А.И. Волковец, А.Б. Гуринович. Практикум для студентов, страница 6

Двухмерная случайная величина (X, Y) имеет закон распределения сплотностью⎧ a ( x + y ), ( x , y ) ∈ D ,f ( x, y ) = ⎨⎩ 0, ( x , y ) ∉ D.Область D – квадрат, ограниченный прямыми x = 0; x = 3; y = 0; y = 3.Требуется определить коэффициент a; вычислить вероятность попаданияслучайной точки (X, Y) в квадрат Q, ограниченный прямыми x = 1, x = 2, y = 1,y = 2.Ответ: a = 1, P = 1/9.9.3. Двухмерная случайная величина распределена по законуf (x, y) = a /(1+ x2 + y2 + x2 y2 ), −∞ < x < ∞, −∞ < y < ∞ .Найти коэффициент а, установить зависимость случайных величин X и Y.Ответ: a = 1/π2, независимы.9.4. Положение случайной точки (X, Y) равновозможное в любом местекруга радиусом R, центр которого совпадает с началом координат.

Определитьплотность распределения и функцию распределения каждой составляющей X иY. Выяснить зависимость X и Y.⎧⎪1/ π R2 , x2 + y2 ≤ R2f (x, y) = ⎨.222⎪⎩0, x + y > R222222Ответ: f1(x) = 2 R − x , f2 ( y) = 2 R − y , X и Y независимы.πRπR10. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИДВУХМЕРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИНРассмотрим основные числовые характеристики двухмерной случайнойвеличины (X, Y).Смешанный начальный момент порядка k+s равен математическомуожиданию произведения Xk и Ys:⎧n m k s⎪∑∑ xi y j pi, j для ДСВ,⎪ i =1 j =1αk ,s ( x, y) = M[ X kY S ] = ⎨ ∞ ∞(10.1)k s⎪x y f ( x, y)dxdy для НСВ.⎪∫ ∫⎩−∞ −∞Смешанный центральный момент порядка k+s равен математическомуkkожиданию произведения центрированных величин X° и Y° :⎧n mks⎪∑∑(xi − mx ) ( y j − my ) pi, j для ДСВ,⎪ i=1 j=1µk,s (x, y) = M[(X − mX )k (Y − mY )s ] = ⎨ ∞ ∞(10.2)ks⎪(x − mx ) ( y − my ) f (x, y)dxdy для НСВ,⎪∫ ∫⎩−∞ −∞где pij – элементы матрицы вероятностей дискретной величины (X, Y);f(x, y) – совместная плотность вероятности непрерывной величины (X, Y).Рассмотрим наиболее часто используемые начальные и центральныемоменты:mX = α1,0 ( x, y ), mY = α 0,1 ( x, y ) ;(10.3)DX = µ2,0 (x, y) = α2,0 (x, y) − mX2 , DY = µ0,2 (x, y) = α0,2 (x, y) − mY2 .(10.4)Корреляционный момент KXY характеризует степень тесноты линейнойзависимости величин X и Y и рассеивание относительно точки (mX, mY):K XY = µ1,1 ( x, y ) = α1,1 ( x, y ) − mX mY .Коэффициент корреляциизависимости величинRXY =RXYхарактеризуетстепень(10.5)линейнойK XYK= XY .DX DY σ X σ Y(10.6)Для любых случайных величин | RXY | ≤ 1.Если величины X и Y независимы, то RXY = 0.Пример 10.1.

Определить коэффициент корреляции величин X и Y(пример 9.1).Решение. Определим математические ожидания величин X и Y поформуле (10.3):323m X = ∑ ∑ xi pij = ∑ xi pi = − 1 ⋅ 0, 3 + 0 ⋅ 0, 5 + 1 ⋅ 0, 2 = − 0,1 ,i =1 j =1i =1mY =32i =1j =1∑∑2y j p ij = ∑ y j p j = 0 ⋅ 0, 3 + 1 ⋅ 0, 7 = 0, 7 .i =1Определим α 1,1 ( x , y ) по формуле (10.1):32α1,1 ( x, y) = ∑∑ xi y j pi, j = −1⋅1⋅ 0,2 + 1⋅1⋅ 0,2 = 0 .i =1 j =1Найдем значение KXY по формуле (10.5)K X Y = α 1,1 ( x , y ) − m X m Y = 0 − ( − 0,1 ⋅ 0, 7 ) = 0, 07 .Определим дисперсии величин X и Y по формуле (10.4):3D X = α 2,0 ( x , y ) − m = ∑ xi2 pi −m X2 = 1 ⋅ 0, 3 + 0 ⋅ 0, 5 + 1 ⋅ 0, 2 − 0, 01 = 0, 49 ,2Xi =12DY = α 0,2 ( x , y ) − mY2 = ∑ yi2 pi −mY2 = 0 ⋅ 0, 3 + 1 ⋅ 0, 7 − 0, 49 = 0, 21 .j =1Значение коэффициента корреляции RXY вычислим по формуле (10.6):KXY0,07RXY ==≈ 0,22 .DX DY0,21⋅ 0,49Пример 10.2.

Определить коэффициент корреляции величин X и Y(пример 9.2).Решение. Найдем математическое ожидание и дисперсию величины X поформулам (10.3) и (10.4) соответственно:mX = α1,0(x,y) =4 4− x∫∫0 04 4− xDx = µ2,0(x,y)= ∫∫0 044− x0011x dxdy = ∫ xdx88∫414dy = ∫ x(4 − x)dx = ,83041148( x − mx ) 2 dxdy = ∫ ( x − ) 2 (4 − x)dx = .88390Так как область D симметрична относительно осей координат, товеличины X и Y будут иметь одинаковые числовые характеристики:mx = my = 4 / 3; Dx = Dy = 8 / 9.Определим корреляционный момент Kxy по формуле (10.5):4 4− xK xy = ∫∫0 0411xy dxdy − m x ⋅ m y = ∫ xdx8804− x24214⎛4⎞⎛4⎞2∫ ydy − ⎜⎝ 3 ⎟⎠ = 16 ∫ x(4 − x) dx − ⎜⎝ 3 ⎟⎠ = − 9 .00Коэффициент корреляции величин X и Y будет равен (10.6):K xy1rxy ==− .2Dx D yЗАДАЧИ10.1. Число X выбирается случайным образом из множества (1, 2, 3). Затемиз того же множества выбирается наудачу число Y, равное или большее X.Найти коэффициент корреляции X и Y.Ответ: RXY = 0,594.10.2.

Плотность вероятности двухмерной случайной величины (X, Y) равна⎧x + y, x ∈[0, 1], y ∈[0, 1];f (x, y) = ⎨⎩0, x ∉[0, 1] или y ∉[0, 1].Найти коэффициент корреляции X и Y.Ответ: RXY = 0,091.10.3. Плотность вероятности двухмерной случайной величины (X, Y) равна⎧ 4 xy , x ∈ [0, 1], y ∈ [0, 1];f ( x, y ) = ⎨⎩ 0, x ∉ [0, 1] или y ∉ [0, 1].Найти коэффициент корреляции X и Y.Ответ: RXY = 0.11. ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИНРассмотрим функцию двух случайных аргументов Y = ϕ ( X1 , X 2 ) .

Функцияраспределения G(y) величины Y определяется по формулеG( y) = ∫∫ f ( x1, x 2 )dx1dx 2 ,(11.1)(D)где f(x1, x2) – совместная плотность вероятности величин X1 и X2.В формуле (11.1) интегрирование производится по области D, котораяопределяется из условия ϕ ( X 1 , X 2 ) < y .В случае, когда Y = X 1 + X 2 , функция распределения∞ y − x1∫ ∫G( y) =−∞ −∞а плотность вероятностиg( y) =∞ y − x2f ( x1 , x2 )dx1dx2 = ∫f ( x1 , x2 )dx2 dx1 ,(11.2)−∞ −∞∞∞−∞−∞∫ f ( x1, y − x1)dx1 = ∫ f ( y − x 2, x 2)dx 2 .Если величины X1 и X2 независимы, тоg( y) =∫∞∞−∞−∞∫ f1( x1) f2 ( y − x1)dx1 = ∫ f1( y − x 2 ) f2 ( x 2)dx 2 .Числовые характеристики функцииY = ϕ ( X1 , X 2 )(11.3)(11.4)двух случайныхнепрерывных величин X1 и X2, имеющих совместную плотность f ( x1, x2 ) ,определяются по формулам:– начальные моменты∞ ∞αk ( y) = ∫ ∫ ϕk (x1, x2 ) f (x1, x2 )dx1dx2 ;(11.5)−∞ −∞– центральные моментыµk ( y) =∞ ∞∫ ∫ (ϕ ( x , x ) − m )12ykf ( x1 , x2 ) dx1dx2 .(11.6)−∞ −∞В случае, когда закон распределения аргументов X1 и X2 неизвестен, аизвестны только их числовые характеристики m1, m2, D1, D2, K12 –математическое ожидание mY и дисперсия DY величины Y = X1 + X2 могут бытьопределены по формулам:mY = M[ X1 + X 2 ] = m1 + m2 ;DY = D[ X 1 + X 2 ] = D1 + D 2 + 2 K 12 .(11.7)(11.8)Если Y = X1X2, то математическое ожидание Y равноmY = M[ X1 X 2 ]= m1m2 + K12 .(11.9)В случае независимых сомножителей X1 и X2 дисперсия Y = X1X2 можетбыть определена по формулеDY = D[ X 1 X 2 ]= D1 D2 + m12 D2 + m22 D1 .(11.10)nЕслиY = a0 + ∑ ai X i ,aii =1–неслучайныекоэффициенты,математическое ожидание и дисперсия Y равныnn⎡⎤mY = M ⎢ a 0 + ∑ ai X i ⎥ = a 0 + ∑ ai mi ;i =1i =1⎣⎦nnn⎡⎤ nDY = D ⎢ a0 + ∑ ai X i ⎥ = ∑ ai2 Di + 2∑ ∑ ai a j K ij .i =1i =1 j =i +1⎣⎦ i =1Пусть Y =то(11.11)(11.12)n∏i =1X i , Xi – независимые случайные величины, значит,математическое ожидание и дисперсия Y равныn⎡ n⎤mY = M ⎢ ∏ X i ⎥ = ∏ mi ;⎣ i =1⎦ i =1nn⎡⎤D Y = D ⎢ ∏ X i ⎥ = ∏ ( D i + m i2 ) −i =1⎣ i =1⎦(11.13)n∏mi =12i.(11.14)Пример 11.1.

Устройство состоит из двух блоков – основного и резервного.При отказе основного блока автоматически включается резервный блок.Определить вероятность безотказной работы устройства в течение 10 ч, есливремя безотказной работы блоков случайно и распределено по показательномузакону, а среднее время наработки на отказ – 10 ч.Решение.

Определим закон распределения вероятностей времени Yбезотказной работы устройства:Y = X1 + X 2,где X1, X2 – время безотказной работы блоков.Величины X1 и X2 независимы и имеют одинаковую плотностьвероятностей:⎧λ e − λ x , x ≥ 0;f1 ( x) = f 2 ( x) = ⎨⎩0 , x < 0.Вычислим величину λ.

Для показательного закона λ = 1/ mX = 0,1. Определимплотность вероятности Y по формуле (11.4):yg ( y ) = ∫ λ e − λ x1 ⋅ λ e − λ ( y − x1 ) dx1 = λ 2 ye − λ y , y > 0.0Вычислим вероятность того, что Y > 10:∞p (Y ≥ 10) =∫10∞g ( y ) dy = λ 2 ∫ ye − λ y dy ≈ 0, 736.10Пример 11.2. Величины X1, X2, X3 независимы и имеют следующиечисловые характеристики:m1 = 2; m2 = –3; m3 = 0; D1 = 4; D2 = 13; D3 = 9.Определить коэффициент корреляции R Y Z величин Y и Z:Y = 3X1 – X2,Z = X3 – 2X1.Решение.

Вычислим математические ожидания Y и Z по формуле (11.11):mY = 3⋅m1 – 1⋅m2 = 9, mZ = m3 – 2⋅m1 = –4.Вычислим дисперсии DY и DZ по формуле (11.12), учитывая, что величиныXi независимы и Kij = 0:DY = (3)2⋅D1 + (–1)2⋅D2 = 49, DZ = D3 + (–2)2D1 = 25.Рассчитаем корреляционный момент KYZ по формуле (10.5). Для этогоопределим α 1,1 ( y , z ) :α 1,1 ( y , z ) = M[YZ] = M[(3X1 – X2)(X3 – 2X1)] = M[3X1X3 – 6 X 12 –22– X2X3 + 2X2X1] = 3m1m3 – 6 M[X 1 ] – m2m3 + 2m2m1 = –6 M[X 1 ] – 12.222Так как D1 = M[X 1 ] – m12 , то M[X 1 ] = D1 + m 1 = 8.Таким образом, α 1,1 ( y , z ) = –60. ТогдаKYZ = α 1,1 ( y , z ) – mY mZ = –60 – 9(–4) = –24.Величину R Y Z определим по формуле (10.6):K YZ24RYZ == −.35D yDZЗАДАЧИ11.1.

Определить закон распределения вероятностей величиныY = sign(X1 +X2), если X1 и X2 – случайные величины, равномернораспределенные на интервалах (–1, 1) и (–1, 2) соответственно.Ответ: p(Y = 1) = 2/3; p(Y = –1) = 1/3.11.2. Случайная точка (X1, X2) равномерно распределена в квадрате свершинами в точках (0, 0), (0, 1), (1, 1) и (1, 0). Определить плотностьвероятности величины Y = X 1 X 2 .Ответ: g(y) = –lny, 0 < y ≤ 1.11.3.