А.И. Волковец, А.Б. Гуринович. Практикум для студентов, страница 9

Если λ > λγ , то нулевая гипотеза H0 отклоняется, в противном случаенет оснований ее отклонить.Пример 15.1. Выдвинуть гипотезу о законе распределения случайнойвеличины X и проверить ее с помощью критерия χ2. Вариационный ряд,интервальные статистические ряды вероятностей и гистограммы распределенияслучайной величины X приведены в примере 12.2. Уровень значимости α равен0,05.Решение. По виду гистограмм, приведенных в примере 12.2, выдвигаемгипотезу о том, что случайная величина X распределена по нормальномузакону:⎧ ( x − a) 2 ⎫1⎛ x−m⎞exp ⎨−⎬ , F0 ( x ) = 0 , 5 + Φ ⎜H0: f 0 ( x) =⎟;2σ 2π⎝ σ⎠⎩ 2σ ⎭H1: f(x) ≠ N(m, σ).Используя метод моментов, определим оценки неизвестных параметров mи σ гипотетического (нормального) закона распределения:mˆ = x = − 1, 7 , σˆ = S 0 = 1, 9 8 .Значение критерия вычисляем по формуле (15.1):10( p j − p*j ) 2j =1pjχ = 100∑2.При проверке гипотезы используем равновероятностную гистограмму.

Вэтом случаеνj= 10= 0,1.n100Теоретические вероятности pi рассчитываем по формуле (15.2)B −xA −xp j = F0 (Bj ) − F0 ( Aj ) = Φ( j) − Φ( j):S0S0p1 = Ф((–4,5245 + 1,7) / 1,98) – Ф((–∞ + 1,7) / 1,98) = Ф(–1,427) – Ф(–∞) = 0,078.p2 = Ф((–3,8865 + 1,7) / 1,98) – Ф((–4,5245 + 1,7) / 1,98) = Ф(–1,104) + 0,845 = 0,058.p3 = 0,094; p4 = 0,135; p5 = 0,118; p6 = 0,097; p7 = 0,073; p8 = 0,059;p9 = 0,174; p10 = Ф((+∞ + 1,7) / 1,98) – Ф((0,6932 + 1,7) / 1,98) = 0,114.После этого проверяем выполнение контрольного соотношенияp*j =1−10∑j =1p j = 0 < 0, 01.⎛ (0,078 − 0,1)2 (0,064 − 0,1)2(0,114 − 0,1)2 ⎞++L +Тогда χ = 100 ⋅ ⎜⎟=0,0780,0640,114⎝⎠= 100 ⋅ (0,0062 + 0,0304 + 0,0004 + 0,0091 + 0,0028 + 0,0001 + 0,0100 ++ 0,0285 + 0,0315 + 0,0017 ) = 100 ⋅ 0,1207 = 12,07.После этого из таблицы распределения χ2 выбираем критическое значение22χα2; k = χ0,05;χ 2 < 14, 07, то гипотеза H0 принимается7 = 14,07 . Так как(нет основания ее отклонить).Пример 15.2.

По критерию Колмогорова проверить гипотезу оравномерном законе распределения R(0,5; 5,25) случайной величины повыборке объема 10: 2,68 1,83 2,90 1,03 0,90 4,07 5,05 0,94 0,71 1,16, уровеньзначимости α = 0,05.Решение. Вариационный ряд данной выборки имеет вид:0,71 0,90 0,94 1,03 1,16 1,83 2,68 2,90 4,07 5,05.После этого строим график эмпирической функции распределения F*(x)(рис. 15.1).*F (x)1F (x)0 ,3 60x12354Рис. 15.1ТеоретическаяR(0,5;5,25) равнафункцияраспределенияF0(x)равномерногозакона⎧0, x < 0,5⎪F0 ( x ) = ⎨( x − 0,5) /(5,25 − 0,5),0,5 ≤ x < 5,25 .⎪1, x > 5,25⎩Максимальная разность по модулю между графиками F*(x) и F0(x)Z = 0,36 при х = 1,16.Вычислим значение критерия Колмогорова λ = n ⋅ Z = 10 ⋅ 0,36 = 1,14.ИзтаблицыКолмогоровавыбираемкритическоезначениеλ γ = λ1− α = λ 0,95 = 1, 36.

Так как λ < 1,36, гипотеза о равномерном законераспределения принимается.ЗАДАЧИ15.1. С помощью критерия Колмогорова проверить гипотезу о законераспределения случайной величины по выборке, приведенной в задаче 12.2.15.2. По критерию χ2 проверить гипотезу о законе распределения повыборке, приведенной в задаче 12.3.15.3.

Проверить гипотезу о равномерном и экспоненциальном законахраспределения по данным задачи 14.2.16. ОЦЕНКА КОЭФФИЦИЕНТА КОРРЕЛЯЦИИИ ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИПусть проводится n независимых опытов, в каждом из которыхдвухмерная СВ (Х,У) принимает определенные значения и результаты опытовпредставляют собой двухмерную выборку вида {(х1, у1), (х2, у2), (хn, уn)}.Первичная обработка опытных данных включает в себя обработкусоставляющих Х и У как одномерных величин (см. разделы 12–15) ивычисление оценок, присущих только двухмерным (многомерным) случайнымвеличинам.Состоятельная несмещенная оценка корреляционного момента равна*K XY=n1⋅ ∑ ( xi − x )( yi − y ),n − 1 i =1(16.1)где xi, yi – значения, которые приняли случайные величины X, Y в i-м опыте;x , y – средние значения случайных величин X и Y соответственно.Состоятельная оценка коэффициента корреляцииK *XY*RXY =.(16.2)S0 ( x ) S0 ( y )Доверительный интервал с надежностью γ для коэффициента корреляцииR *X Y и случая двухмерного нормального распределенияe2a − 1e 2b − 1< R XY < 2 b,e2a + 1e +1*⎛ 1 + R XY⎞где a = 0, 5 ⋅ ln ⎜⎟−*⎝ 1 − R XY ⎠γ⎛ 1 + R X* Y ⎞; b = 0, 5 ⋅ ln ⎜⎟+*n−3⎝ 1 − R XY ⎠zγ(16.3)zγn−3;z γ = arg Φ ( ) – значение аргумента функции Лапласа Ф(zγ) = γ22(см.

приложение).Алгоритм проверки гипотезы об отсутствии корреляционнойзависимости следующий (предполагается, что двухмерная случайная величина(X, Y) распределена по нормальному закону).1. Формулируется гипотеза:H0: R X Y = 0 ;H1: R X Y ≠ 0 .Здесь R X Y – теоретический коэффициент корреляции.*2. Вычисляется оценка коэффициента корреляции R X Y по формуле (16.2).3. Определяется значение критерияt =R X* Yn−21 − (R*XY)2,(16.4)который распределен по закону Стьюдента с (n – 2) степенями свободы, еслигипотеза H0 верна.4. По заданному уровню значимости α вычисляется доверительнаявероятность γ = 1 – α и из таблицы Стьюдента выбирается критическоезначение t γ , n − 2 .5. Если t > t γ , n − 2 , то гипотеза H0 отклоняется, а следовательно,величины X, Y коррелированы.

В противном случае гипотеза H0 принимается.Регрессией случайной величины Y на X называется условноематематическое ожидание случайной величины Y при условии, что X = x:mY / x = M[Y / X = x] .Регрессия Y на X устанавливает зависимость среднего значения величиныY от величины X. Если X и Y независимы, тоmY / x = mY = const.Если величины X,Y распределены по нормальному закону, то регрессияявляется линейной:mY / x = a0 + a1 x.Оценки параметров â0 и â1 по методу наименьших квадратов вычисляютсяпо следующим формулам:K *X Y(16.5)aˆ 1 =,2S0 (x)aˆ0 = y − aˆ1 ⋅ x .(16.6)где x , y – оценки математического ожидания величин X и Y;S 02 ( x) – оценка дисперсии величины X;*K XY– оценки корреляционного момента величин X и Y.Для визуальной проверки правильности вычисления величин aˆ0 , aˆ1необходимо построить диаграмму рассеивания и график y ( x) = aˆ0 + aˆ1 x(рис.

16.1)._y(x)yixxiРис. 16.1Если оценки параметров a0, a1 рассчитаны без грубых ошибок, то суммаквадратов отклонений всех точек (xi, yi) от прямой y ( x) = aˆ0 + aˆ1 x должна бытьминимально возможной.Пример 16.1. Выборочный коэффициент корреляции, вычисленный по*выборке объема 10, R X Y = − 0, 64 . Найти 90%-ный доверительный интервалдля коэффициента корреляции R X Y .Решение. Из таблицы Лапласа выбирается значение z 0,9 = 1, 645 .

Тогда1 ⎛ 1 − 0, 64 ⎞ 1, 645ln−= − 1, 380 , b = –0,136.2 ⎜⎝ 1 + 0, 64 ⎟⎠7Доверительный интервал вычисляем по формуле (16.3).a=e2⋅(−1,38) −1e2⋅(−0,136) −1< RXY < 2⋅(−0,136) , т.е. –0,881 < RXY < –0,135.+1e2⋅(−1,38) +1eПример 16.2. Проверить гипотезу об отсутствии корреляционной*зависимости при следующих данных: RXY = 0, 2, n = 20; α = 0,05.Предполагается также, что двухмерный закон распределения – нормальный.Решение. Вначале вычислим значение критерия t по формуле (16.4)t=Из0, 2 ⋅ 181 − 0, 2 2= 0, 866.таблицыСтьюдентавыбираемкритическоезначениеtγ ; n − 2 = t1−α ; n − 2 = t 0,95;18 = 2,10.

Так какt < 2 ,1 0 , то гипотеза H0принимается, потому что нет оснований ее отклонить.ЗАДАЧИ16.1. Построить доверительный интервал для коэффициента корреляциидвухмерной нормально распределенной совокупности по следующим данным:*RXY= 0,14 , n = 300, γ = 0,95.Ответ: (–0,03; 0,25).В задачах 16.2−16.3 проверить гипотезу о некоррелированности случайныхвеличин X и Y, предполагая, что двухмерный закон распределения нормальный.*= 0,5; n = 20;α = 0,05.16.2.

RXY*= 0,1; n = 5;α = 0,01.16.3. RXYВ задачах 16.4−16.5 найти уравнение прямой регрессии y ( x ) дляследующих экспериментальных данных:16.4.X1491625Y0,138,114,923,9Ответ: y ( x ) = 0,922 x − 0,909.16.5.X123456Y24,97,911,114,117Ответ: y ( x ) = 3, 023 x − 1, 08.ЛИТЕРАТУРА1. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерныеприложения. – М.: Наука, 1988. – 416 с.2. Вентцель Е.С. Теория вероятностей и математическая статистика: –Учебник.

5-е изд., стереотип. – М.: Высш. шк., 1999. – 576 с.3. Герасимович А.И. Математическая статистика. – Мн.: Выш. шк., 1983. –279 с.4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.:Высш. шк., 1977. – 479 с.5. Жевняк Р.М., Карпук А.А., Унукович В.Т. Теория вероятностей иматематическая статистика: Учеб. пособие для студентов. инж.-экон. спец. –Мн.: Харвест, 2000. – 384 с.6. Аксенчик А.В., Волковец А.И., Корбут А.А., Коренская И.Н.Методические указания и контрольные задания по курсу «Теория вероятностейи математическая статистика» для студентов всех специальностей БГУИРзаочной формы обучения.