13 Экстремум функции нескольких переменных (Лекции Линейная алгебра и ФНП)

ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12Московский государственный технический университетимени Н.Э. БауманаФакультет «Фундаментальные науки»Кафедра «Математическое моделирование»À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. ÊðèùåíêîÌÃÒÓÌÃÒÓÏÅÐÅÌÅÍÍÛÕÔÍ-12Êîíñïåêò ëåêöèéÌÃÒÓÌÃÒÓÔÓÍÊÖÈÈ ÍÅÑÊÎËÜÊÈÕÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÓ÷åáíîå ïîñîáèå ïî äèñöèïëèíå<Ëèíåéíàÿ àëãåáðà è ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ>äëÿ ñòóäåíòîâ âñåõ ñïåöèàëüíîñòåéÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12МоскваÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓЛекция 13ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИНЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓЭкстремум ФНП.

Необходимое условие экстремума. Достаточные условия экстремума (формулировка с помощью матрицы Гессе, без док-ва).Если неравенства в определении 13.1 являются строгими, то говорят о строгом экстремуме функции.Теорема 13.1 (необходимое условие экстремума функции). Пусть функция нескольких переменных f : Rn → R имеет в точке a ∈ Rn экстремум. Если функция f (x) (x == (x1 , . . . , xn )) имеет в точке a частную производную первого порядка по переменному xi ,1 6 i 6 n, то эта частная производная равна нулю: fx0 i (a) = 0.ÌÃÒÓÌÃÒÓОпределение 13.1. Говорят, что функция нескольких переменных f : Rn → R, определеннаяв некоторой окрестности точки a ∈ Rn , имеет в этой точке локальный максимум (мини◦мум), если существует такая проколотая окрестность U(a, ε) точки a, что для любой точки◦x ∈ U(a, ε) выполнено неравенство f (x) 6 f (a), (f (x) > f (a)).

Понятия локального минимумаи локального максимума функции объединяют под общим названием экстремум функции.ÔÍ-12ÔÍ-1213.1. Необходимое условие экстремумаJ Утверждения следствия сводятся к следующему: если в точке a экстремума функция f (x)имеет все частные производные, то эти частные производные равны нулю. Действительно, градиент — это вектор, координатами которого являются значения частных производных функцииÔÍ-1257ÔÍ-12Следствие 13.1.

Пусть функция нескольких переменных f : Rn → R имеет в точке a ∈ Rnэкстремум. Тогда:– если в точке a определен градиент функции f (x), то он равен нулю: grad f (a) = 0;– если функция дифференцируема в точке a, то df (a) = 0.ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓодного действительного переменного t, которая получается, если у функции f (x) зафиксированывсе переменные, кроме i-го, равного t. Функция g(t) в точке t = ai имеет локальный экстремум.В самом деле, пусть, например, f (x) имеет в точке a локальный максимум.

Тогда существует◦такая проколотая окрестность U(a, ε) = {x ∈ Rn : 0 < |x − a| < ε} точки a, что f (x) 6 f (a) при◦x ∈ U(a, ε). Но в таком случае g(t) 6 g(ai ) при 0 < |t − ai | < ε, что соответствует определениюлокального максимума функции одного переменного.Функция g(t) дифференцируема в точке t = ai , так как функция f (x) имеет в точке aчастную производную по переменному xi . При этом g 0 (ai ) = fx0 i (a). Согласно необходимомуусловию локального экстремума для функции действительного переменного, выполнено равенство g 0 (ai ) = 0.

Следовательно, fx0 i (a) = 0. IÌÃÒÓÔÍ-12g(t) = f (a1 , . . . , ai−1 , t, ai+1 , . . . , an )ÔÍ-12ÔÍ-12J Пусть a = (a1 , . . . , an ). Рассмотрим действительную функциюÌÃÒÓfy0 = 2(y + 2) = 0.Мы получили систему двух уравнений относительно неизвестных x и y. Единственнымрешением этой системы уравнений является x = 0, y = −2. Поэтому функция f (x, y) можетиметь экстремум только в точке (0, −2).Необходимое условие экстремума функции не позволяет определить, действительно ли вточке (0, −2) функция f (x, y) имеет экстремум. Оно лишь выделяет относительно небольшоеколичество точек, в которых экстремум может быть.

Дальнейшее исследование на экстремумпредполагает анализ каждой критической точки. В данном случае нетрудно увидеть, что в точ2ке (0, −2) функция f (x, y) имеет локальный минимум, так как слагаемое ex имеет наименьшеезначение при x = 0, а слагаемое (y + 2)2 — при y = −2.gx0 = 2x = 0,gy0 = −2y = 0.ÔÍ-12Пример 13.3. Функция двух переменных h(x, y) = |x|+y 2 дифференцируема во всех точкахплоскости xOy, кроме точек оси Oy. При этом h0x (x, y) = 1 при x > 0 и h0x (x, y) = −1 при x < 0.Значит, точки экстремума могут располагаться только на оси Oy, в точках которой не существует частная производная h0x .

Обратим внимание, что частная производная функции h(x, y)по переменному y существует во всех критических точках, но обращается в нуль только приy = 0, т.е. в начале координат. Поэтому единственная точка, в которой может быть экстремумфункции, — это точка (0, 0). Дальнейшее исследование поведения функции в окрестности этойточки можно проводить так же, как и в примере 13.1. Слагаемое |x| имеет строгий локальныйминимум при x = 0, а слагаемое y 2 — при y = 0. Следовательно, в точке (0, 0) функция h(x, y)имеет строгий локальный минимум.ÌÃÒÓЭта система имеет единственное решение x = 0, y = 0. Значит, функция g(x, y) может иметьэкстремум лишь в точке (0, 0). Однако при y = 0 функция одного переменного g(x, 0) = x2 вточке x = 0 имеет строгий локальный минимум, так как g(x, 0) = x2 > 0 = g(0, 0), x 6= 0, а приx = 0 функция одного переменного g(0, y) при y = 0 имеет строгий локальный максимум, таккак g(0, y) = −y 2 < 0 = g(0, 0), y 6= 0.

Поэтому точка (0, 0) не может быть точкой экстремумафункции g(x, y). #ÔÍ-12Пример 13.2. Покажем, что у функции g(x, y) = x2 − y 2 нет экстремумов (в этом, кстати,можно убедиться, изобразив в прямоугольной системе координат в пространстве график этойфункции).Функция g(x, y) дифференцируема на всей плоскости. Поэтому ее точки экстремума могутбыть лишь среди стационарных точек.

Вычислим частные производные функции и запишемсистему уравнений, приравняв частные производные нулю:ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-122fx0 = 2xex = 0,ÌÃÒÓÌÃÒÓ2Пример 13.1. Функция двух переменных f (x, y) = ex + (y + 2)2 − 1 дифференцируемана всей плоскости. Значит, в соответствии с необходимым условием экстремума (см. такжеследствие 13.1) точки экстремума этой функции надо искать среди ее стационарных точек.Найдем частные производные функции и приравняем их нулю:ÌÃÒÓÔÍ-12Из следствия 13.1 вытекает, что точки экстремума функции нескольких переменных f (x)надо искать либо среди точек, в которых grad f (x) = 0 (т.е.

среди стационарных точекфункции), либо среди точек, в которых градиент не определен (не существует одна или несколько частных производных). Все точки, в которых градиент функции равен нулю или неопределен, называют точками, подозрительными на экстремум, или критическими точками функции.Впрочем, согласно теореме 13.1, при исследовании функции на экстремум можно не рассматривать те критические точки, в которых хотя и не все частные производные существуют, носуществует по крайней мере одна частная производная, не равная нулю.ÔÍ-12ÌÃÒÓпервого порядка в данной точке, а коэффициентами дифференциала первого порядка являютсяте же значения частных производных.

IÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ58ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 13. ЭКСТРЕМУМФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХПЕРЕМЕННЫХÔÍ-12ÌÃÒÓ∂2f= 2,∂x2∂2f= 0,∂x∂y∂2f= 12y 2∂y 2fx0 (a, b) = fy0 (a, b) = 0.Для частных производных в фиксированной точке часто используют обозначения:00B = fxy(a, b),ÌÃÒÓA = fx002 (a, b),C = fy002 (a, b).ÔÍ-12В точке P матрица Гессе f 00 (a, b) функции f (x, y), представляющая собой матрицу квадратичной формы d2 f (a, b), имеет вид!0000f(a,b)f(a,b)2xyxf 00 (a, b) =.00fxy (a, b) fy002 (a, b)ÌÃÒÓНапомним, что тип квадратичной формы d2 f (a) можно определить с помощью критерияСильвестра или приведением ее к каноническому виду. В случае функции двух переменныхдостаточное условие экстремума функции в сочетании с критерием Сильвестра приводит кпростым правилам проверки.Предположим, что функция f (x, y) дважды дифференцируема в окрестности точки P (a, b)и в этой точке выполнено необходимое условие экстремума функции, т.е.ÔÍ-12второй дифференциал функции f (x, y) в точке (0, 0) имеет вид d2 f (0, 0) = 2 dx2 .

Это вырожденная квадратичная форма, сохраняющая знак. Значит, теорема 13.2 в данном случае ничего недает. Однако нетрудно заметить, что в точке (0, 0) функция f (x, y) имеет локальный минимум.Функция двух переменных g(x, y) = x2 − y 4 также имеет единственную стационарную точку(0, 0), причем второй дифференциал этой функции в точке (0, 0) совпадает с d2 f (0, 0) = 2dx2 .Но при этом функция g(x, y) не имеет в точке (0, 0) экстремума, так как она в этой точкедостигает максимума при фиксированном x = 0 и минимума при фиксированном y = 0.ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12Пример 13.4.