А.И. Волковец, А.Б. Гуринович. Практикум для студентов

Министерство образования Республики БеларусьУчреждение образования«Белорусский государственный университетинформатики и радиоэлектроники»Кафедра вычислительных методов и программированияА.И. Волковец, А.Б. ГуриновичТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙИ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКАПрактикумдля студентов всех специальностей БГУИРдневной формы обученияМинск 2003УДК 519.2 (075.8)ББК 22.171+22.172 я 73В 67Волковец А.И.В 67Теория вероятностей и математическая статистика: Практикум длястуд. всех спец. БГУИР дневной формы обучения / А.И. Волковец,А.Б.

Гуринович. – Мн.: БГУИР, 2003. – 68 с.: ил.ISBN 985-444-533-X.Содержит задачи, рекомендуемые для решения на практических занятиях покурсу «Теория вероятностей и математическая статистика». Темы практическихзанятий соответствуют типовой рабочей программе курса. Во всех разделахприводятся необходимые теоретические сведения и примеры решения типовых задач.УДК 519.2 (075.8)ББК 22.171+22.172 я 73ISBN 985-444-533-X© Волковец А.И., Гуринович А.Б., 2003© БГУИР, 2003СОДЕРЖАНИЕ1.

СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ. ВЕРОЯТНОСТЬ СОБЫТИЯ2. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ3. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ. ФОРМУЛА БАЙЕСА4. ПОВТОРЕНИЯ НЕЗАВИСИМЫХ ОПЫТОВ5. СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА. ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ6. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ7. ТИПОВЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ8. ФУНКЦИИ ОДНОГО СЛУЧАЙНОГО АРГУМЕНТА9. ДВУХМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ10. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДВУХМЕРНЫХ СЛУЧАЙНЫХВЕЛИЧИН11. ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН12. ОЦЕНКА ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ13.

ТОЧЕЧНЫЕ ОЦЕНКИ ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПАРАМЕТРОВ14. ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК15. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ О ЗАКОНЕРАСПРЕДЕЛЕНИЯ16. ОЦЕНКА КОЭФФИЦИЕНТА КОРРЕЛЯЦИИ И ЛИНЕЙНОЙРЕГРЕССИИЛИТЕРАТУРАПРИЛОЖЕНИЕ1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ. ВЕРОЯТНОСТЬ СОБЫТИЯСобытием называется любой факт, который в результате опыта можетпроизойти или не произойти.Достоверным называется событие Ω, которое происходит в каждомопыте.Невозможным называется событие ∅, которое в результате опытапроизойти не может.Несовместными называются события, которые в одном опыте не могутпроизойти одновременно.Суммой (объединением) двух событий A и B (обозначается A+B, A∪B)называется такое событие, которое заключается в том, что происходит хотя быодно из событий, т.е.

A или B, или оба одновременно.Произведением (пересечением) двух событий A и B (обозначается A⋅B, A∩B)называется такое событие, которое заключается в том, что оба события A и Bпроисходят вместе.Противоположным событию A называется такое событие A , котороезаключается в том, что событие A не происходит.События Ak (k = 1, 2, ..., n) образуют полную группу, если они попарнонесовместны и в сумме образуют достоверное событие.При преобразовании выражений можно пользоваться следующимитождествами:A + A = Ω;A ⋅ A = ∅;A + Ω = Ω;A ⋅ Ω = А;A ⋅ ∅ = ∅;A + ∅ = A;A + B = A ⋅ B;A ⋅ B = A + B;A + A⋅ B = A + B .Классическое определение вероятности: вероятность случайногособытия A определяется по формулеmp (A) =,(1.1)nгде n – число равновозможных исходов данного опыта;m – число равновозможных исходов, приводящих к появлению события.Геометрическое определение вероятности.

Пусть в некоторую областьслучайным образом попадает точка T, причем все точки области Ωравноправны в отношении попадания точки T. Тогда за вероятность попаданияточки T в область A принимается отношениеS ( A)p (A ) =,(1.2)S (Ω )где S(A) и S(Ω) – геометрические меры (длина, площадь, объем и т.д.) областейA и Ω соответственно.Основные комбинаторные формулыПусть имеется множество X = {x1, x2, ..., xn}, состоящее из n различныхэлементов. (n, r)-выборкой называется множество, состоящее из r элементов,взятых из множества X.Упорядоченной называется выборка, для которой важен порядокследования элементов.

Если каждый элемент множества X может извлекатьсянесколько раз, то выборка называется выборкой с повторениями.ˆ(n,r)Число упорядоченных (n, r)-выборок (размещений) с повторениями Aи без повторений A(n, r) равноAˆ (n, r ) = n r ,A( n ,r ) =n!.( n − r )!(1.3)(1.4)Если r=n, то размещения без повторений называются перестановками,т.е.

это – расположение элементов исходного множества в определенномпорядке. Число перестановок из n элементов равноPn = n! = 1 ⋅ ... ⋅ n .(1.5)Пустое множество можно упорядочить только одним способом: P0 = 0! = 1.Число неупорядоченных (n, r)-выборок (сочетаний) с повторениями Ĉ nrrи без повторений C n равно(n + r − 1)!Cˆ nr =,r!(n − 1)!(1.6)n!.(1.7)r!(n − r )!Число различных разбиений множества из n элементов на kнепересекающихся подмножеств (причем в 1-м подмножестве r1 элементов, во2-м r2 элементов и т.д., а n = r1 + r2 +... + rk) равноn!Pn (r1 , r2 ,..., rk ) =.(1.8)r1! r2 !...rk !Пример 1.1.

В партии транзисторов n стандартных и m бракованных. Приконтроле оказалось, что первые k транзисторов стандартны. Найти вероятностьp того, что следующий транзистор будет стандартным.Решение. Всего осталось для проверки n + m – k транзисторов, из которыхстандартных n – k.

По формуле классического определения вероятностиn−k.p=n+m−kПример 1.2. Среди кандидатов в студенческий совет факультета трипервокурсника, пять второкурсников и семь студентов третьего курса. Из этогоC nr =состава наугад выбирают пять человек. Найти вероятность того, что всепервокурсники попадут в совет.Решение. Число способов выбрать пять человек из 3 + 5 + 7 = 15 равночислу сочетаний из 15 по 5 (неупорядоченная выборка без повторений):15!C155 == 3003 .5!⋅ 10!Выбрать трех первокурсников из трех можно одним способом.Оставшихся двух членов совета можно выбрать C122 способами:12!C122 == 66 .2!⋅ 10!Искомая вероятность p = 66 / 3003 = 2 / 91.Пример 1.3.

Банковский сейф имеет кодовый замок, состоящий из шестидисков с восемью буквами на каждом. Сейф открывается при набореединственной комбинации букв. Злоумышленник пытается открыть сейф,причем на проверку одной кодовой комбинации у него уходит 10 секунд.Какова вероятность того, что злоумышленник успеет открыть сейф, если в егораспоряжении 1 час?Решение.

Обозначим искомую вероятность через P(A). По формуле (1.1)она будет равна m/n . Здесь n – общее число исходов, равное числу кодовыхкомбинаций замка, оно определяется по формуле (1.3) и равно 86; m – числоблагоприятствующих исходов, в данном случае равное числу комбинаций,которые успеет испробовать злоумышленник за 1 час, т.е. 360. Таким образом,искомая вероятность будет равна P ( A) =360≈ 1, 4 ⋅10−3 .68ЗАДАЧИ1.1. Пусть А, B, С – три события, наблюдаемые в данном эксперименте.Выразить следующие события через события А, В и С: D = {ни одно из трехсобытий А, B, С не произойдет); Е = {из трех событий А, B, С произойдетровно одно}; F = {из трех событий произойдет ровно два}; G = {из трехсобытий произойдет хотя бы одно]; H = {из трех событий произойдет не менеедвух}.Ответ:D = ABC, E = ABC + ABC + ABC, F = ABC + ABC + ABC, G = A + B + C, H = AB + AC + BC .1.2.

Прибор состоит из двух блоков первого типа и трех блоков второготипа. Прибор работает, если исправен хотя бы один блок первого типа и неменее двух блоков второго типа. Пусть события: Аi , i = 1, 2 – исправен i-й блокпервого типа, Bj , j = 1, 2, 3 – исправен j – блок второго типа. Выразить событиеС, означающее работу прибора, через события Аi, и Bj.Ответ: С = (А1 + А2)(В1 В2 +В1В3 + В2 В3).1.3. Куб, все грани которого окрашены, распилен на тысячу кубиководинакового размера.

Полученные кубики перемешаны. Определитьвероятность того, что наудачу извлеченный кубик будет иметь две окрашенныеграни.Ответ: 0,096.1.4. Группа, состоящая из 8 человек, занимает места за круглым столом вслучайном порядке. Какова вероятность того, что два определенных лицаокажутся сидящими рядом?Ответ: 2/7.1.5. Шесть человек вошли в лифт на первом этаже семиэтажного дома.Считая, что любой пассажир может с равной вероятностью выйти на любомэтаже, кроме первого, найти вероятность того, что на каждом этаже выйдет поодному пассажиру.Ответ: 5/324.1.6.

Из разрезной азбуки выкладывается слово МАТЕМАТИКА. Затем всебуквы этого слова перемешиваются и выкладываются в случайном порядке.Какова вероятность того, что снова получится слово МАТЕМАТИКАОтвет: 6,6 ⋅ 10–6.1.7. Самолет, имеющий радиолокационную станцию с дальностьюдействия d, осуществляет поиск со скоростью ν в достаточно большом районеплощадью S, в любой точке которого может находиться в течение времени tподводная лодка. Найти вероятность р обнаружения подводной лодки, есливремя t невелико и лодка обнаруживается при попадании в зону действиярадиолокатора.Ответ: (πd2 + 2d ν t) / S.1.8. Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу. Времяприхода пароходов независимо и равновозможно в течение суток. Определитьвероятность того, что одному из пароходов придется ожидать причала, есливремя стоянки первого парохода – один час, а второго – два часа.Ответ: 139/1152.2.

ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙВероятность суммы несовместных событий A1, ... , An равна суммевероятностей этих событийnp ( A1 + A2 + …+ An ) = ∑ p ( Ai ) .(2.1)i =1Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностейкаждого из событий минус вероятность их совместного появления:p(A + B) = p(A) + p(B) – p(A ⋅ B).(2.2)Вероятность суммы трех совместных событий вычисляется последующей формуле:p(A + B + C) = p(A) + p(B) + p(C) – p(A ⋅ B) – p(B ⋅ C) – p(A ⋅ C) + p(A ⋅ B ⋅ C).

(2.3)Вероятность суммы n событий A1, ... , An равнаnp (∑ Ai ) =i=1nni1 = 1ik = 1n∑i1 = 1p ( A i1 ) −nn∑ ∑i1 = 1 i 2 = 1p ( A i1 A i 2 ) + . . .. . . + ( − 1 ) k + 1 ∑ . . . ∑ p ( A i1 A i 2 . . . A i k ) + . . . + ( − 1 ) n + 1 p ( A 1 A 2 . . . A n ) .С учетом того, что p ( A) = 1 − p ( A ) , вероятность суммы n событий (еслиn > 3) удобнее вычислять по формулеp ( A1 + A2 + … + An ) = 1 − p ( A1 ⋅ A2 ⋅ …⋅ An ) .(2.4)Вероятность произведения двух событий равна вероятности одного изних, умноженной на условную вероятность второго при наличии первого.p ( AB ) = p ( A) p ( B / A) = p ( B ) p ( A / B ) .(2.5)Для независимых событийp ( AB ) = p ( A) p ( B ) .(2.6)Вероятность произведения n событий Ai (i = 1, 2, …, n) равнаp( A1 ⋅ A2 ⋅ …⋅ An ) = p( A1 ) ⋅ p( A2 / A1 ) ⋅ p( A3 / A1 ⋅ A2 ) ⋅ …⋅ p( An / A1 ⋅ A2 ⋅ …⋅ An−1 ),(2.7)где p( Ak / A1 ⋅ …⋅ Ak −1 ) – вероятность появления события Ak, при условии, чтособытия A1 , A2 , …, Ak −1 в данном опыте произошли.В случае независимых событий данная формула упрощается:(2.8)p(A1 ⋅ A2 ⋅ … ⋅ An) = p(A1) ⋅ p(A2) ⋅ …⋅ p(An).Пример 2.1.