07 Канонический вид кривых и поверхностей второго порядка (Лекции Линейная алгебра и ФНП), страница 3

Определим, какая кривая задается уравнениемРис. 7.2ÔÍ-12ÌÃÒÓ83ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 7. КАНОНИЧЕСКИЙВИД КРИВЫХÌÃÒÓИ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГОПОРЯДКАÌÃÒÓy3Решая уравнение, находим его корни λ1 = 1, λ2 = 10, λ3 = −2. Знаяих, записываем канонический вид квадратичной формы поверхности,а вместе с ним и каноническое уравнение самой поверхности:y12 + 10y22 − 2y32 − 20 = 0,y2илиРис. 7.3y12 y22 y32+−= 1.20210Видим, что полученное уравнение описывает однополостный гиперболоид (рис. 7.3).7.5. Классификация кривых второго порядкаÌÃÒÓÌÃÒÓy1ÌÃÒÓ84ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 7. КАНОНИЧЕСКИЙВИД КРИВЫХÌÃÒÓИ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГОПОРЯДКАa11 x2 + 2a12 xy + a22 y 2 + 2b1 x + 2b2 y + c = 0,в котором хотя бы один из коэффициентов при слагаемых второй степени отличен от нуля. Этоуравнение может быть преобразовано к одному из канонических видов (7.13).В нашем случае n = 2, так что при r = 2 возможны лишь два варианта:αX 2 + βY 2 = 0,(7.18)где через X, Y обозначены канонические переменные, а параметры α, β одновременно не равнынулю.

В зависимости от знаков коэффициентов α и β в уравнениях (7.18) с учетом возможногопереименования канонических переменных приходим к следующим вариантам:X2 Y 2+ 2 =1a2b— эллипс,ÌÃÒÓÌÃÒÓαX 2 + βY 2 = 1,ÔÍ-12ÔÍ-12Кривая второго порядка на плоскости в системе координат Oxy описывается уравнениемX2 Y 2+ 2 =0a2b— точка (вырожденный эллипс),X2 Y 2− 2 = 0 — пара пересекающихся прямых.a2bЕсли r = 1, то квадратичная форма кривой второго порядка вырождена и имеет однослагаемое. В этом случае возможны три варианта:αX 2 = 0,αX 2 = 1,αX 2 = Y,где α 6= 0. В последнем варианте можно считать, что α > 0, так как иначе достаточно поменять направления векторов базиса и тем самым изменить знак переменной Y в правой части.Кривые с рангом квадратичной формы r = 1 дают еще четыре канонических уравнения:— двойная прямая,X 2 = a2 , a 6= 0,— пара параллельных прямых,X 2 = −a2 , a 6= 0, — пустое множество (пара мнимых прямых),X 2 = 2pY , p 6= 0, — парабола.ÔÍ-12X2 = 0ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ— гипербола,ÌÃÒÓÔÍ-12X2 Y 2− 2 =1a2bÔÍ-12ÔÍ-12X2 Y 2+ 2 = −1 — пустое множество (мнимый эллипс),a2bÌÃÒÓX2 Y 2 Z2+ 2 + 2 = 1 — эллипсоид,a2bcX2 Y 2 Z2+ 2 − 2 = 1 — однополостный гиперболоид,a2bc22YZ2X++= −1 — пустое множество (мнимый эллипсоид),a2b2c2X2 Y 2 Z2+ 2 − 2 = −1 — двуполостный гиперболоид,a2bc22XYZ2+−= 0 — конус,a2b2c2X2 Y 2 Z2+ 2 + 2 = 0 — точка (вырожденный эллипсоид).a2bcЕсли ранг квадратичной формы поверхности равен двум (r = 2), то из уравнений канонического вида (7.13) получаем два варианта:αX 2 + βY 2 = Z,где α, β 6= 0.

В первом варианте одно из переменных, Z, не входит в уравнение, и мы получаем цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной оси OZ, и направляющейв плоскости XOY, которая является кривой второго порядка с квадратичной формой ранга 2.Направляющая определяет тип поверхности согласно классификации кривых второго порядка:++−−=1— эллиптический цилиндр,= −1 — пустое множество (мнимый цилиндр),=1— гиперболический цилиндр,=0— пара пересекающихся плоскостей,=0— прямая (вырожденный эллиптический цилиндр).Во втором варианте мы получаем параболоиды. С учетом возможного изменения знаковприходим к двум каноническим уравнениям, различающимся знаками в квадратичной формеповерхности:ÔÍ-12+Y2b2Y2b2Y2b2Y2b2Y2b2ÌÃÒÓX2a2X2a2X2a2X2a2X2a2ÔÍ-12αX 2 + βY 2 = γ,ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓгде коэффициенты α, β, γ ненулевые. С учетом возможных комбинаций знаков коэффициентови перестановки переменных получаем следующую таблицу канонических видов:ÔÍ-12ÔÍ-12αX 2 + βY 2 + γZ 2 = 0,ÌÃÒÓÌÃÒÓαX 2 + βY 2 + γZ 2 = 1,ÌÃÒÓÔÍ-12Классификация поверхностей второго порядка в пространстве аналогична классификациикривых второго порядка на плоскости.

Но количество уравнений канонического вида при этомвозрастает.Если ранг квадратичной формы поверхности второго порядка равен трем (r = 3), товозможны два варианта (см. (7.13) ):ÔÍ-12ÌÃÒÓ7.6. Классификация поверхностейвторого порядка в пространствеÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ85ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 7. КАНОНИЧЕСКИЙВИД КРИВЫХÌÃÒÓИ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГОПОРЯДКАÌÃÒÓÌÃÒÓX2 Y 2+ 2 = Z — эллиптический параболоид,a2b2XY2−= Z — гиперболический параболоид.a2b2Если ранг квадратичной формы поверхности равен единице (r = 1), то уравнения канонического вида (7.13) приводят к двум случаям:αX 2 = γ,αX 2 = Y,в которых α 6= 0. В этих двух случаях в уравнении также отсутствует переменное Z.

Значит, это цилиндрические поверхности с образующей, параллельной оси OZ, и направляющей,которая расположена в плоскости XOY и представляет собой кривую второго порядка с квадратичной формой ранга 1. Всего получается четыре варианта канонических уравнений:— двойная плоскость,X 2 = a2 , a 6= 0,— пара параллельных плоскостей,ÔÍ-12X2 = 0ÌÃÒÓX 2 = −a2 , a 6= 0, — пустое множество (мнимая пара плоскостей),ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓX 2 = 2pY , p 6= 0, — параболический цилиндр.ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓ86ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 7.

КАНОНИЧЕСКИЙВИД КРИВЫХÌÃÒÓИ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГОПОРЯДКАÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ОГЛАВЛЕНИЕ. . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .....................76767778818485ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12Канонический вид кривых и поверхностей второго порядкаПоверхности второго порядка . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .Изменение системы координат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Упрощение уравнения поверхности второго порядка . . . . . . . . . .Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Классификация кривых второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . .Классификация поверхностей второго порядка в пространстве . . . .ÔÍ-1287ÌÃÒÓЛекция 7.7.1.7.2.7.3.7.4.7.5.7.6.ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ.