mordkovitch-gdz-10-2004 (Алгебра и начала анализа 10-11 класс - Задачник - Мордкович), страница 13

(л х1. (5х л) 2яп 5тй = 0;5(п — — — !яп~ — — — ! = 0; 2 2 (4 2! ( 2 4! . (х л) — — =0 (2 4т) со5 — — — = 0 л) На отрезке О,— ~ 'г) х л — --=ли тс х = — +глн 2 5х л л 2тй — — — =тй х= — е— 2 4 10 5 л л данное уравнение имеет два корня: х = —, х = — .

!О 2 х яп — кО; 2 Зх яп — кО 2 . х+Зх Зх — х х+Зх Зх-х 0; 2яп — ссм — +2соз — сов — =0; 2 2 2 2 х (яп 2х е соз 2х) = 0; 26. Г)реоб взоеаниес ямт игономегл оческов ф нкций ел изведвние 117 бх+8х 8х — бх !Ох+!2х !2х-!Ох 551.а)сгнбх+соя8т=соз10х+соз12т; 2он — сов — =2аи аи 2 2 2 2 соз 7х соз х = сов 1! х соя х; сов х (сов 7х — соз 11х) = 0; 7х+1!х . 11х — 7х 2созхв!п яп = 0; сов х яп 9х яп 2х = 0; 2 2 =и л лЬ 8х= — +тй х= — +— 2 !6 8 с соя бх = 0 сов2х = 0 и 2х=-+пп 2 к пп х= — +— гй к На отрезке (О, к) данное уравнение имеет девять корней: х = — ! гг = 1,...,8) и х = —; 9 2 б) яп 2х+ 5в)п 4х+ яп бх = 0; (яп 2х+ яп бх) + 5в(п 4х = 0; 2яп 4х сов 2х + 5яп 4х = 0; яп 4х (2 сов 2х + 5) = О; яп 4х = 0 (т к.

2соз 2х + 5 > кп 0 при любом х); 4х = и; х = †. На отрезке 10, л] данное уравнение имеет три 4 лп корня: х= — (и = 1,2,3) . 4 552. Числа а, Ь, с образуют арифметическую прогрессию, если Ь вЂ” а = с — с(; а) сов 2х — сов 7х = сов 11х — сов 2х; 2соя 2х — (сов 7х+ сов ! 1х) = 0; 2соз 2х — 2сов 9х сов 2х = 0; сов 2х (1 — сов 9х) = О; г и 2х= — +кп 2 9х = 2гй б) сов х — яп Зх= за 5х2соз х — 2яп 4х соз х = 0; и х = — + ап 2 и х= — +пп 2 с совх=О яп4х=! л п)г х= — е— 8 2 к 4х = — + 2гй 2 ф27.

Преобразование произведений тригонометрических функций в сумму 553. а) з(п 23" вш 32' = -(сов (32' — 23') — соз (32' + 23')) = -(соз 9'- соз 55'); 2 2 б) сов †с- = — ~соз~ — — — ~ +сов — е — ~ = †~сов †-ьсоз — ~; 2~ 1,8 !27' 'т8 12Д 21. 24 24) в) яп 14' яп 16' = — (сов (16' — 14') — сов (16'+! 4') = — (сов 2' — сов 30') = 2 2 — — сов 2 —— ~ соя 2х = 0 ~ ~сов9х=! ~ и кп ,х=-+— 4 2, 2гй 9 'х=— сов х; 2соз х — (яп 3х+ яп 5х) = 0; сов х (1 — яп 4х) = 0; 1!8 Глава 3.

Г(реобразоевное триаоноиетрическок выражений л л .(л л~ .(л л1,13л, Зл г) 2в1п — сов — =в1п — + — +з1п — — — =в1п — -3!и —. 5 '1,5 5) (,й 5) 40 40 554. а) яп(а+ Р) яп(а — Р) = япг а — яп Р = сов! !3 — сов! а; б) сов (а + Р) сов (а — Р) = сов! Р— яп' а = сов' а — яп' !3; (а Р) (а Р\ 2Р . га га 2Р.

В) СО — à — СΠ— — — = Сов — — Яп — = СОЗ вЂ” — 3!П (2 2) 12 2) 2 2 2 2 л! ( П1 2л 2 ! . 2 г) со а+ — )сов~а- — )=сов — -яп а= — — яп а, 4) 1. 4) 4 2 2Л ° 2 ! ° 2 г) сов а+ — с а- — =сов — -яп а=--яп а. 4) ~, 4) 4 2 556.а) со х+ — ~соа(х- — )-0,25=0; — со «-1.— -х+ — +сов х+ — +х— -~ сов — + сов2х) = —; — ~ — + сов 2х) = —; сов 2х = 1; 2х = 2лл; х = ли; 2(, 3 ) 42~ 2 ) 4 б) яп х+ — ~соз~ х — — ) =1; — з(п~х+ — — х — — )+яп~х+ — — х+ — ~~=1; 3) 1, 6) 2~ (, 3 6) (. 3 6)) — в!о~2«+ — ~+яп — = 1;-з!П~2«+ — ~+-= 1; оп~2«+-~=1; 6) 2) '2 11, 6) 2 ' ~ 6) л л л 2х+ — = — + 2ли; х = — + ли 6 2 6 557. а) 2 яп х сов Зх + яп 4х = 0; яп (х + Зх) + в!п (х — Зх) + яп 4х = 0; 2 яп 4х — з(п 2х = 0; 4 яп 2х сов 2х — яп 2х = 0; яп 2х (4 соз 2х — 1) = О; ли х=— 2 яп2х =0 !1 сов2х =— 4 2х= ли 1 2х = хвгссоз-+ 2лб 4 1 1 х = х-згссов-+ ПА 2 4 х .

Зх ! !( (х 3«'3 (х Зх'11 1 б) з!и — в!п — =-; — со — — — -сов —.1.— = —;со⫠— сов 2«= 1; 2 2 2 2~ 1,2 2) 1,2 2)) 2 л х= — +ил 2 2сов х-совх=О;совх(2созх-1)=0; г совх = 0 11 совх=- 2 л х=х — +27й 3 1 1 555. а) соз а зги (а + !3) = — (яп (2а + Р) + зги (а + Р— а)) = — (яп (2а + (3) + вт Р)); 2 2 .г 3 .г б) в!и (60' + а) яп (60' — а) = вт' 60' — яп' а = — япг а; 2 1 1 и) в(п Р сов (а + Р) = — (яп (а + 2Р) + яп (Р— а — Р) = — (яп (а + 2Р) — яп а)); 2 2 27. Г7реоб вэование произведений тригономвт оческов нкций в сумм 119 558.

а) яп 10' сов 8' сов б' = — яп 1О' (сов (8' — 6') + сов (8' е б')) = 1 2 1,, 1 ., 1 = — яп 10'сов 2'+ — ап 10' = -(яп 12'+ яп 8'+ яп 24' — яп 4'); 2 2 4 б) 4 вш 25' сов 15' зш 5' = 2 в(п 25' (яп 20' + яп (-10')) = 2 (яп 25' яп 20'— 1 — вя 25' яп 1О') = соз 5'- соз 45'- сов 15'+ сов 35' = сов 5'- сгп 15'+сов 35' — — . Д' 559. а) 2 яп г яп 2г+ сов Зг = сов (2г — 1) — сов (2г+ 1) е соз Зг = соз г б) япа-2яп — -!5')сов| — +15'! =япа-яп~ — -15 + — -!5 (2 ! (2 ! (.2 2 -яп( — — !5' — — — 15 = в(п а — яп а — яп (-30') = яп 30' = —.

(2 2 ) 2 1 .. 1-4зш10 яп70' 1-2сов70 -10' +2соз70 +1О 561. а) -2в!п70' = 2в!п10' 2яп10 2яп10 1 1 — 2совбО'+ 2соз80 =1; 2яп10' 2яп!0' 1860, 1860'+ 4яп40'сов!ФУ 6) — +4соз100' = яп40' яп40' з(3+2в(п40'-2— ,/з 2яп40 яп 40' яп40' 5х Зх 562. а) яп Зх соз х = яп — соз — . 2 2 — (в!П(3х+х)+вш(3х-х))= — з!п в!п( — е — ~+в!п~ — + — Д; 1 1 . ( . Г5х Зх! . (5х Зх11 2 2 ( (,2 2! (2 2Д 2х-х 2х+х яп 4х + вгп 2х = яп 4х + яп х; з!п 2х — яп х = 0; 2яп — сов — = 0; 2 2 х яп-=0 2 Зх соз— 2 х — = зи х 2 — =-+гй Зх л х 2 2 = 2пи х Зх з(п — сов — = 0; 2 2 и 2к(г. = — +— 3 3 6) 2вгп — +к~в(п~ — -х + яп х = 0.

(,4 ! 1,4 560. а) сов' 3' + сов' 1' — соз 4' сов 2' = созз 3' + сов' 1' — сов (3' + 1') соз (3' — 1') = = сов' 3'+ созз 1' — сов' 1'+ яп' 3' = совз 3' + яп' 3' = 1; 6) в(п~10а + сов 50о сов 70о з(п~ 1Оа сов (бОа 10о) соз (60о + 10о) = з!и 10о+ созз 60а з(п~ 10» — совз 60е— 4 !20 Глава 3. Преобразование тпривонометричесяих выражений яп — -в(п х!еяп х=О;1-$1п »=0; — (1-сов2х)+1=0; 1 1 зтт з ) 4 2 л сов 2$ = -1; 2х = л + 2лн; х = — + ян . 2 в) 5!и 2»сов» = 5!п» сов 2». 1 1 — (яп Зх + 51п х) = — (51п Зх — 51п х); 51 и х = 0; х = тит.

2 2 г) сов 2х сов х = со$2,5х сов 0,5х. 1 1 — (совх9совЗХ)= -(со52х совЗ»);совх=со52»;совх-сов2х=0; 2 2 Зх яп — =0 2 Зх — = лл 2яи 2 3 — =тй х=2тй 2 х+2х . 2х-х . Зх . х 25!П вЂ” 5!П вЂ” = 0; 51П вЂ” 51П вЂ” = 0 2 2 2 2 х яп— 2 1 1 563. а) яп х яп Зх = 0,5; — (сов 2х - сов 4х) = —; сов 2х = 1 + сов 4х; сов 2х = 2сов' 2х; 2 2 сов 2х(2сов 2х — 1) = 0; л 2х = -+ лн 2 л лн х= — +— 4 2 со52х=О 1 сов2х =— 2 л х=+ — +тй б л 2х =+ — + 2тй 3 1 1 б) сов х сов Зх + 0,5; — (сов 2»+ сов 4х) = —1 .сов 2х + (1 + со$4х) = 0; сов 2х+ 2 2 л 2х= — +!Тл 2 2л 2» =+ — + 2тй 3 2совт 2» = 0; сов 2х (2сов 2» + 1) = 0; со52х=О 4 2 1 сов2х=— 2 л х=+ — +тй 3 Поскольку наибольшее и наименьшее значения функции у = сов 2» равны 1 и 544.а) 1(»)=яп х+ — ~соц1»- — ~= — 51ПХ+ — +х- — +яп х+ — +х+— б) 1, 24,) 2~ !, б 24) (.

б 24,)) = — 51П( 2»+ — ) + -5!в — = — 5!и( 2»+ — ) + — . 2 ( 12,) 2 б 2 (, 12! 4 л) Поскольку наибольшее и наименьшее значения функции у = — 51П!(2х+ — ! г ( 12.) равны 1 и -1 соответственно, то наибольшее и наименьшее значения функции 3 1 Ях) равны — и — соответственно. 4 4 б) Г(х)=5!и х — )!сов~ х+ — ! = — в!П~х+ — +х — !+яп~х+ — -х+ — ~ = 24) ( 5 24)) 1( 2л ) 1 1 =- сов — -сов2х = — --со52х. 2( 3 ) 4 2 27. 77р зоеание проивеейений т гономет чесхих функций е с мм 121 -1 соответственно, то наибольшее и наименьшее значения функцииЯХ) равны 1 3 — н — — соответственно. 4 4 565.

сов' (45' — а) — сов' (60' + а) — сов 75' яп (75' — 2а) = совг (45' — а)— 1 — совг (60'+ а) — — (яп (75' — 2а + 75') + яп (75' — 2а — 75')) = 2 1 1 = — (1+ сов (90'-2а))- -(1+ сов (120'+ 2а))- яп (150' — 2а) + яп 2а) = 2 2 ! 1 = яп 2а - — (сов 120' сов 2а - яп 120' яп 2а) - — (ва 150' сов 2а - яп 2а ом 150') = 2 2 ,Г~ . 1,ГЗ = яп 2а — — (- — сов 2а — — яп 2а+ — сов 2а+ — яп 2а) = вш 2а. 2 2 2 2 2 566. Числа а, Ь, с образуют геометрическую прогрессию, если а х О, Ь х О, с х 0 и — = — . Ь с а со54х со52х совбх со54х со52х хО ! 1 — (1+ со в 8х) = — (сов 8х+ сов 4х) 2 2 со52хх0 сов 4х=со52хсовбх 2 со52х х 0 сов4х х 0 совбххО а) со54х хО совбххО сов4х х 0 совбх х 0 кл к=в 2 сов4х=! 4х=2кл сов2ххО сов2ххО; со54хх 0 совбххО совбххО л 2х х — + к7г; 2 л бхх — + ( 2 япЗх яп4х 1 1 -(1 — совбх) = — (сов 2Х вЂ” совбх) 2 2 яп2ххО яп Зх=в(п2хяп4х г яп2ххО яп4ххО япбххО яп2х япЗх яп2ххО б) яп4ххО япбххО яп4ххО япбххО 2х = 2лл 2хх лЬ =ь и, Ь, с не образуют геометрическую прогрессию.

4хх лб бхх лм 8 28. Преобразование выражения А зт х + В соз х к виду С зт (х + ~~ 567. 5) ч(З51пх+совх= — вюх+ — совх =~япхсов — +совхвш — ) =25!55 х+ — ); 2 2 ! 1, б б) ( б) со52х=! яп2ххО 51п 4х и 0 япбххО лл х=— 2 к лlг кл хх — + —;х= —, 4 2 2 л лг" хХ вЂ” +— 12 б !23 2В.!7 об авоеаниееы енияАэпх+Всоахкенд С$1п х+! 1 . 1 1 . и . и 1 Г) 51П Х вЂ” СО5 Х = !. $!ПХ- — С05Х = —; 51ПХСОБ — -СОБХ$1П вЂ” = ,(2,('2,Гг' 4 4 (2 и и х- — = — +2пл и 4 4 х= — +2лл 2 х — = — + 2$(г х = а+ 2гй и Зи 4 4 яп х— Обласп значений [-!7; 17), 570.

а) у=$3$!Пх+совк= — япх+ — совх =л~ в!иксов-+совхв!п-~=2$!и х+ — ~. 2 2 ! 1, 6 6) 1, 6) Наибг льшее значение 2, наименьшее -2. б) у=в!Пх-1!Зсовк= — япх — совх =~$!Пхсов — -совхяп — ~=2$!их — ~. '1[ 2 г ! '[, 3 3) Ч, 3)' Наибольшее значение 2, наименьшее — 2. а) у=агах — совх=$~2 — $1пх — — со5х =$12$1п~х — — . Наибольшее значение $Г2, наименьшее — $Г2 . г) у=чбв!Пх-$2совх=2512 — япк- — совх = 2Ч2~япхсов — -совхяп — ) = ~2 2 ) ь 6 6) = 2$'2 $!п х - — ) .