alimov-11-2003-gdz- (Алгебра - 10-11 класс - Алимов), страница 11

Разделим числитель и знаменатель данного выражения на2−sin 2 α222cos 2 α = 2 + 2tg α − tg α = 2 + tg α ;233 + 3tg α + 14 + 3tg 2α+12cos2α ≠ 0, получим: cos αcos 2 αпри tgα = 2 выражение примет вид:2 + 224 + 3 ⋅ 22=6 3=16 8№ 1111tgα + ctgα = 3, tg2α + ctg2α = (tgα + ctgα)2 – 2, тогда при tgα + ctgα = 3выражение примет вид: 32 – 2 = 7.№ 1112πcos α + sin α⎛π⎞ cos α + sin α tg 4 + tgα−− tg ⎜ + α ⎟ ==cos α − sin α⎠ cos α − sin α 1 − tg π 4 tgα⎝4cos α + sin α cos α + sin α−=0;cos α − sin α cos α − sin α1)1 − sin 2α cos 2 α 1 − sin 2α⎞ 1 − sin 2α⎛π= ctg 2α −=−=2) tg 2 ⎜ − α ⎟ −1 + sin 2α sin 2 α 1 + sin 2α⎝2⎠ 1 + sin 2α==cos 2 α + sin 2α cos 2 α − sin 2 α + sin 2α sin 2 αsin 2 α(1 + sin 2α )sin 2α + cos2 α − sin 2 αsin α(1 + sin 2α )2=sin 2α + cos 2αsin 2 α(1 + sin 2α )=.№ 11131)tgα + tgβtgα + tgβ== tgαtgβ11ctgα + ctgβ+tgαtgβ2) (sinα + cosα)2 + (sinα - cosα)2 = sin2α + 2sinαcosα + cos2α ++ sin2α - 2sinαcosα + cos2α = 2154(())(())sin π + α − cos π + α44=sin π + α + cos π + α44sin π cos α + cos π sin α − cos π cos α + sin π sin α4444==sin π cos α + cos π sin α + cos π cos α − sin π sin α4444cos α + sin α − cos α + sin α== 2tgα ;cos α + sin α + cos α − sin αsin α + 2 sin π cos α − cos π sin αsin α + 2 sin π − α333==4)2 cos π − α − 3 cos α2 cos π ⋅ cos α + sin π sin α − 3 cos α6663)(=)()(sin α + 3 cos α − sin α№ 1114(())(()))(())sin 2 π − α4cos 2 π − α4=1 − tg π − α41)=1 + tg 2 π − αsin 2 π −α441+2)= 3ctgα .3 cos α + sin α − 3 cos α1−((())cos 2 π −α4(())cos 2 π − α − sin 2 π − α44= cos 2 π − α = cos π − 2α = sin 2α .42cos 2 π − α + sin 2 π − α44sin 2α2 sin α cos α== tgα .2)1 + cos 2α2 cos 2 α=((()))№ 11151)tg 2α1 + ctg2α22)1 + ctg α2ctg α=tg 2α1tg 2α1+1+==tg 4α1 + tg 2α=cos 2 αsin 2 α =cos 2 α12⋅tg 4α1cos2 αsin 2 α2sin α cos α==sin4 α cos2 α⋅= sin2α tg2α.1cos4 α1cos 2 α.sin 2 α3)sin α sinβ−cosα cosβsinαcosβ − sinβcosαsinαsinβtgα − tgβ⋅===cosαcosβsinβcosα + sinαcosβctgα + ctgβ cosα + cosβsin α=sin β1sin (α − β )sin (α − β ) 2 (cos(α − β ) − cos(α + β))⋅ tgα ⋅ tgβ =⋅=sin (α + β)sin (α + β ) 1 (cos(α − β ) + cos(α + β ))2155sin (α − β )cos(α − β ) − sin (α − β )cos(α + β )=sin (α + β )cos(α − β ) + sin (α + β )cos(α + β )1 (sin (α − β − α + β ) + sin (2α − 2β ) − sin (− 2β ) − sin 2α )= 2=1 (sin (− 2β ) + sin 2α + sin (α + β − α − β ) + sin (2α + 2β ))2sin (2α − 2β ) + sin 2β − sin 2α==sin (2α + 2β ) − sin 2β + sin 2α2 sin α ⋅ cos(α − 2β ) − 2 sin α ⋅ cos α cos(α − 2β ) − cos α===2 sin α ⋅ cos(α + 2β ) + 2 sin α ⋅ cos α cos(α + 2β ) + cos α− 2 sin (α + β ) ⋅ sin (− β )== tg (α + β ) ⋅ tgβ2 cos(α + β ) ⋅ cos β4) (tgα+ctgα)2–(tgα–ctgα)2=tg2α+2tgα⋅ctgα+ctg2α–tg2α+2tgα⋅ctgα-ctg2α=2 +2=4=№ 11161 + cos 2α 2 cos 2 α== cos α ;2 cos α2 cos αtgα − sin α sin α − sin α cos α 1 − cos αα=== tg 2 ;2)tgα + sin α sin α + sin α cos α 1 + cos α21)sin α + sin 3α + sin 5αsin 3α + (sin α + sin 5α )==cos α + cos 3α + cos 5α cos 3α + (cos α + cos 5α )sin 3α + 2 sin 3α cos 2αsin 3α(1 + 2 cos 2α )=== tg 3α ;cos 3α + 2 cos 3α cos 2α cos 3α (1 + 2 cos 2α )2 sin 2α + sin 4α 2 sin 2α + 2 sin 2α ⋅ cos 2α4)==2 sin 2α − sin 4α 2 sin 2α − 2 sin 2α ⋅ cos 2α3)=2 sin 2α (1 + cos 2α ) 2 cos 2 α== ctg 2α .2 sin 2α (1 − cos 2α ) 2 sin 2 α№ 11171)sin 2α + cos 2α + 2 sin 2 α sin 2α + cos 2α + 1 − cos 2α==πsin (− α ) − sin (2,5π + α )sin (− α ) − sin ⎛⎜ 2π + + α ⎞⎟2⎝⎠sin 2 α + 2 sin α cos α + cos 2 α (sin α + cos α )2== −(sin α + cos α )π− sin α − cos αsin (− α ) − sin ⎛⎜ + α ⎞⎟⎝2⎠2)=156cos 2α − sin 2α − 2 cos 2 α cos 2α − sin 2α − 1 − cos 2α==πcos(− α ) − cos(2,5π + α )cos α − cos⎛⎜ 2π + + α ⎞⎟2⎝⎠− (sin α + cos α )2= −(sin α + cos α ) .cos α + sin α№ 11181 − cos(2π − 2α )=21 − cos 2 (α + π )Преобразуем левую часть данного тождества:1)1 − cos(2π − 2α )1 − cos 2α)=2 sin 2 α=2,1 − cos 2 (α + π ) 1 − cos 2 αsin 2 αследовательно, тождество выполняется.(=)sin (α + 90 )=Преобразуем левую часть:2)(sin 2 α + 90o= 1 + cos α − 90o1 + sin (− α )2cos 2 α1 − sin 2 α== 1 + sin α1 + sin (− α )1 − sin α1 − sin αooПреобразуем правую часть тождества: 1+сos(α-90 )=1+cos(90 -α)=1+sinαПравая часть равна левой, следовательно, тождество выполняется.o№ 11195 cos x − 3 sin xsin 2 x − 8 sin 2 x−=cos 2 xsin π − x + sin (− x )25 cos x − 3 sin x sin 2 x − 4(1 − cos 2 x )=−=cos x − sin xcos 2 x(=)(5 cos x − 3sin x )(cos x + sin x ) − 2 sin x cos x + 8 sin 2 x =cos 2 x5 cos 2 x + 5 cos x sin x − 3 sin x cos x − 3 sin 2 x − 2 sin x cos x + 8 sin 2 x==cos 2 x=()5 cos 2 x + sin 2 x5=.cos 2 xcos 2 x№ 1120⎛ 3π⎞⎛3⎞− x ⎟ + tg (π − x )tg ⎜ π + x ⎟ =sin (x − 2π )cos⎜⎝ 2⎠⎝2⎠= -sin x sin x + (-tgx)(-ctgx) = 1 – sin2x = cos2x.№ 11211) cos2(α+2β)+ sin2(α-2β)–1=cos2(α+2β)+(-cos2(α-2β))=cos2(α+2β) –– cos2(α - 2β) = (cos(α + 2β) – cos(α - 2β))(cos(α + 2β) + cos(α - 2β)) == (-2sinα ⋅ sin2β) ⋅ (2cosαcos2β) = -sin2αsin4β2) sin2(α+2β)+ sin2(α-2β)–1= sin2(α+2β)–cos2(α–2β)=(sin(α + 2β) ––cos(α-2β))(sin(α+2β)+cos(α–2β))=(sinα⋅cos2β+sin2βcosα-cosα⋅cos2β-sinαsin2β)⋅ (sinα⋅cos2β+sin2βcosα+cosα⋅cos2β+sinαsin2β)=(sinα(cos2β - sin2β) ––cosα(cos2β - sin2β))⋅(sinα(cos2β + sin2β) + cosα(cos2β + sin2β)) == (sinα - cosα)(cos2β - sin2β)(cos2β + sin2β)(sinα + cos2β) == (sin2α - cos2α)(cos22β - sin22β) = -cos2α ⋅ cos4β.157№ 11221)cos 4α − cos 2αcos 4α − cos 2αcos 4α − cos 2α== −2= −2 ;1sin 3α sin αcos 4α − cos 2α(cos 2α − cos 4α )21 + cos 2α + 2 cos α cos 2α==cos α + 1 + cos 2α − 1cos α + 2 cos 2 α − 12 cos α(cos α + cos 2α )= 2 cos α .cos α + cos 2α2)1 + cos α + cos 2α + cos 3α№ 11231)=2)===4 sin 2 α − sin 2 2α224 − 4 sin α − sin 2α=4 sin 2 α − 4 sin 2 α ⋅ cos 2 α4 cos)=() = 4 sin α = tg α ;α (1 − sin α ) 4 cos α4 sin 2 α 1 − cos 2 α2(4 1 − sin 2 α − 4 sin 2 α ⋅ cos 2 α424422⎛⎛⎞ ⎛⎛ 2tgα ⎞ ⎞⎟⎜ ⎜ 2tgα ⎞⎟ 2⎟ ⎜ 2⎜⎟ ==α−α−tgtg1:⎜⎟ ⎜⎜ 1 − tg 2α ⎟ ⎟⎟tg 2α − tg 2 2α ⎜ ⎜⎝ 1 − tg 2α ⎟⎠⎟ ⎜⎝⎠ ⎠⎝⎠ ⎝tg 2 2αtg 2α − 1(4tg 4α − 1 1 − tg 2α(1 − tg α)2)2⋅(1 − tg α)=tg α (1 − tg α ) − 4tg α224tg 4α − 1 + 2tg 2α − tg 4α24()(62tg α − 2tg α + tg α − 4tg α3 tg 2α + 1 tg 2α − 122)=223tg 4α + 2tg 2α − 1tg 6α − 2tg 4α − 3tg 2α=23 = 3tg α − 1 =tg 2α tg 2α + 1 tg 2α − 3 tg 2α tg 2α − 3()()()23 sin α==−13 sin 2 α − cos 2 αcos 2 α==22⎞sin 2 α ⎛⎜ sin 2 α2 ⎛⎜ sin α −3 cos α ⎞⎟⎟sin α−3⎟⎜⎟cos 2 α ⎜⎝ cos 2 αcos 2 α⎠⎝⎠(α (3 cos) = ctgα ⋅ cos 3α = ctgα ⋅ ctg 3α .sin 3αα)− cos 2 α cos 2 α − 3 sin 2 α− sin22α − sin2№ 11241)1582 − cos x − sin x=sin x − cos x⎛ ⎛π⎞⎞2 − ⎜⎜ sin ⎜ − x ⎟ + sin x ⎟⎟2⎝⎠⎝⎠=π⎛⎞sin x − sin ⎜ − x ⎟⎝2⎠π⎛π⎞⋅ cos⎜ − x ⎟4⎝4⎠=π⎞π⎛2 sin ⎜ x − ⎟ ⋅ cos4⎠4⎝2 − 2 sin⎛π⎞⎛π⎞2 − 2 cos⎜ − x ⎟ 1 − cos⎜ − x ⎟⎝4⎠=⎝4⎠π⎞π⎞⎛⎛2 sin ⎜ x − ⎟sin ⎜ x − ⎟4⎠4⎠⎝⎝1 + cos x + sin x + tgx cos x + cos 2 x + sin x − cos x + sin x==sin x + cos xcos x (sin x + cos x )(cos x + sin x ) + cos x(cos x + sin x ) = 1 + cos x = 1 + 1 .=cos x (sin x + cos x )cos xcos x2)№ 1125sin α⋅ cos α2ctgαsin α cos α3sinα=.=ctgα = ,4 sin 2 α − cos 2 α sin 2 α cos 2 α 1 − ctg 2α−sin 2 αsin 2 α3При ctgα = ¾ выражение примет вид:344 = 3 ⋅ 16 = 1 5 .=2977 4−131−164( )№ 1126α=−==π 2 − 3sin2 α sin α + 2 cosα 2 − 2 sin2 α − sin2 α sin α + 2 cosα,−=−=8cos2αsin α + cosαcos2αsin α + cosα2 cos 2 α − sin 2 αcos 2 α − sin 2 α−sin α + 2 cos α=sin α + cos α2 cos 2 α − sin 2 α − (sin α + 2 cos α )(cos α − sin α )=cos 2α2 cos 2 α − sin 2 α − sin α ⋅ cos α + sin 2 α + 2 cos α sin α − 2 cos 2 α=cos 2α1sin 2α − sin 2α− sin α ⋅ cos α + 2 cos α sin α12=== ⋅ tg 2α .cos 2αcos 2α21 ⎛ π⎞1πПри α = − выражение примет вид: tg ⎜ − ⎟ = − .82 ⎝ 8⎠2=№ 1127tg (α − β ) + tgβ cos(α + β )=.

Преобразуем левую часть:tg (α + β ) − tgβ cos(α − β )⎞⎞ ⎛ tgα + tgβtg (α − β ) + tgβ ⎛ tgα − tgβ− tgβ ⎟⎟ ==⎜+ tgβ ⎟⎟ : ⎜⎜−αβtg (α + β ) − tgβ ⎜⎝ 1 + tgαtgβ1tgtg⎠⎠ ⎝159⎛ tgα − tgβ + tgβ + tgαtg 2β ⎞ ⎛ tgα + tgβ − tgβ + tgα ⋅ tg 2β ⎞⎟:⎜⎟==⎜⎜⎟ ⎜⎟+αβ1tgtg1−tgαtgβ⎝⎠ ⎝⎠tgα 1 + tg 2β 1 − tgαtgβ1 − tgα ⋅ tgβ===⋅1 + tgαtgβ tgα 1 + tg 2β1 + tgαtgβcos α ⋅ cos β − sin α ⋅ sin β cos(α + β )⇒ тождество выполняется.==cos α ⋅ cos β + sin α ⋅ sin β cos(α − β )()()№ 1128⎛π α⎞1) 1 + sin α = 2 cos 2 ⎜ − ⎟ .

Преобразуем правую часть:⎝4 2⎠⎛ ⎛ π α ⎞⎞⎛π α⎞⎛π⎞2 cos 2 ⎜ − ⎟ = 1 + cos⎜⎜ 2⎜ − ⎟ ⎟⎟ = 1 + cos⎜ − α ⎟ = 1 + sin α ,42422⎝⎠⎠⎠⎝⎠⎝ ⎝правая часть равна левой, следовательно, тождество выполняется.⎛π α⎞2) 1 − sin α = 2 sin 2 ⎜ − ⎟ . Преобразуем правую часть:⎝4 2⎠πα⎛⎞⎛π α⎞⎛π⎞2 sin 2 ⎜ − ⎟ = 1 − cos 2⎜ − ⎟ = 1 − cos⎜ − α ⎟ = 1 − sin α ,42422⎝⎠⎝⎠⎝⎠права часть равна левой, следовательно, тождество выполняется.№ 1129π⎞π⎞⎛⎛1) sin ⎜ α + ⎟ − sin ⎜ α − ⎟ = 3 cos α3⎠3⎠⎝⎝Преобразуем левую часть:3π⎞π⎞π⎛⎛sin ⎜ α + ⎟ − sin ⎜ α − ⎟ = 2 sin ⋅ cos α = 2 ⋅⋅ cos α = 3 cos α ,3⎠3⎠32⎝⎝правая часть равна левой, следовательно, тождество выполняется.⎛π⎞⎛π⎞2) cos⎜ + α ⎟ + cos⎜ − α ⎟ = 3 cos α . Преобразуем левую часть:66⎝⎠⎝⎠π3⎛π⎞⎛π⎞cos⎜ + α ⎟ + cos⎜ − α ⎟ = 2 cos ⋅ cos α = 2 ⋅⋅ cos α = 3 cos α ,6662⎝⎠⎝⎠следовательно, тождество выполняется.№ 11301)2ααtg + ctg222tg160αα+ ctg22== sin α .

Преобразуем левую часть:2tgtg 2α2α+12= sin α , следовательно, тождество выполняется.2)ctgα − tgα= cos 2α . Преобразуем левую часть, получим:ctgα + tgαcos α sin αcos 2 α − sin 2 α−sin α cos α = sin α ⋅ cos α = cos 2α .cos α sin αcos 2 α +sin 2 α+sin αcos αsin α⋅cos α№ 1131(1 + cos α )tg α = sin α .Преобразуем левую часть выражения:2(1 + cos α )tg α = 2 cos2 α ⋅ sin (α 2) = 2 cos(α 2) ⋅ sin (α 2) = sin α , следова22 cos(α 2 )тельно, тождество выполняется.№ 11321) 1 − tg 2α =cos 2αcos 2 α1 − tg 2α = 1 −sin 2 α2cos α. Преобразуем левую часть:=cos 2 α − sin 2 α2cos α=cos 2αcos 2 α, следовательно, тождест-во выполняется;2) 1 − ctg 2α =1 − ctg 2α =− cos 2αsin 2 α. Преобразуем левую часть:sin 2 α − cos 2 αsin 2 α=−cos 2αsin 2 α, следовательно, тождество выпол-няется.№ 1133⎛π α⎞⎛π α⎞1 + cos α + cos 2α = 4 cos α cos⎜ + ⎟ ⋅ cos⎜ − ⎟ =⎝6 2⎠⎝6 2⎠π⎞1⎛1= 4 cos α⎜ cos α + cos ⎟ = 2 cos 2 α + cos α = 1 + cos α + cos 2α ,23⎠⎝2следовательно, тождество выполняется.№ 11341)1 − 2 sin 2 α 1 − tgα.