alimov-11-2003-gdz- (Алгебра - 10-11 класс - Алимов), страница 9

Вершина ⎜ − ; −⎜ 24 ⎟⎠⎝пересечение с осями: (-р; 0) и (0; 0). Рассмотрим два случая.а) р > 0. у = kx + 1 проходит через (0; 1)х2 + рх = kх + 1, х2 + (р – k)x – 1 = 0, D = (р – k)2 + 4Точки пересечения:x1 =k− p− D,2x2 =(k− p+ D2)x2x3x2x+ x x2 −−pS = ∫ (kx + 1)dx − ∫ x + px dx = k1232x1x1x2x22x2=x1x 2 x3x 2 x3x 2 x3x−+ x x2 = (k − p ) 2 − 2 + x 2 − (k − p ) 1 + 1 − x 2 =12323231⎛k− p⎞ 2= − x23 − x13 + ⎜⎟ x2 − x12 + (x2 − x1 ) , но х2 – х1 = D3⎝ 2 ⎠= (k − p )()x22 − x12 =((1⎛⎜ k − p+ D4⎝()) − (k − p − D ) ⎞⎟⎠ = (k − p)22)x23 − x13 = (x2 − x1 ) x12 + x1x2 + x12 =(()(D) + (k − p )+ 2 D + (k − p ) − D ) =1⎛D⎜ k − p + D4⎝22−2⎞12−D+ k− p− D ⎟=D 2(k − p )2⎠ 41=D 3(k − p )2 + D41 1⎛k− p⎞S =− ⋅D 3(k − p )2 + D + ⎜⎟(k − p ) D + D =3 4⎝ 2 ⎠()()111⎛ 1⎞⎛1⎞= D ⎜ − (k − p )2 − D + (k − p )2 + 1⎟ = D ⎜ (k − p )2 − D + 1⎟4124122⎝⎠⎝⎠т.к.

D = (p – k)2 + 4, то134S=( p − k )2 + 4 ⋅ ⎛⎜ 1 (k − p )2 − 1 (k − p )2 − 1 + 1⎞⎟ = ( p − k )2 + 4 ×⎝42⎞ 1⎛1× ⎜ (k − p )2 + ⎟ =63⎠ 6⎝123⎠( p − k )2 + 4 ⋅ ((k − p )2 + 4) .Найдем наименьшее S(k)1t t , t ∈ [4; +∞), S(t) – возрастающая6функция, поэтому наше значение достигается при t=4, (p – k)2 = 0, p = k;б) р < 0 – этот случай симметричен а). Все выкладки те же и ответ: k = p.Пусть (p – k)2 + 4 = t, S (t ) =Упражнения для итогового повторения курсаалгебры и начал анализа.1 328⋅== 0,08 .40 10 100№ 10430,025 ⋅ 3,2 =№ 10440,42 ⋅ х = 12,6,№ 1045x=113 ⋅100 101,3== 3 (% ) .⋅100 =310 ⋅ 39339№ 1046x=46,6466 ⋅100 ⋅100 2 ⋅1000⋅100 === 400(% ) .11,6510 ⋅11655№ 10471,75 ⋅ х = 78,75, x =№ 1048x = 1,8 ⋅ 7,5 =x=12,6 126 ⋅100 18 ⋅10=== 30 .0,4210 ⋅ 421⋅ 678,75 7875 ⋅100== 45 .1,75100 ⋅1759 15 27⋅ == 13,5 .5 22№ 1049х – исходная цена1) понизили на 24%; х1 = (х – 0,24х) = 0,76х2) снизили на 50%х1 ; х2 = (х1 – 0,5х1) = 0,5х1 = 0,5 ⋅ 0,76х = 0,38хх – х2 = х – 0,38х = 0,62хЦена уменьшилась на 62%.№ 1050цинк х = 18 кг,олово у = 6 кг, медь z = 36 кг18x% цинка =⋅100% =⋅ 100% = 30%18 + 6 + 36x+ y+z% олова =6y⋅ 100% =⋅ 100% = 10%18 + 6 + 36x+ y+z135z36⋅100% == 60% .x+ y+z60Ответ: цинк – 30%, олово – 10%, медь – 60%.% меди =№ 1051Пусть х – стоимость товара, у – стоимость перевозки.

Тогда из условий⎧ x + y = 3942следует, что: ⎨⎩0,08 x = y⎧1,08 x = 3942 ⎧ x = 3650. Ответ: 3650 р., ⎨, ⎨⎩ y = 292⎩ y = 0,08 x№ 1052Пусть h = 5 см – высота, S = 4 см2 – площадь основания.11V1 = h ⋅ S , V2 = h2 ⋅ S 2 , h2 = 1,1h, S2 = 1,1S3311V2 = ⋅1,1h ⋅ 1,1S = 1,21 ⋅ ⋅ h ⋅ S = 1,21V133(V2 − V1 ) ⋅100% = (1,21 − 1)V1 ⋅100% = 21% .Ответ: объем увеличится на 21%.№ 1053Пусть х – искомое число, тогдах = а ⋅ 72 + 68xa ⋅ 72 68 6a ⋅ 12 5 ⋅ 1212(6a + 5)=+=++8 =+8121212121212Ответ: Остаток: 8.№ 1054Пусть эти числа х и у.

Тогда:⎧ x + y = 1100⎪⎧ x + y = 1100⎨0,06 x = 0,05 y ⎨ y = 5 x⎩⎪⎩6⎧11⎪⎪ 6 x = 1100 ⎧ y = 600⎨ x = 500⎨⎩⎪x = 5 y⎪⎩6Ответ: Наибольшее – 600.№ 1055За первый год он получит прибыль 0,03 ⋅ 600 = 18 (р.). На счету будет600 + 18 = 618 р. В конце второго года он получит: 1,03 ⋅ 618 = 636,54 (р.), а затретий – 1,03 ⋅ 636,54 = 655,64 (р.).№ 1056За год он получил бы 0,02 ⋅ 500 = 10 р., а за месяц он получил551⋅10 = р. Он снял 100 р., на счете осталось 400 р.

Через год он полу66125чит 1,02 ⋅ 400 = 408,85 р.6136№ 10571) 23,276 : 2,3 – 3,6 ⋅ (17,2 ⋅ 0,125 + 0,005 : 0,1) + 6,25 ⋅ 3,2Выполним по действиям.23276 ⋅10 1012а) 23,276 : 2,3 === 10,12 ;1000 ⋅ 23100172 ⋅ 1 5 ⋅ 10435440б) 17,2 ⋅ 0,125 + 0,005 : 0,1 =+=+== 2,2 ;10 ⋅ 8 1000 ⋅ 1 20 100 20036 22 792625 32 2000в) 3,6 ⋅ 2) =⋅== 7,92 ; г) 6,25 ⋅ 3,2 =⋅== 20 ;10 10 100100 10100д) 1) – 3) + 4) = 10,12 – 7,92 + 20 = 22,2.2) 9,25 ⋅ 1,04 – (6,372 : 0,6 + 1,125 ⋅ 0,8) : 1,2 + 0,16 ⋅ 6,25Выполним по действиям.925 104 9620а) 9,25 ⋅1,04 =⋅== 9,62 ;100 100 10006372 ⋅10 9 ⋅ 8 1062 9 1152б) 6,372 : 0,6 + 1,125 ⋅ 0,8 ==+== 11,52 ;+1000 ⋅ 6 8 ⋅10 100 10 1001152 ⋅ 10 9616 ⋅ 625 1000в) 2) : 1,2 === 9,6 ; г) 0,16 ⋅ 6,25 ===1;100 ⋅12 10100 ⋅100 1000д) 1) – 3) + 4) = 9,62 – 9,6 + 1 = 1,02.№ 1058312 31⎞ 1⎛⎜ 28 : 1 + 7 : 22 + 1 ⋅ 9 + 14 : 1 ⎟ ⋅ 3433 42⎠ 7⎝. Выполним по действиям.1)1310 − 924312 31 28 ⋅ 4 22 ⋅1 5 ⋅ 39а) 28 : 1 + 7 : 22 + 1 ⋅ 9 + 14 : 1 =+++433 4273 ⋅ 22 3 ⋅ 414 ⋅ 21 65 2829 65116 + 195311+= 16 + ++= 16 ++= 16 += 16 +=33 4334121211 503;= 41 =12 121 503 ⋅ 22 553313 21 39 3б) 1) ⋅ 3 =; в) 10 − 9 ==−= ;712 ⋅ 742242442) 5533 ⋅ 4 11066г)==.3)42 ⋅ 363⎛1⎞⎛5 7 ⎞2) ⎜ − 0,375 ⎟ : 0,125 + ⎜ − ⎟ : (0,358 − 0,108)⎝2⎠⎝ 6 12 ⎠Выполним по действиям.⎛1⎞а) ⎜ − 0,375 ⎟ : 0,125 = (0,5 − 0,375) : 0,125 = 0,125 : 0,125 = 1 ;⎝2⎠1371⋅ 4⎛5 7 ⎞⎛ 10 − 7 ⎞=1;б) ⎜ − ⎟ : (0,358 − 0,108) = ⎜⎟ : 0,25 =4 ⋅1⎝ 6 12 ⎠⎝ 12 ⎠в) 1) + 2) = 1 + 1 = 2.№ 10591 1 10 ⋅ 8 ⋅ 511= 100 ;= x : 1 , x = 10 : ⋅ 1 =848 441111 3 ⋅ 19 ⋅ 257;2) x : 0,75 = 9 : 14 , x = 0,75 ⋅ 9 : 14 ==2222 4 ⋅ 2 ⋅ 29 116(опечатка в ответе задачника)x 1,45615 ⋅1,4563)=,x== 20,8 .15 1,051,051) 10 :№ 10601⎛⎞111 ⎟⎛1⎞⎜2⎜ ⎛ 1 ⎞− 4⎟⋅15524⎜⎟− 2 ⋅ 7 ⋅ 49 ⎜ ⎜ ⎟ + 45 2 ⎟ − 183 51⎜⎟−⎜ ⎝ 81 ⎠⎟⎜ 125 3⎟⎝⎠⎝⎠Выполним по действиям.11)15 ⋅ 5 2= 15 ⋅ 5 ⋅ 3 125 = 15 ⋅ 5 5 = 75 5 ;1−125 3112) 2 ⋅ 7 2 ⋅ 49 4 = 2 ⋅ 7 ⋅ 4 49 = 2 ⋅ 7 ⋅ 7 = 2 ⋅ 7 = 14 ;⎛1⎞3) 1) − 2) = 75 5 − 14 ; 4) ⎜ ⎟⎝ 81 ⎠()(−141+ 45 2= 4 81 + 9 ⋅ 5 = 3 + 3 5 ;)5) 3) ⋅ 4) = 75 5 − 14 3 + 3 5 = 225 5 + 1125 − 42 − 42 5 = 1083 + 183 56) 5) − 183 5 = 1083 + 183 5 − 183 5 = 1083 .№ 10611) log 27 729 = log 27 27 2 = 2 .2) log 9 729 = log 9 27 2 = log 9 (9 ⋅ 3)2 = 3 .3) log 1 729 = log 1 3 6 = 6 log 1 3 = 6 ⋅ (− 1) = −6 .333№ 10621) log 1165( )64 = log2− 4 26156= log2− 4 2 5 =6 ⎛ 1⎞3⋅ ⎜ − ⎟ log2 2 = − = −0,35 ⎝ 4⎠102) log 8 log 4 log 2 16 = log 8 log 4 4 = log 8 1 = 0 .138№ 10638⎞⎟⎟⎟⎠⎛⎜1) ⎜ 2⎜⎝12) ⎛⎜ 2⎝2728=23⎞⎟⎠2=2⋅ 2−3 = 24= 22 = 4 .3 ⋅ 27 −3= 29 −3 = 26 = 64 .№ 10641) log 32) 169553+ log 6 36 = log 3 30,5 log 4 10 +1( )= 420,5 log 4 102−15+ log 6256=9 2 111+ ==2 .5 5 55⋅ 16 = 4log 4 10 ⋅ 16 = 10 ⋅ 16 = 160 .№ 106511) 2,5 7 2,50,5 .Основания равны, значит будем сравнивать показатели степеней.f (х) = 2,5х – функция возрастающая, т.к.

2,5 > 1.1х2 > х1,211 1f (х2) > f (х1);< ⇒ 2,5 7 < 2,5 2 ;7 232) 0,2 3 0,2 4 , f (х) = 0,2х – убывает, т.к. 0,2 < 1, х2 > х1 f (х2) < f (х1)2Сравним32 389892 3<⇒ < ⇒ 0,2 3 > 0,2 4 .и , или и .3 412 12 12 123 43) log3,1 10 log3,1 3Функция log3,1x – возрастающая, т.к. 3,1 > 1.10 > 9 = 3 ⇒ log 3,1 10 > log 3,1 343log 0,3 , f (х) = log0,3x – убывает, т.к. 0,3 < 1,544 16 15 343=>= ⇒ log 0,3 < log 0,3 .5 20 20 4544) log 0,3№ 106611) a 5 > 1 ⇒ a > 1 ; 2) a −1,3 > 1 ⇒1> 1 ⇒ а < 1,a⋅ a3) а–3,1 < 1 ⇒ а3,1 > 1 ⇒ а > 1; 4) а2,7 < 1 ⇒ а ∈ (0; 1);5) loga 0,2 > 0 ⇒ loga 0,2 > loga 1 ⇒ а < 1;6) loga 1,3 > 0 ⇒ loga 1,3 > loga 1 ⇒ а > 1.10 3а ∈ (0; 1);139№ 106718 = 3 2 , 41)(3 2 )2)= 18 =( 18 )3= 22 log 2 3 ⋅ 42178 2025 ⎛ 45 ⎞>=⎜ ⎟ ,121121 ⎝ 11 ⎠⎛1⎞⎜ ⎟⎝6⎠18 ,3511log 4511223log 2 3+ log 41log 6 2 − log26518 > 4( )log 6 2 − log 6 5= 6−13144 125 ⎛ 5 ⎞= 18 =>=⎜ ⎟ ,88⎝2⎠3⎛1⎞18 > ⎜ ⎟⎝6⎠= 9⋅5 45=11 11log 2 3+ log 4, 6− log 6251log 6 2 − log2511;⎛2⎞=⎜ ⎟⎝5⎠6−1=5.№ 10681) lg 50 = lg (5 ⋅ 10) = lg 10 + lg 5 = 1 + lg 50 = lg 1 < lg 5 < lg 10 = 1, значит 1 < 1 + lg 5 < 2, lg50=1+lg5;2) log2 10 = log2 (2 ⋅ 5) = log2 2 + log2 5 = 1 + log2 5,2 = log2 4 < log2 5 < log2 8 = 3, 3 < 1 + log2 5 < 4.№ 10695 1125 3 ⋅ 5 1 ⋅ 2 520 + 3 180 − 4−=−+ 3⋅3⋅ 2 5 −9 24321) 3 ⋅−4⋅5 5= 5 − 5 + 18 5 − 10 5 = 8 5212)−(6− 51)2)1405+ 2−(b (4b)a 4 9a 2 − 6a + 1 = a 22№ 10712))346− 2(546+=(= a 2 3a − 1(2b + 1)22()= b 2b 2 + 1 .) ()3( 6 − 5 )== 3( 6 − 5 ) ;6−553− 23)+ 4b 2 + 1 = b(3a − 1)2)6+ 5 3 5− 2−−6−55−2=4 6+ 2= 6 + 5 − 5 + 2 − 6 − 2 = 0.6−2№ 10701)−5 3+ 2=5 3+ 2 ;3− 25,2123)10 − 784)11 + 3() ()=12 10 + 7= 4 10 + 7 ;10 − 7=8 11 − 3= 11 − 3 .11 − 3()№ 10721)513 63=; 2)=; 3)10 2 5667− 57−5==22 7+ 517+ 5.№ 10731) х = 0,444..., 10х = 4,4..., 10х – х = 4,4...

– 0,4..., 9х = 4, х =4;9257=2 ;9921 7=x=;3) х = 0,2121... 100х = 21,21..., 99х = 21,99 33135 154100х = 136,36..., 99х = 135,4) х = 1,36...x===1 ;99 111132;5) х = 0,35..., 10х = 3,5..., 100х = 35,35..., 90х = 32,x=906) х = 0,213...,100х = 21,3... 1000х = 213,3...,192 32 16900х = 192, x ===.900 150 752) х = 2,77...10х = 27,77..., 9х = 25,x=№ 10741)5= 0,8 (3)6_50 648 0,833..._2018202)3)219_1,0 99 0,11...10_1,0 77 0,1428571..._3028_201421= 2, (1)91= 0, (142857)7141_6056_4035_5049104)5_20 112112= 5, (18)11511 0,181..._908020№ 10751) нет; 2) да, например2 ⋅ 2 = 2 ; 3)a+ bab=1b+1a– нет.№ 1076a, b ∈Nab – рациональное, значит, ab = k2, a =ak2k2== 2 ,b b ⋅b bk2a=bb2=k2,bk– рациональное число, ч.т.д.b№ 1077a – рац.