07 Канонический вид кривых и поверхностей второго порядка (Лекции Линейная алгебра и ФНП)

ÔÍ-12ÌÃÒÓМосковский государственный технический университетимени Н.Э. БауманаФакультет «Фундаментальные науки»Кафедра «Математическое моделирование»À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. ÊðèùåíêîÌÃÒÓÀËÃÅÁÐÀÔÍ-12Ýëåêòðîííîå ó÷åáíîå èçäàíèåÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ËÈÍÅÉÍÀßÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÓ÷åáíîå ïîñîáèå ïî äèñöèïëèíå<Ëèíåéíàÿ àëãåáðà è ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ>äëÿ ñòóäåíòîâ âñåõ ñïåöèàëüíîñòåéÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12МоскваÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12aii x2i+2aij xi xj + 216i<j6nnXbk xk + c = 0,(7.1)k=1где aij , bk , c — действительные коэффициенты, причем хотя бы один из коэффициентов aij ,1 6 i 6 j 6 n, отличен от нуля.Замечание 7.1. Поверхность второго порядка в Rn при n = 3 представляет собой обычнуюповерхность в пространстве, а при n = 2 — кривую на плоскости.ÔÍ-1276ÔÍ-12i=1XÌÃÒÓОпределение 7.1. Поверхностью второго порядка в Rn называют множество точектx ∈ Rn , координаты x = (x1 .

. . xn ) которых в данной прямоугольной системе координатудовлетворяют уравнениюÔÍ-12Рассмотрим линейное арифметическое пространство Rn , являющееся евклидовым пространством со стандартным скалярным произведением (x, y) = x1 y1 + x2 y2 + . . . + xn yn ,где x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ). Векторы из R3 или R2 можно рассматривать как геометрические векторы в «точечном» трехмерном пространстве или соответственно двумерномпространстве (плоскости). Зафиксировав в трехмерном пространстве точку, мы можем считатьее стандартным началом каждого вектора, а тогда каждая точка пространства определяетсякак конец некоторого геометрического вектора.Эту точку зрения можно обобщить на линейное арифметическое пространство произвольнойразмерности. Векторы в Rn будем трактовать как точки.

Некоторую фиксированную точку O(другими словами, вектор) и ортонормированный базис e в Rn назовем прямоугольной системой координат в Rn , точку O — началом системы координат. Координатамипроизвольной точки M (это тоже вектор из Rn ) в этом пространстве назовем координатывектора M − O относительно базиса e.Приведенное обобщение позволяет с единых позиций анализировать геометрию плоскости итрехмерного пространства.

Оно также позволяет дать геометрическую интерпретацию некоторым объектам арифметического пространства. Например, множество всех решений однороднойсистемы линейных алгебраических уравнений с геометрической точки зрения представляет собой линейное подпространство арифметического пространства соответствующей размерности.А чем с геометрической точки зрения является множество решений неоднородной системы? Какпредставить множество решений алгебраического уравнения второй степени, если переменныхв этом уравнении четыре или больше?ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-127.1.

Поверхности второго порядкаÌÃÒÓÌÃÒÓПриведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием.Приведение уравнений кривых и поверхностей второго порядка к каноническому виду.ÔÍ-12ÔÍ-12КАНОНИЧЕСКИЙ ВИДКРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙВТОРОГО ПОРЯДКАÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓЛекция 7nXÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓУравнение (7.1) удобно записывать в матричной форме, полагая aij = aji при i > j и сводявсе коэффициенты aij в симметрическую матрицу A = (aij ) порядка n, а слагаемые bk — втстолбец b = (b1 . .

. bn ) :ттx Ax + 2b x + c = 0.(7.2)В левой части уравнения (7.2) слагаемые естественным образом распались на три группы.тПервая группа представляет собой квадратичную форму x Ax от координат точки. Ее называют квадратичной формой поверхности (7.1) (кривой при n = 2) второго порядка.Вторая группа представляет собой линейные слагаемые. Ее можно трактовать как координатную запись удвоенного скалярного произведения вектора b со столбцом координат b на вектор xсо столбцом координат x. Третья группа в левой части (7.2) представлена одним слагаемым c.ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓ77ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 7.

КАНОНИЧЕСКИЙВИД КРИВЫХÌÃÒÓИ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГОПОРЯДКАПусть даны старая прямоугольная система координат, состоящая из ортонормированногобазиса b = (b1 . . . bn ) и ее начала в точке b0 , и новая система координат, состоящая из ортонормированного базиса c = (c1 . . .

cn ) и начала c0 . Рассмотрим произвольную точку x скоординатами xb и xc соответственно в старой и новой системах координат.Из определения координат точки в Rn имеем соотношенияПриравнивая выражения для x, получаемbxb + b0 = cxc + c0 .(7.3)Пусть U — матрица перехода из ортонормированного базиса b старой системы координатв ортонормированный базис c новой системы координат. Тогда U — ортогональная матрица(см.

теорему 5.9) и c = bU . Подставляя это представление для c в равенство (7.3), находимbxb + b0 = bU xc + c0 , илиb(xb − U xc ) = c0 − b0 .(7.4)Координаты вектора c0 − b0 относительно базиса b представляют собой координаты точкиc0 (начала новой системы координат) относительно старой системы координат, которые мыобозначим через c0,b : c0 − b0 = bc0,b . С учетом этого равенства преобразуем правую часть (7.4):b(xb − U xc ) = bc0,b .

Отсюда следует, чтоСоотношение (7.5) представляет собой формулу преобразования координат при изменениисистемы координат.Если c0,b = 0, т.е. начала старой и новой систем координат совпадают, то преобразованиекоординат принимает видxb = U x c .(7.6)В двумерном случае при дополнительном условии det U = 1 преобразование (7.6) представляет собой поворот системы координат вокруг неподвижного начала системы координат.В трехмерном случае при том же условии det U = 1 это преобразование является поворотомсистемы координат вокруг некоторой оси, проходящей через начало координат. Ось поворотаопределяется собственным вектором матрицы U с собственным значением 1.

Если det U = −1,то преобразование системы координат кроме поворота включает преобразование симметрии относительно некоторой плоскости или сводится к одной симметрии.ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12(7.5)ÌÃÒÓÌÃÒÓxb = U xc + c0,b .ÔÍ-12ÔÍ-12x − c0 = cxc .ÌÃÒÓÌÃÒÓx − b0 = bxb ,ÔÍ-12ÔÍ-127.2. Изменение системы координатÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12По аналогии с двумерным и трехмерным случаями условно назовем замену (7.6) при произвольном n поворотом системы координат в случае det U = 1 и поворотом системыкоординат с отражением (симметрией) в случае det U = −1.

Введенные терминыусловны потому, что в n-мерном пространстве при n > 3 теряется наглядный смысл понятия«поворот».Если в преобразовании (7.5) матрица U является единичной, т.е. U = E, то старая иновая системы координат имеют один и тот же ортонормированный базис. В этом случаепреобразование координат имеет вид(7.7)xb = xc + c0,b .При n = 2, 3 такое преобразование означает параллельный перенос системы координат, прикотором направления осей координат не изменяются.

В общем случае (при n > 3) преобразование (7.7) мы также будем называть параллельным переносом системы координат.Любое преобразование координат вида (7.5) можно представить как последовательное применение двух преобразований x0 = U xc и xb = x0 + c0,b , которые означают параллельный переносисходной системы координат в точку c и последующий ее поворот (возможно, с отражением),определяемый матрицей U .где y0 — координаты начала новой прямоугольной системы координат относительно старой(см.

(7.5)), а U — ортогональная матрица. При этом преобразовании уравнение (7.2) трансформируется к видуттÌÃÒÓОдин из подходов к анализу поверхности второго порядка в Rn , заданной уравнением (7.2),состоит в подборе такой прямоугольной системы координат, в которой уравнение принимаетнаиболее простой вид.Изменение системы координат приводит к преобразованию исходных координат x точки кее новым координатам y по формулеx = U y + y0 ,ÔÍ-127.3. Упрощение уравненияповерхности второго порядкаÌÃÒÓÌÃÒÓсостоит в повороте на угол ϕ вокруг третьего вектора исходного базиса и последующей симметрии относительно плоскости, которой параллельны первые два вектора (при повороте этаплоскость перейдет в себя). #ÔÍ-12ÔÍ-12Пример 7.1. Преобразование системы координат с матрицейcos ϕ − sin ϕ 00 U =  sin ϕ cos ϕ00−1ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓ78ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 7.

КАНОНИЧЕСКИЙВИД КРИВЫХÌÃÒÓИ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГОПОРЯДКАилит тттттy U AU y + 2(b U + y0 AU )y + y0 Ay0 + 2b y0 + c = 0.(7.8)Уравнение (7.8) показывает, что параллельный перенос системы координат (в этом случаеU = E) не изменяет квадратичной формы поверхности второго порядка. Квадратичная формаповерхности преобразуется по общему правилу (6.4) преобразования квадратичных форм призамене базиса.ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12(U y + y0 ) A(U y + y0 ) + 2b (U y + y0 ) + c = 0,ÌÃÒÓтdj yj + c = 0,тгде (d1 . .

. dn ) = d = U b, а λi , i = 1, n, представляют собой собственные значения матрицыA квадратичной формы поверхности, соответствующие векторам нового ортонормированногобазиса. Дальнейшее определяется возможными значениями λi и di .Для каждого значения индекса i, i = 1, n, возможен один из четырех случаев:1) λi 6= 0, di 6= 0;2) λi 6= 0, di = 0;3) λi = 0, di 6= 0;4) λi = 0, di = 0.Если реализуется случай 4), то соответствующая переменная yi вообще не входит в уравнение и мы имеем случай цилиндрической поверхности в Rn (при n = 3 такая поверхностьдействительно является цилиндрической). В остальных случаях дальнейшее упрощение уравнения (7.9) сводится к упрощению вида линейных слагаемых.Если в уравнении (7.9) для i-й переменной yi реализуется случай 1), то по этой переменнойможно выделить полный квадрат:di 2 d2iλi yi2 + 2di yi = λi yi +− .λiλidi, yj0 = yj , j 6= i, этот случайλirX+2sX(7.10)di zi + h = 0,i=r+1ÔÍ-12где параметр r определяет количество переменных, для которых реализовался случай 2) (возможно, после выделения полного квадрата и соответствующего параллельного переноса).

Дляостальных переменных реализуется случай 3) (после перестановки индексы от r + 1 до s) илислучай 4) (индексы от s + 1 до n).Если s = r, то случай 3) не встречается и в уравнении (7.10) линейные слагаемые будутотсутствовать. При s > r + 1 случай 3) реализуется для нескольких переменных. ТогдаÔÍ-12ÌÃÒÓi=1λi zi2ÌÃÒÓсводится к случаю 2).Реализуем все такие параллельные переносы и, если необходимо, изменим порядок переменных (это равносильно перестановке векторов в базисе).

Тогда уравнение поверхности (7.9) вновых переменных z примет видÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓ(7.9)j=1ÌÃÒÓÔÍ-12+2i=1nXÌÃÒÓÌÃÒÓλi yi2ÔÍ-12ÔÍ-12nXÌÃÒÓНаиболее естественный способ упрощения уравнения (7.2) базируется на предварительномпреобразовании квадратичной формы поверхности. Согласно теореме 6.2, существует новый ортонормированный базис, в котором квадратичная форма имеет канонический вид. Этот базиссостоит из собственных векторов матрицы A квадратичной формы, записанных в исходномортонормированном базисе.