13 Экстремум функции нескольких переменных (Лекции Линейная алгебра и ФНП), страница 2

Функция f (x, y) = x2 + y 4 двух переменных дифференцируема во всейплоскости xOy, и ее точки экстремума следует искать среди стационарных точек. Вычисливчастные производные, заключаем, что у функции только одна стационарная точка (0, 0). Таккак функция дважды непрерывно дифференцируема, для исследования характера этой точкиможно использовать теорему 13.2.

В силу равенствÌÃÒÓÌÃÒÓТеорема 13.2 (достаточное условие экстремума функции). Пусть функция нескольких переменных f : Rn → R определена в окрестности U (a) точки a, дважды непрерывнодифференцируема в U (a) и df (a) = 0. Тогда:1) если квадратичная форма d2 f (a) в точке a положительно определенная, то в этой точкефункция f (x) имеет строгий локальный минимум;2) если квадратичная форма d2 f (a) в точке a отрицательно определенная, то в этой точкефункция f (x) имеет строгий локальный максимум;3) если квадратичная форма d2 f (a) в точке a знакопеременная, то в этой точке функция f (x)не имеет экстремума.ÌÃÒÓÔÍ-12Исследование стационарных точек функции нескольких переменных на экстремум, как ив случае функций одного переменного, можно проводить, анализируя дифференциал второго порядка. Напомним, что дифференциал второго порядка функции нескольких переменныхпредставляет собой квадратичную форму относительно приращений (дифференциалов) независимых переменных.ÔÍ-12ÌÃÒÓ13.2.

Достаточное условие экстремумаÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ59ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 13. ЭКСТРЕМУМФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХПЕРЕМЕННЫХÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12Теорема 13.3 (достаточное условие экстермума для функции двух переменных).Пусть функция f (x, y) определена в окрестности U (a, b) точки P (a, b), дважды непрерывнодифференцируема в U (a, b) и df (a, b) = 0. Тогда:1) если A > 0 и AC − B 2 > 0, то в точке P (a, b) функция f (x, y) имеет строгий локальныйминимум;2) если A < 0 и AC − B 2 > 0, то в точке P функция f (x, y) имеет строгий локальныймаксимум;3) если AC − B 2 < 0, то функция f (x, y) не имеет в точке P экстремума.ÌÃÒÓJ Согласно критерию Сильвестра, второй дифференциал d2 f (a, b) является положительно определенной квадратичной формой, если A > 0 и det f 00 (a, b) = AC − B 2 > 0.

Второй дифференциалявляется отрицательно определенной квадратичной формой, если A < 0 и AC − B 2 > 0. Онявляется знакопеременной квадратичной формой, если AC − B 2 < 0. Наконец, квадратичнаяформа d2 f (a, b) вырождена, если AC − B 2 = 0. С учетом этих фактов из теоремы 13.2 получаемдоказываемое утверждение. IÔÍ-12d2 f (a, b) = A dx2 + 2B dx dy + C dy 2по переменному dx (при A 6= 0) или переменному dy (при C 6= 0) имеет нулевой дискриминанти потому представляет собой полный квадрат.

Например, при A 6= 0 имеемB 2A dx2 + 2B dx dy + C dy 2 = A dx + dy .AПри AC = B 2 функция может иметь в точке (a, b) локальный экстремум, а может и не иметьего (см. пример 13.4).ÔÍ-12ÔÍ-12Теорема 13.3 не охватывает случай AC = B 2 . В этом случае квадратичная форма d2 f (a, b)вырождена, но сохраняет знак, так как квадратный трехчленÌÃÒÓÌÃÒÓС помощью этих обозначений дифференциал второго порядка функции f (x, y) в точке P иматрицу Гессе можно записать следующим образом:A B22200d f (a, b) = A dx + 2B dx dy + C dy , f (a, b) =.B CÌÃÒÓÌÃÒÓ60ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 13. ЭКСТРЕМУМФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХПЕРЕМЕННЫХÔÍ-12Такие задачи решают в два этапа.

На первом этапе с помощью необходимых условий экстремума отбирают точки, подозрительные на экстремум (критические точки). На втором этапекаждую отобранную точку исследуют на наличие в ней экстремума функции. Это исследованиеможет выполняться либо с помощью различных достаточных условий экстремума (см. 13.2),либо с помощью непосредственного анализа поведения функции в окрестности исследуемойточки.x3 + 2xy + y 2 → extr .ÌÃÒÓПример 13.5. Рассмотрим задачуÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12Задачу исследования функции нескольких переменных f : Rn → R на экстремум часто записывают в видеf (x) → extr .ÌÃÒÓÌÃÒÓ13.3. Исследование функций на экстремумÌÃÒÓÌÃÒÓfy0 (x, y) = 0.В нашем случае fx0 (x, y) = 3x2 +2y, fy0 (x, y) = 2x+2y, и мы получаем систему двух уравненийс двумя неизвестными:(3x2 + 2y = 0,(13.1)2x + 2y = 0.Из второго уравнения находим, что x = −y, и после подстановки в первое уравнение получаем3y 2 + 2y = 0.

Следовательно, система (13.1) имеет два решения22y2 = − , x2 = .33Значит, функция f (x, y) имеет две стационарных точки P1 (0, 0), P2 (2/3, −2/3).Воспользуемся достаточным условием экстремума для функции двух переменных. Для этогонайдем частные производные второго порядка функции f (x, y):00fxy(x, y) = 2,fy002 (x, y) = 2.ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12Подставляя в эти производные координаты точки P1 , находим A = 0, B = 2, C = 2.

ОтсюдаAC − B 2 < 0, и, согласно достаточным условиям экстремума функции двух переменных, вточке P1 (0, 0) функция f (x, y) экстремума не имеет. Аналогичные вычисления для точки P2дают следующее: A = 4 > 0, B = 2, C = 2, AC −B 2 > 0. Значит, в точке P2 (2/3, −2/3) функцияf (x, y) имеет строгий локальный минимум. Значение функции в точке P2 равно fmin = −4/27.Обратим внимание на то, что у функции f (x, y) есть значения, меньшие fmin .

Например,f (−10, 0) = −1000. Это говорит о том, что минимум в точке P2 носит локальный характер,а не абсолютный: значение f (2/3, −2/3) является наименьшим лишь в некоторой окрестноститочки P2 , но не во всей плоскости.ÌÃÒÓÌÃÒÓиÔÍ-12y1 = 0, x1 = 0ÌÃÒÓÔÍ-12Функция f (x, y) = x3 + 2xy + y 2 является бесконечно дифференцируемой, т.е. f ∈ C ∞ (R2 ).Поэтому ее точки экстремума — это стационарные точки, которые можно найти, приравнявнулю частные производные функции первого порядка:( 0fx (x, y) = 0,fx002 (x, y) = 6x,ÔÍ-12ÌÃÒÓ61ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 13. ЭКСТРЕМУМФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХПЕРЕМЕННЫХÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ОГЛАВЛЕНИЕ......... . .

. .. . . . . .. . . . . .. . . . . ....... .. .. .57575960ÔÍ-12....ÔÍ-12ÌÃÒÓ....ÌÃÒÓÔÍ-12....ÔÍ-12ÌÃÒÓпеременных . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .ÌÃÒÓÔÍ-12Лекция 13. Экстремум функции нескольких13.1. Необходимое условие экстремума . . .13.2.

Достаточное условие экстремума . . .13.3. Исследование функций на экстремум .ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ.