А.И. Волковец, А.Б. Гуринович. Практикум для студентов, страница 4

Случайная величина X принимает значения Х = i (i =1, 2, ...) свероятностью p{Х = i} = 2–i . Найти функцию F(х) и вычислить p{3 ≤ X ≤ 6}.-iОтвет: F(x) = ∑ 2 ; p(3 ≤ X ≤ 6) = 0,2344.i< x5.3. Из десяти транзисторов, среди которых два бракованные, случайнымобразом выбраны два транзистора для проверки их параметров. Определить ипостроить: а) ряд распределения случайного числа X бракованныхтранзисторов в выборке; б) функцию распределения F(x) величины X;в) вычислить p{X ≥ 0,5}, p{X < 1,5}.Ответ:012a)xi1/45 16/45 28/45piб)≤0]0; 1]]1; 2]x01/4517/45F(x)в) p{X ≥ 0,5} = 44 / 45, p{X < 1,5} = 17 / 45.>215.4.

Точку бросают наудачу внутрь круга радиусом R. Вероятность еепопадания в любую область, расположенную внутри круга, пропорциональнаплощади этой области. Найти функцию распределения расстояния отслучайной точки до центра круга.⎧ 0, x ≤ 0,⎪ 2Ответ: F ( x ) = ⎨ x , 0 < x ≤ R ,⎪1, x > R .⎩5.5. Для случайной величины X плотность вероятности f(x) = аx приx ∈ [0; 2], f(x) = 0 при x < 0 и x > 2. Найти коэффициент а, функциюраспределения F(x), вероятность попадания на отрезок [1; 2].⎧ 0, x ≤ 0,⎪2Ответ: а = 0,5; F ( x ) = ⎨ 0 , 2 5 x , 0 < x ≤ 2 , p{X ∈ [1; 2]} = 0,875.⎪1, x > 2 .⎩5.6.

Функция распределения случайной величины X имеет видF(x) = b + c arctg(x / a), –∞ < x< ∞.Чему должны быть равны a, b и с? Найти плотность вероятности.Ответ: a > 0, b = 0,5, с = 1/π, f (x) =a.π(x + a2 )26. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫМатематическое ожидание характеризует среднее значение СВ иопределяется по формулам:N⎧⎪ ∑ xi ⋅ pi для ДСВ,⎪ i =1mX =M[ X ] = ⎨ ∞(6.1)⎪ x ⋅ f ( x)dxдля НСВ.∫⎪⎩ −∞Свойства математического ожидания:1. M[c] = c.2. M[X+c] = M[X]+c.3.

M[c⋅X] = c⋅M[X].Начальный момент k-го порядка СВ X есть математическое ожидание k-йстепени этой случайной величины:N⎧k⎪ ∑ xi ⋅ pi для ДСВ,i =1⎪α k ( x) = M[ X k ] = ⎨ ∞(6.2)k⎪ x ⋅ f ( x)dxдля НСВ.∫⎪⎩ −∞oX называетсяЦентрированнойслучайнойвеличинойСВ,математическое ожидание которой находится в начале координат (в центреoчисловой оси) M [ X ] = 0 .Операция центрирования (переход от нецентрированной величины Х кoцентрированной X ) имеет видoX = X − mX .Центральный момент порядка k СВ X есть математическое ожидание k-йoстепени центрированной случайной величины X :N⎧k⎪ ∑ ( xi − mX ) ⋅ pi для ДСВ,o⎪ i =1µk ( x) = M[ X k ] = ⎨ ∞(6.3)⎪ ( x − m ) k ⋅ f ( x)dxдля НСВ.X∫⎪⎩ −∞Дисперсия случайной величины характеризует степень рассеивания(разброса) значений случайной величины относительно ее математическогоожидания и определяется по формуламNN⎧22−=(xm)pxi pi − mX2 для ДСВ,∑Xi⎪ ∑ ii =1i =1⎪(6.4)Dx = D[ X ] = µ2 ( x) = α 2 (x) − mX2 = ⎨ ∞∞⎪ ( x − m )2 f ( x)dx = x2 f ( x)dx − m2 для НСВ.XX∫∫⎪⎩−∞−∞Свойства дисперсии:1.

D[c] = 0.2. D[X+c] = D[X].3. D[c⋅X] = c2⋅D[X].Средним квадратическим отклонением (СКО) СВ X называетсяхарактеристикаσ X = σ [ X ] = D[ X ] .(6.5)СКО измеряется в тех же физических единицах, что и СВ, и характеризуетширину диапазона значений СВ.Правило 3σ. Практически все значения СВ находятся в интервале(6.6)[mX – 3σX; mX + 3σX;].Модой случайной величины называется ее наиболее вероятное значение,т.е. то значение, для которого вероятность pi (для дискретной СВ) или f(x) (длянепрерывных СВ) достигает максимума. Обозначения: Mo.Медианой случайной величины X называется такое ее значение, длякоторого выполняется условие p{X < Me} = p{X ≥ Me}.

Медиана, как правило,существует только для непрерывных случайных величин.Квантилью χp случайной величины X является такое ее значение, длякоторого выполняется условие p{X < χp} = F(χp) = p.Пример 6.1. Из партии численностью 25 изделий, среди которых имеетсяшесть нестандартных, случайным образом выбраны три изделия. Найтиматематическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нестандартныхизделий, содержащихся в выборке.Решение. По условию задачи CB X принимает следующие значения: x1 = 0;x2 = 1; x3 = 2; x4 = 3. Вероятность того, что в этой выборке окажется ровно i(i = 0, 1, 2, 3) нестандартных изделий, вычисляется по формулеC6i ⋅ C193−i,pi = P{ X = xi } =iC25откудаp1 = 0,41; p2 = 0,43; p3 = 0,11; p4 = 0,05.Дисперсию определим по формулам:D[X] = α2(x) – (M[X])2,M[X] = 0 ⋅ 0,41 + 1⋅ 0,43 + 2 ⋅ 0,11 + 3 ⋅ 0,05 = 0,8,α2(x) = 0 ⋅ 0,41 + 1 ⋅ 0,43 + 22 ⋅ 0,11 + 32 ⋅ 0,05 = 1,32,D[X] = 1,32 – (0,8)2 = 0,68.Тогда σ [ X ] = D[ X ] = 0,82 .Пример 6.2.

Непрерывная CB распределена по закону Лапласа:−xf ( x) = b ⋅ e . Найти коэффициент b, математическое ожидание M[X],дисперсию D[X], среднее квадратическое отклонение σ[X].Решение. Для нахождения коэффициента b воспользуемся свойством∞нормировки плотности распределения∫−∞b = 1/2. Так как функция xe−x∞f ( x)dx = 2b ∫ e− x dx = 2b = 1 , откуда0– нечетная, то M [ X ] = 0,5 ⋅D [ X ] = 0,5 ⋅∫−∞2 −xx e∫xe−xdx = 0 ,−∞дисперсия D[X] и СКО σ [ X ] соответственно равны∞∞∞dx = 2 ⋅ 0,5 ⋅ ∫ x 2e−xdx = 2 ,0σ [ X ] = D[ X ] = 2 .ЗАДАЧИ6.1. В условиях задачи 5.1 определить математическое ожидание, второйначальный момент, дисперсию и СКО СВ X.Ответ: m X = 2,176; α 2 ( x ) = 6,112; D X = 1, 377; σ X = 1,17.6.2.

Из урны, содержащей 4 белых и 6 черных шаров, случайным образом,без повторений извлекаются 3 шара. СВ X – число белых шаров в выборке.Определить закон распределения и найти математическое ожидание идисперсию СВ X.Ответ: M[Х] = l,2; D[X] = 0,56.6.3. В партии из n изделий k бракованных.

Для проверки наудачувыбирается m изделий. Найти математическое ожидание числа бракованныхизделий, содержащихся в выборке. Вычислить математическое ожидание приn = 20, k = 3; m = 5.Ответ: 137 / 228.6.4. Случайная величина X задана функцией распределения:⎧ 0, x < 1,F (x) = ⎨1− x⎩ A (1 − e ), x ≥ 1 .Найти постоянную А, математическое ожидание, математическоеожидание квадрата СВ X и дисперсию СВ X.Ответ: A = 1, m X = 2 , M [ X ] = 5 , D X = 1 .6.5.

Случайная величина X задана функцией распределения:⎧ 0, x ≤ − 2,⎪F ( x ) = ⎨ A (1 + cos bx ), − 2 < x ≤ 2,⎪1, x > 2.⎩Найти: а) постоянную А; б) математическое ожидание СВ X;в) математическое ожидание квадрата СВ X; г) третий центральный моментСВ X; д) дисперсию СВ X.Ответ: а) 0,5; б) 0; в) 0,758; г) 0; д) 0,758.6.6. Случайная величина X задана функцией распределения:⎧0, x ≤ 0,⎪2⎪x+ x, 0 < x ≤ 3,F (x) = ⎨12⎪⎪⎩ 1, x > 3 .Найти математическое ожидание, дисперсию, СКО, моду и медиану СВ X.Ответ: m X = 1, 875; D X = 0, 6094; σ X = 0, 78; Mo = 3; Me = 2.7.

ТИПОВЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯДискретная СВ Х имеет геометрическое распределение, если онапринимает значения 0, 1, … , ∞ с вероятностямиp ( X = i ) = pi = q i p ,(7.1)где p – параметр распределения (0 ≤ p ≤ 1), q = 1 – p.Числовые характеристики геометрического распределения:m X = q / p, D X = q / p2 .Дискретная СВ X имеет биномиальное распределение, если она принимаетзначения 0, 1, … , n со следующими вероятностями:p( X = i) = pi =n!p i q n −i ,i !(n − i)!(7.2)где n, p – параметры распределения (0 ≤ p ≤1), q=1 – p.Числовые характеристики биномиального распределения:m X = np, D X = nqp.Дискретная СВ Х имеет распределение Пуассона, если она принимаетзначения 0, 1, … , ∞ со следующими вероятностями:ai − ap( X = i) = pi = e ,i!(7.3)где a – параметр распределения (a > 0).Числовые характеристики пуассоновской СВ:m X = a, D X = a .Непрерывная СВ Х имеет равномерное распределение, если ее плотностьвероятности в некотором интервале [а; b] постоянна, т.е.

если все значения X вэтом интервале равновероятны:⎧ 0, x < a ,⎧0, x < a,⎪ 1⎪ x − a⎪, a ≤ x ≤ b , F ( x ) = ⎪⎨f (x) = ⎨, a ≤ x ≤ b,b−a−ba⎪⎪⎪⎩ 0, x > b .⎪⎩ 1, x > b .(7.4)Числовые характеристики равномерно распределенной СВ:a + b(b − a ) 2mX =,DX =.212Непрерывная СВ T, принимающая только положительные значения,имеет экспоненциальное распределение, если ее плотность вероятности ифункция распределения равны⎧λ e −λt , t ≥ 0,f (t ) = ⎨⎩ 0, t < 0,где λ – параметр распределения (λ > 0).⎧1 − e− λt , t ≥ 0,F (t ) = ⎨(7.5)⎩ 0, t < 0,Числовые характеристики экспоненциальной СВ:mT = 1 / λ , DT = 1 / λ 2 .Непрерывная СВ Х имеет нормальное распределение, если ее плотностьвероятности и функция распределения равны⎧ ( x − m )2 ⎫1⎛ x−m ⎞Fx=+Φ()0.5f (x ) =exp⎨−⎬,(7.6)⎜⎟,2σ 2 ⎭σ 2π⎝ σ ⎠⎩где m, σ – параметры распределения ( σ >0),xt2−1Φ( x) =e 2 dt — функция Лапласа.∫2π 0Значения функции Лапласа приведены в приложении.

При использованиитаблицы значений функции Лапласа следует учитывать, что Φ(–x) = –Φ(x),Φ(0) = 0, Φ(∞) = 0,5.Числовые характеристики нормальной СВ:mX= m,Dα k ( x) = k !XI [k / 2]∑i=0= σ 2 ,m k − 2 i (σ / 2) i,( k − 2 i )! i !⎧ 0, k − нечетное,⎪µ k (x) = ⎨ k ! ⎛ σ 2 ⎞k /2, k − ч е т н о е.⎜⎟⎪(k/2)!2⎝⎠⎩Пример 7.1. Время безотказной работы аппаратуры является случайнойвеличиной Х, распределенной по экспоненциальному закону. Среднее времябезотказной работы 100 ч.

Найти вероятность того, что аппаратура проработаетбольше среднего времени.Решение. Так как среднее время безотказной работы, т.е. математическоеожидание, равно 100 ч, то параметр λ экспоненциального закона будет равенλ = 1 / m X = 1 / 100 = 0, 01 . Искомая вероятностьp ( X > mX ) = p (100 < X < ∞) = 1 − F (100) = e −1 ≈ 0,368.Пример 7.2. Для замера напряжения используются специальные датчики.Определить среднюю квадратическую ошибку датчика, если он не имеетсистематических ошибок, а случайные распределены по нормальному закону ис вероятностью 0,8 не выходят за пределы ±0,2.Решение. Из условия задачи следует, что p(-0,2<X<0,2) = 0,8. Так какраспределение ошибок нормальное, а математическое ожидание m равно 0(систематические ошибки отсутствуют), тор{–0,2 < X < 0,2} = Ф(–0,2 / σ) – Ф(0,2 / σ) = 2Ф(0,2 / σ) = 0,8.По таблице функции Лапласа находим аргумент 0,2/ σ =1,28, откудаσ = 0,2 / 1,28 = 1,0156.ЗАДАЧИ7.1.