09 Дифференцируемые функции нескольких переменных (Лекции Линейная алгебра и ФНП)

ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12Московский государственный технический университетимени Н.Э. БауманаФакультет «Фундаментальные науки»Кафедра «Математическое моделирование»À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. ÊðèùåíêîÌÃÒÓÌÃÒÓÏÅÐÅÌÅÍÍÛÕÔÍ-12Êîíñïåêò ëåêöèéÌÃÒÓÌÃÒÓÔÓÍÊÖÈÈ ÍÅÑÊÎËÜÊÈÕÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÓ÷åáíîå ïîñîáèå ïî äèñöèïëèíå<Ëèíåéíàÿ àëãåáðà è ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ>äëÿ ñòóäåíòîâ âñåõ ñïåöèàëüíîñòåéÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12МоскваÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-129.1.

Частные производныеПример 9.1. Функция двух переменных f (x, y) = x2 + 6xy − y 3 имеет две частные производные: fx0 (x, y) = 2x + 6y, fy0 (x, y) = 6x − 3y 2 . Аналогично для функции g(x, y) = xy , x > 0,находим gx0 (x, y) = yxy−1 , gy0 (x, y) = xy ln x. #∆i f (a, ∆xi ) = f (a1 , . . . , ai−1 , ai + ∆xi , ai+1 , . . . , an ) − f (a1 , . . . , an ).20ÔÍ-12Эту разность называют частным приращением функции нескольких переменных f вточке a по независимому переменному xi . Частное приращение обозначают также через ∆i f (a)или ∆xi f (a).В соответствии с определением частная производная функции f в точке a по переменномуxi есть предел∆i f (a)lim(9.1)∆xi →0 ∆xiотношения частного приращения функции по переменному xi к приращению ∆xi этого жепеременного при ∆xi → 0.

Существование этого предела означает существование частнойпроизводной, т.е. он приводит ко второй формулировке определения частной производной.ÌÃÒÓПусть функция f : Rn → R определена в δ-окрестности U(a, δ) точки a ∈ Rn . Обозначим через ∆xi такое приращение независимого переменного xi в точке a, при котором точкаa = (a1 , . . . , ai−1 , ai +∆xi , ai+1 , . . . , an ) принадлежит U(a, δ). Для этого достаточно, чтобывыполнялось неравенство |∆xi | < δ. Тогда определена разность значений функции f , соответствующая приращению ∆xi :ÔÍ-12Пусть функция нескольких переменных f : Rn → R определена в некоторой окрестноститочки a = (a1 , . . .

, an ) ∈ Rn . Тогда в некоторой окрестности точки a1 ∈ R определена функцияодного переменного ϕ1 (x1 ) = f (x1 , a2 , . . . , an ), которая получается из функции f (x) при фиксированных значениях всех аргументов, кроме первого. Производную ϕ0 (a1 ) функции ϕ(x1 ) вточке a1 ∈ R называют частной производной функции нескольких переменных f вточке a по переменному x1 .

Аналогично можно определить частные производные функции fи по другим переменным.Частную производную функции f в точке a по переменному xi обозначают следующим образом:∂f (a)илиfx0 i (a).∂xiВычисление частных производных функции нескольких переменных сводится к дифференцированию функции одного действительного переменного, когда все переменные функции, кромеодного, «замораживаются».ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓЧастные производные ФНП, геометрическая интерпретация для n = 2. Частные производныевысших порядков.

Теорема о независимости смешанных частных производных от порядкадифференцирования. Матрица Гессе. Дифференцируемость ФНП. Необходимые условия идостаточное условие дифференцируемости.ÔÍ-12ÔÍ-12ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИНЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХÌÃÒÓÌÃÒÓЛекция 9ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓzPQa1LxaРис. 9.1Докажем, что касательная к кривой γ в точке P существует, если функция f имеет в точке(a1 , a2 ) частную производную по переменному x, причем угол α между касательной и положительным направлением оси Ox определяется формулойÔÍ-12Oa2ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓ21Пусть функция двух переменных f (x, y) определена в некоторой окрестности точки a == (a1 , a2 ) ∈ R2 .

Графиком этой функции в пространстве является поверхность, которая впрямоугольной системе координат Oxyz описывается уравнением z = f (x, y). Обозначим линию пересечения этой поверхности с плоскостью y = a2 через γ. Выберем на этой кривойточки P (a1 , a2 , f (a1 , a2 )) и Q(a1 + ∆x, a2 , f (a1 + ∆x, a2 )), а затем через эти точки проведемпрямую L.Пусть при стремлении точки Q по кривой γ к точке P прямая займет некоторое предельноеположение.

Соответствующую этому положению прямую называют касательной к кривой γ вточке P (рис. 9.1).yÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12 ФУНКЦИИЛЕКЦИЯ 9. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ∆x f (a1 , a2 ).∆xЕсли существует частная производная функции f в точке (a1 , a2 ) по переменному x, тосуществует предел∆x f (a1 , a2 )∂f (a1 , a2 )lim tg ϕ = lim=.∆x→0∆x→0∆x∂xПоскольку функция arctg x непрерывна в области определения, то существует и пределα = lim ϕ = lim arctg(tg ϕ) = arctg lim tg ϕ .tg ϕ =∆x→0∆x→0∆x→0ÌÃÒÓЗамечание 9.1.

Можно также показать, что если определена касательная к кривой γ вточке P , причем α 6= ±π/2, то в точке (a1 , a2 ) существует частная производная функции f попеременному x. Если же α = ±π/2, т.е. касательная занимает вертикальное положение, то величина tg ϕ стремится к ±∞ при ∆x → 0, а функция одного переменного ϕ1 (x) = f (x, a2 ) имеетв точке x = a1 беасконечную производную. В этом случае говорят о бесконечной частной производной, расширяя понятие частной производной, и пишут fx0 (a1 , a2 ) = ±∞.

Еслинеобходимо исключить это расширение, то говорят о конечной частной производной.ÌÃÒÓÔÍ-12Следовательно, прямая L имеет предельное положение при ∆x → 0, причем тангенс соответствующего угла α равен частной производной fx0 (a1 , a2 ).ÔÍ-12ÔÍ-12Действительно, угол ϕ, который прямая L, проходящая через точки P и Q, образует с положительным направлением оси Ox, вычисляется по формулеÌÃÒÓÌÃÒÓtg α = fx0 (a1 , a2 ).Аналогично, если существует частная производная fy0 (a1 , a2 ), то в точке P существует касательная к линии пересечения поверхности z = f (x, y) с плоскостью x = a1 , причем значениечастной производной fy0 (a1 , a2 ) равно тангенсу угла, который эта касательная образует с положительным направлением оси Oy.Приведенная геометрическая интерпретация частных производных функции двух переменных аналогична соответствующей интерпретации производной действительной функции одногодействительного переменного.ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-129.2.

Дифференцируемостьфункций нескольких переменныхПусть функция нескольких переменных f : Rn → R определена в некоторой окрестноститточки x ∈ Rn и ∆x = (∆x1 . . . ∆xn ) — такой вектор приращений независимых переменных,что точка x + ∆x тоже принадлежит этой окрестности. В этом случае определено полноеприращение функции f∆f (x) = f (x + ∆x) − f (x),соответствующее приращению ∆x переменных в точке x. Напомним, чтоp|∆x| = (∆x1 )2 + . . . + (∆xn )2 .Определение 9.1. Функцию f : Rn → R, определенную в некоторой окрестности точки x,называют дифференцируемой в точке x, если ее полное приращение в окрестности этойточки можно представить в виде∆f (x) = a1 ∆x1 + a2 ∆x2 + . .

. + an ∆xn + α(∆x)|∆x|,(9.2)где коэффициенты a1 , a2 , . . . , an не зависят от приращений ∆x, а функция α(∆x) являетсябесконечно малой при ∆x → 0.Функцию f называют дифференцируемой в области X ⊂ Rn , если она дифференцируема в каждой точке этой области.ai = fx0 i (x),i = 1, n.т∆x = (0 . . .

0 ∆xi 0 . . . 0) ,∆xi 6= 0,где номер i выбран произвольным образом и зафиксирован. В этом случае |∆x| = |∆xi |, соответствующее полное приращение ∆f (x) функции f (x) сводится к ее i-му частному приращению∆i f (x), а равенство (9.2) принимает видÔÍ-12J Для дифференцируемой в точке x функции f представление (9.2) верно для любого приращения ∆x. В частности, это представление верно, если приращение ∆x имеет видÌÃÒÓТеорема 9.1 (необходимое условие дифференцируемости). Если функция нескольких переменных f : Rn → R дифференцируема в точке x, то у этой функции в точке x существуют все (конечные) частные производные fx0 i (x), i = 1, n, причем коэффициенты ai впредставлении (9.2) равны значениям соответствующих частных производных в точке x:ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓ22ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12 ФУНКЦИИЛЕКЦИЯ 9.

ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕпоскольку функция α(∆x) бесконечно малая при ∆xi → 0, а отношение|∆xi |= ±1 ограниче∆xiно, так что последний предел равен нулю (см. 8.3, свойство 9 предела функции несколькихпеременных). Следовательно, производная fx0 i (x) в точке x существует и равна ai . IСледствие 9.1. Если функция нескольких переменных f : Rn → R дифференцируема вточке x, то в этой точке ее полное приращение ∆f (x) можно представить в видегде α(∆x) → 0 при ∆x → 0.(9.3)ÌÃÒÓ∆f (x) = fx0 1 (x)∆x1 + . . . + fx0 n (x)∆xn + α(∆x)|∆x|,ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12Разделив последнее равенство на ∆xi и перейдя к пределу при ∆xi → 0, получим∆i f (x)|∆xi |lim= ai + lim α(∆x)= ai ,∆xi →0 ∆xi∆xi →0∆xiÌÃÒÓÌÃÒÓ∆f (x) = ∆i f (x) = ai ∆xi + α(∆x)|∆xi |.ÌÃÒÓJ Пусть функция f (x) дифференцируема в точке a. Тогда ее полное приращение в точке aможно записать в видеnX∂f (a)∆f (a) =∆xk + α(∆x)|∆x|,∂xkk=1где α(∆x) → 0 при ∆x → 0. Из этого представления следует, что существует предел∂xk∆x→0означающий, что функция f (x) непрерывны в точке a.

Действительно, полагая ∆x = x − a,заключаем, что f (x) = f (a) + ∆f (a). При x → a имеем ∆x → 0 и, следовательно, ∆f (a) → 0.По теореме 8.4 имеем f (x) → f (a) при x → a, что и означает непрерывность функции fi (x) вточке a. IСледствие 9.2. Если функция нескольких переменных дифференцируема в некоторой области, то она непрерывна в этой области.Пример 9.2. Функция двух переменных( xyx2 + y 20,, x2 + y 2 6= 0;ÌÃÒÓСледующие два примера показывают, что необходимые условия дифференцируемости, окоторых говорится в теоремах 9.1 и 9.2, не являются достаточными условиями дифференцируемости, т.е. обращения соответствующих теорем неверны.f (x, y) =x = y = 0,в начале координат имеет частные производные.

При этом fx0 (0, 0) = 0, fy0 (0, 0) = 0, так какf (x, 0) ≡ 0 и f (0, y) ≡ 0. Если бы эта функция была дифференцируемой в точке (0, 0), топо теореме 9.2 она была бы непрерывной в этой точке (0, 0). Однако это не так (см. пример8.17). Следовательно, функция f (x, y) не дифференцируема в точке (0, 0), хотя и имеет частныепроизводные в этой точке.Одновременное выполнение обоих необходимых условий (непрерывности в точке и существования частных производных) также не гарантируют дифференцируемость функции в точке.непрерывна при x2 + y 2 6= 0 как отношение двух непрерывных функций.

Эта функция непрерывна и в точке (0, 0), поскольку из двойного неравенства 2 xy = |x| |y| |x| 6 1 |x|0 6 2x + y 2 |x|2 + |y|22ÔÍ-12Пример 9.4. Функция двух переменных 2 x y , x2 + y 2 6= 0;f (x, y) = x2 + y 2 0,x = y = 0,ÌÃÒÓПример 9.3. Функция двух переменных f (x, y) = |x| + |y| непрерывна в точке (0, 0), но вэтой точке не существуют ее частные производные fx0 (0, 0) и fy0 (0, 0). Поэтому данная функцияне может быть дифференцируемой в точке (0, 0). #ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12∆x→0ÌÃÒÓÔÍ-12k=1lim ∆xk + lim α(∆x)|∆x| = 0,ÔÍ-12ÌÃÒÓnX∂f (a)ÌÃÒÓÌÃÒÓТеорема 9.2. Если функция нескольких переменных дифференцируема в некоторой точке,то она непрерывна в этой точке.∆x→0ÌÃÒÓÌÃÒÓ23Как и в случае действительных функций одного действительного переменного, есть ещеодно необходимое условие дифференцируемости функции нескольких переменных, связанное сее непрерывностью.lim ∆f (a) =ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12 ФУНКЦИИЛЕКЦИЯ 9.