11 Неявные функции. Градиент (Лекции Линейная алгебра и ФНП), страница 3

Если функция f : Rn → R дифференцируема в точке x ∈ Rn , то в этойточке∂f (x)= прn grad f (x),(11.7)∂nгде прb a — проекция вектора a на направление вектора b.ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12Рис. 11.4ÌÃÒÓ(x, y) = |x| прx y,(11.8)в которой надо взять x = n◦ , y = grad f (x) и учесть, что |n◦ | = 1. При n > 3 формулу (11.8)следует трактовать как определение ортогональной проекции вектора y на направление вектораx. Это также позволит записать равенство (11.6) в виде (11.7).

IСвойство 11.2. Если функция f : Rn → R дифференцируема в точке x ∈ Rn и grad f (x) 6= 0,то при n = grad f (x) имеем∂f (x)= | grad f (x)|.∂ngrad f (x)и, согласно (11.6),| grad f (x)|grad f (x)grad f (x),| grad f (x)|=| grad f (x)|2= | grad f (x)|.| grad f (x)|IСвойство 11.3. Если функция f : Rn → R дифференцируема в точке x ∈ Rn , то в этойточке вектор grad f (x) указывает направление наибольшего роста функции f (x).ÔÍ-12∂f (x)=∂nÌÃÒÓÌÃÒÓJ В случае n = 2 или 3 соотношение (11.7) эквивалентно (11.6) в силу формулы связи междуортогональной проекцией и скалярным произведением двух векторов:J Если n = grad f (x), то n◦ =ÔÍ-12ÌÃÒÓ49ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 11. НЕЯВНЫЕФУНКЦИИ.

ГРАДИЕНТ∂f (x)= (grad f (x), n◦ ) 6 | grad f (x)| |n◦ | = | grad f (x)|,∂nпричем несложно убедиться, что в случае, когда n = grad f (x), приведенное неравенство превращается в равенство. Действительно, тогда n◦ = λ grad f (x), где λ = 1/| grad f (x)|, иÌÃÒÓÌÃÒÓJ В силу неравенства Коши —Буняковского для любого вектора n∂f (x)∂f (x)◦◦◦=(gradf(x),m)=|gradf(x)|(n,m)<|gradf(x)|=.∂m◦∂n◦IСвойство 11.4. Если функция f : Rn → R дифференцируема в точке x, то в этой точкевектор −grad f (x) задает направление наибольшего убывания функции f (x).ÔÍ-12J Как было отмечено выше (см.

замечание 11.1), при изменении направления вектора на противоположное производная дифференцируемой функции по направлению меняет знак. Поэтомуесли вектор n указывает направление наибольшего убывания функции, то вектор −n указываетнаправление наибольшего возрастания функции. В самом деле, если функция f (x, y) возрастаетв направлении некоторого вектора a быстрее, чем в направлении вектора −n, то она и убываетв направлении вектора −a быстрее, чем в направлении вектора n.

Но это противоречит выборувектора n как вектора, определяющего направление наибольшего убывания функции. Согласно свойству 11.3, вектор −n имеет то же направление, что и вектор grad f (x). Следовательно,вектор n по направлению совпадает с вектором −grad f (x). IÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓверно неравенство (n1 , n2 ) < 1. Поэтому если единичный вектор n◦ имеет то же направление,что и grad f (x), а m◦ — любой другой единичный вектор, то с учетом свойства 11.2 имеемÌÃÒÓÔÍ-12Докажем, что никакое другое направление не является направлением наибольшего роста.Отметим, что для несовпадающих единичных векторов n1 и n2 в силу легко проверяемоготождества2 (n1 , n2 ) = |n1 |2 + |n2 |2 − |n1 − n2 |2 = 2 − |n1 − n2 |2ÔÍ-12ÔÍ-12(grad f (x), n◦ ) = λ| grad f (x)|2 = | grad f (x)|.ÌÃÒÓÌÃÒÓ50Свойство 11.5.

Если функция f : Rn → R дифференцируема в точке x, то наибольшаяскорость роста (убывания) функции f (x) в этой точке равна | grad f (x)| (−| grad f (x)|).J Согласно свойствам 11.2 и 11.3, производная функции f (x) по направлению вектора grad f (x)(направлению наибольшего роста) равна | grad f (x)|. Производная по противоположному направлению, определяющая наибольшую скорость убывания функции (см. свойство 11.4), отличается лишь знаком и равна −| grad f (x)|. IПример 11.11. Найдем в точке M (2; 1) наибольшую скорость роста функции двух переменных z(x, y) = x2 y − 2y 3 .Поскольку функция дифференцируема в точке M , то наибольшая скорость ее роста в этойточке равна модулю ее градиента в этой точке. Находим градиент данной функции в произвольной точке:grad z = 2xy, x2 − 6y 2 .ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 11. НЕЯВНЫЕФУНКЦИИ. ГРАДИЕНТgrad z(2, 1) = (4, −2).И наконец, находим искомую скорость:ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓp√√42 + (−2)2 = 20 = 2 5.ÌÃÒÓÔÍ-12| grad z(2, 1)| =ÔÍ-12ÔÍ-12Вычисляем значение градиента в заданной точке M (2; 1):ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ОГЛАВЛЕНИЕ.........

. . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . ...................... . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . ....... .. .. .42424647ÔÍ-12....ÔÍ-12ÌÃÒÓ....ÌÃÒÓÔÍ-12....ÔÍ-12ÌÃÒÓ. . .. . . .. . . .. . . .ÌÃÒÓÔÍ-12Лекция 11. Неявные функции. Градиент11.1. Неявные функции . . . . . . . . . .11.2. Производная по направлению . . .11.3. Градиент . . . . . . . . . . . . . .

.ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ.