина X, распределенная понормальному закону .Ответ: m̂ = 12,1 В.13.2.

Определить методом наибольшего правдоподобия оценку параметраp биномиального распределенияp( X = i) = pi =n!p i q n −i ,i !(n − i)!если в n1 независимых опытах событие A появилось m1 раз и в n2 независимыхопытах – m2 раз.Ответ: p = (m1 + m2)/(n1 + n2).14. ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИКДоверительным называется интервал, в который с заданной вероятностью(надежностью) γ попадают значения параметра Q. Вероятность γ выбираетсяблизкой к 1: 0,9; 0,95; 0,975; 0,99.Доверительный интервал надежностью γ для математическогоожидания случайной величины X с неизвестным законом распределения:x−S0 ⋅ zγn< mX < x +S0 ⋅ zγn,(14.1)γγгде z γ = arg Φ ( ) – значение аргумента функции Лапласа Ф(zγ) =22(см.

приложение).Доверительный интервал надежностью γ для математического ожиданиянормально распределенной случайной величины X :x−S0 ⋅ tγ ,n−1n< mX < x +S0 ⋅ tγ ,n−1n,(14.2)tγ ,n−1– значение, взятое из таблицы распределения Стьюдента(см. приложение).Доверительный интервал надежностью γ для дисперсии случайнойвеличины X с неизвестным законом распределения:гдеS02 − zγ2 22 2S0 < DX < S02 + zγS0n −1n −1 ,(14.3)γγгде z γ = arg Φ ( ) – значение аргумента функции Лапласа Ф(zγ) =22(см. приложение).Доверительный интервал надежностью γ для дисперсии нормальнораспределенной случайной величины X:( n − 1) S 02χ 12− γ2, n −1< DX <( n − 1) S 02χ 12+ γ2,22где χ1−γ ,n−1 , χ1+γ ,n−1 – значения, взятые из таблицы распределения2(14.4), n −1χ22(см.

приложение).Доверительный интервал надежностью γ для вероятности события A всхеме независимых опытов Бернуллиp* (1 − p* )p* (1− p* )*p − zγ ⋅< p( A) < p + zγ ⋅,nn*(14.5)m– частота появления события A в n опытах;nm – число опытов, в которых произошло событие A;n – число проведенных опытов.Пример 14.1.

Производится серия независимых опытов с цельюопределения вероятности события A. В 100 опытах событие произошло 40 раз.**где p = p ( A ) =mпринимается за приближенное значениеnвероятности этого события. Найти вероятность того, что допущенная при этомошибка меньше 0,1.Решение. Необходимо найти надежность γ следующего доверительногоинтервала:Частота событияp * ( A) =()p p * ( A) − p ( A) ≤ 0,1 = p ( p * − 0,1 < p ( A) < p * + 0,1) = γ ,т.е.

zγ ⋅p * (1 − p * )= 0,1 (см. формулу (14.5)).n*С учетом того, что p =400,1⋅ 100= 0,4, zγ == 2,041, искомая вероятность1000,4 ⋅ 0,6γ = 2 ⋅ Φ (2, 041) ≈ 0, 958 .Пример 14.2. Найти минимальный объем выборки, при котором свероятностью 0,95 точность оценки математического ожидания случайнойвеличины по выборочному среднему равна 0,2, если S0 = 1,5.Решение. Из условия задачи известно, чтоp( mX − x < 0,2) = p(x − 0,2 < mX < x + 0,2) = 0,95.В соответствии с формулой (14.1) точность оценки математического2S 0 ⋅ zγ⎛ S 0 ⋅ zγ ⎞< 0, 2 ⇒ n > ⎜ожидания⎟ .n⎝ 0, 2 ⎠0, 95) = 1, 96 .Из таблицы функции Лапласа выбираем значение z γ = arg Φ (22Следовательно, n > (1,5⋅1,96/ 0,2) > 216,09 = 217 .Пример 14.3. По результатам 10 измерений определена несмещенная22оценка дисперсии S0 = 4м .

Определить доверительный интервал длядисперсии с надежностью 0,96.Решение. Воспользуемся формулой (14.4), так как погрешности измерений,как правило, распределены по нормальному закону. Из таблицы22значение χ 0,02;9 ≈ 19, 68; χ 0,98;9 ≈ 2, 53 .Поэтому9⋅ 49⋅ 4< DX <⇒1,829 < DX < 14,23 .19,682,53χ2выбираемЗАДАЧИ14.1. Вычислить доверительный интервал для математического ожиданияемкости конденсатора, если x = 2 0 м к Ф , n = 16, доверительная вероятностьγ = 0,9, среднее квадратическое отклонение равно 4 мкФ.Ответ: (18,35 мкФ; 21,65 мкФ).14.2. Производится серия независимых опытов с целью определениявероятности события A. В результате 100 опытов событие произошло 36 раз.Относительная частота принимается за приближенное значение вероятности.Каково должно быть число опытов, чтобы с вероятностью 0,99 можно былоутверждать, что допущенная при этом ошибка не превышает 0,05?Ответ: 139.14.3.Порезультатампятиизмеренийопределенанесмещенная22состоятельная оценка дисперсии S0 = 10м .

Оценить вероятность того, чтоистинное значение дисперсии попадает в интервал (5м2; 20 м2).Ответ: 0,64.14.4. Что происходит с длиной доверительного интервала при увеличении:а) объема выборки n, б) доверительной вероятности γ?Ответ: а) уменьшается;б) увеличивается.15. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗО ЗАКОНЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯКритерием согласия называется случайная величинаU = ϕ ( x1 , K , xn ) ,где xi – значение выборки, которая позволяет принять или отклонить гипотезуо предполагаемом законе распределения.Алгоритм проверки гипотезы при помощи критерия согласия χ :1.

Построить интервальный статистический ряд вероятностейгистограмму.2. По виду гистограммы выдвинуть гипотезу2иH0: f(x) = f0(x), F(x) = F0(x),H1: f(x) ≠ f0(x), F(x) ≠ F0(x),где f0(x), F0(x) – плотность и функция гипотетического закона распределения.3. Используя метод моментов или максимального правдоподобия,определить оценки неизвестных параметров Qˆ1 , ..., Qˆ m гипотетического законараспределения.4. Вычислить значение критерия по формулеMχ 2 = n∑j =1( p j − p*j )pj2M(ν j − np j )j =1np j=∑2,(15.1)где pj – теоретическая вероятность попадания случайной величины в j- йинтервал при условии, что гипотеза H0 верна:Bjp j = p( Aj ≤ X < Bj ) = ∫ f0 (x)dx = F0 ( Bj ) − F0 ( Aj ) .(15.2)AjЗамечания. При расчете p1 и pM в качестве крайних границ первого ипоследнего интервалов A1, BM следует использовать теоретические границыгипотетического закона распределения.

Например, для нормального законаA1 = –∞, BM = +∞. После вычисления всех вероятностей pi проверить,выполняется ли контрольное соотношениеM1 − ∑ pi ≤ 0,01 .j =15. Из таблицы χ (см. приложение) выбирается значение χα2 ,k , где α –заданный уровень значимости (α = 0,05 или 0,01), а k – число степеней свободы,определяемое по формулеk = M - 1 - s,2где s – число параметров гипотетического закона распределения, значениякоторых были определены в п. 3.6.

Если χ > χα ,k , то гипотеза H0 отклоняется, в противном случае нетоснований ее отклонить.Последовательность действий при проверке гипотезы о законераспределения при помощи критерия согласия Колмогорова следующая.1. Построить вариационный ряд и график эмпирической функциираспределения F*(x) (см. (12.1)).2. По виду графика F*(x) выдвинуть гипотезу:H0: F(x) = F0(x),22H1: F(x) ≠ F0(x),где F0(x) – функция гипотетического закона распределения.3.

Используя метод моментов или максимального правдоподобия,определить оценки неизвестных параметров Qˆ1 , ..., Qˆ m гипотетического законараспределения.4. Рассчитать 10−20 значений функции F0(x) и построить ее график в однойсистеме координат с функцией F*(x).5. По графику определить максимальное по модулю отклонение междуфункциями F*(x) и F0(x).nZ = max F * ( xi ) − F0 ( xi ) .i =1(15.3)6. Вычислить значение критерия Колмогороваλ = n ⋅Z .(15.4)7. Из таблицы распределения Колмогорова (см. приложение) выбратькритическое значение λγ, γ = 1 − α . Здесь α – заданный уровень значимости(α = 0,05 или 0,01).8.