09 Дифференцируемые функции нескольких переменных (Лекции Линейная алгебра и ФНП), страница 3

Значит, и к этой функции на указанномотрезке можно применить теорему Лагранжа. Мы приходим к выводу, что00(p + ϑ∆x, q + ϑ1 ∆y)∆y,λ(q + ∆y) − λ(q) = λ0 (q + ϑ1 ∆y)∆y = fxyÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12 ФУНКЦИИЛЕКЦИЯ 9. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕгде ψ(y) = f (p + ∆x, y) − f (p, y), то получимg(∆x, ∆y) = ψ 0 (q + ϑ2 ∆y)∆y = fy0 (p + ∆x, q + ϑ2 ∆y) − fy0 (p, q + ϑ2 ∆y) ∆y,где ϑ2 ∈ (0, 1). Повторно применяя теорему Лагранжа к разности в квадратных скобках,приходим к равенству00g(∆x, ∆y) = fyx(p + ϑ3 ∆x, q + ϑ2 ∆y)∆y∆x,(9.6)где ϑ3 ∈ (0, 1).Соединяя равенства (9.5) и (9.6), а затем сокращая на произведение ∆x∆y 6= 0, получаем0000Переходя в этом равенстве к пределу при (∆x, ∆y) → (0, 0), заключаем, что fxy(p, q) = fyx(p, q),0000так как по условию теоремы смешанные производные fxy и fyx непрерывны в точке (p, q). IУсловие непрерывности смешанных производных в доказанной теореме нельзя опустить:при нарушении этого условия смешанные частные производные могут отличаться.различны в точке (0, 0).ÔÍ-12Пример 9.7.

Покажем, что смешанные частные производные второго порядка функциидвух переменныхxy x2 − y 2 , x2 + y 2 6= 0;x2 + y 2f (x, y) =0,x = y = 0,ÌÃÒÓ0000fxy(p + ϑ∆x, q + ϑ1 ∆y) = fyx(p + ϑ3 ∆x, q + ϑ2 ∆y).ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓg(∆x, ∆y) = ψ(q + ∆y) − ψ(q),ÌÃÒÓÔÍ-12Равенство (9.5) было получено в результате двукратного применения теоремы Лагранжа,причем сперва она применялась по переменному x, затем — по переменному y. Но те же рассуждения можно повторить, поменяв лишь порядок переменных. Тогда получим равенство,аналогичное (9.5), но включающее другую смешанную производную.

Действительно, еслифункцию g(∆x, ∆y) представить в видеÔÍ-12ÌÃÒÓ(9.5)ÌÃÒÓÔÍ-1200(p + ϑ∆x, q + ϑ1 ∆y)∆x∆y.g(∆x, ∆y) = fxyÔÍ-12ÔÍ-12где ϑ1 ∈ (0, 1) — некоторое число. В результате находим, чтоÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12x2 + y 2 6= 0;x = y = 0,x2 + y 2 6= 0;x = y = 0.При y 6= 0 имеем fx0 (0, y) = −y, откудаfx0 (0, y) − fx0 (0, 0)= −1.y→0y00(0, 0) = limfxyАналогично fy0 (x, 0) = x при x 6= 0, и поэтомуfy0 (x, 0) − fy0 (0, 0)= 1.x→0x00fyx(0, 0) = limÌÃÒÓ0000(0, 0) 6= fxy(0, 0), что связано с нарушением условия непрерывности смешанСледовательно, fxyных производных в точке (0, 0).

Разрыв смешанных производных вытекает из теоремы 9.4(согласно этой теореме, в случае непрерывности смешанных производных в точке (0, 0) они вэтой точке совпадали бы). Но в этом можно убедиться и непосредственно. Действительно, вобласти x2 + y 2 6= 0 функции fx0 и fy0 имеют непрерывные частные производные первого порядкапо переменным y и x соответственно, которые равны между собой:x2 − y 28x2 y 20000fxy (x, y) = 21+ 2= fyx(x, y).x + y2(x + y 2 )2ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓ29ÌÃÒÓНайдем частные производные первого порядка: x2 − y 24x2 y 2y+ 2 22 ,x2 + y 2(x + y )fx0 (x, y) =0, 4x2 y 2x2 − y 2x 2 2− 2 22 ,x +y(x + y )fy0 (x, y) =0,ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12 ФУНКЦИИЛЕКЦИЯ 9. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ8k 21+(1 + k 2 )2,00является функцией, разрывной ви предел этой производной при x → 0 зависит от k, т.е. fxyточке (0, 0).ÔÍ-12Частные производные высшего порядка вводятся так же, как и частные производные второго порядка.

Частную производную k-го порядка (k > 1) функции несколькихпеременных определяют как частную производную первого порядка от некоторой частной производной (k−1)-го порядка этой функции.Например, для функции f = f (x, y) двух переменных могут существовать следующие част000000000000000000000ные производные третьего порядка: fxxx≡ fx0003 , fxxy≡ fx0002 y , fxyx, fyxx≡ fyx2 , fyyx ≡ fy 2 x и т.д.,всего восемь частных производных.Порядок производной в верхнем индексе указывают соответствующим количеством штрихов, если он невелик (не выше трех-четырех), а в общем случае натуральным числом. При этомиспользуют как римские обозначения натуральных чисел, так и арабские (в круглых скобках).(3)(4)0000000Например, fxxy≡ fx2 y , fxxyy≡ fx2 y2 ≡ fxIV2 y2 .Пусть X — область в Rn . Через C k (X) обозначают множество тех функций несколькихпеременных, у которых все частные производные до порядка k включительно являются непрерывными на множестве X функциями.

Множества C k (X) называют классами и говорят,что функция принадлежит классу C k в области X, если она является элементом множестваC k (X). О функции f ∈ C k (X) также говорят, что она имеет k-й порядок гладкости вÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ1 − k2=1 + k2ÌÃÒÓÔÍ-1200fxy(x, kx)ÔÍ-12ÔÍ-12Однако, например, при y = kx, x 6= 0, имеемÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓ30области X или что она является k раз непрерывно дифференцируемой в области X. Вэтих обозначениях допусти́м случай k = ∞, означающий, что соответствующая функция имеетнепрерывные частные производные любого порядка. Такую функцию обычно называют гладкой* или бесконечно дифференцируемой функцией.Для функций k-го порядка гладкости в некоторой области значение частной производнойпорядка не выше k не зависит от последовательности, в которой выполняется дифференцироваIVIVние.

Например, при k = 4 равенство fxyxy= fxxyyможно рассматривать как равенство частных00000000000000производных по переменному y функций fxyx и fxxy , или gxyи gyx, где g = fx0 . Но gxy= gyx, так0как эти частные производные, являющиеся частными производными функции fx , непрерывны.IVIV000000.= fxxyyи fxyxy= fxxyЗначит, fxyxСвойство независимости частных производных от порядка дифференцирования, которымобладают функции классов C k , позволяет в обозначениях частных производных группироватьодни и те же переменные и тем самым упрощать запись. Для функции f (x1 , x2 , .

. . , xn ) ∈ C k (X)частные производные r-го порядка (r 6 k) обозначают следующим образом:∂ r f (x)∂ |σ| f (x)≡,∂xi11 . . . ∂xinn∂xi11 . . . ∂xinnÔÍ-12Dσf ≡ÌÃÒÓгде σ = (i1 , i2 , . . . , in ) и r = |σ| обозначает сумму i1 + . . . + in всех индексов.ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓ*Термин «гладкий» в математической литературе не имеет устоявшегося смысла. В разных областях математики этот термин может обозначать разные понятия.ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12 ФУНКЦИИЛЕКЦИЯ 9. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ОГЛАВЛЕНИЕ.....

. . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . ....... .. .. .20202226ÔÍ-12....ÔÍ-12ÌÃÒÓ....ÌÃÒÓÔÍ-12....ÔÍ-12ÌÃÒÓДифференцируемые функции нескольких переменныхЧастные производные . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Дифференцируемость функций нескольких переменных . . . .Частные производные высших порядков . .

. . . . . . . . . . .ÌÃÒÓÔÍ-12Лекция 9.9.1.9.2.9.3.ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ.