alimov-11-2003-gdz- (Алгебра - 10-11 класс - Алимов), страница 10

b – иррац.а = а0, а1 ... аkа0, а1 ... аk – цифры; b = b0, b1 ... bk, bk+1a ⋅ b = (а0 + а1 ⋅ 10–1 + а2 ⋅ 10–2 + ... + аk ⋅ 10–k) (b0 + b1 ⋅10–1 +...+ bk ⋅ 10–k ++ bk+1 ⋅ 10–k–1) = а0b0 + ... + а0bk ⋅ 10–k + а0bk+1 ⋅ 10–k–1 + ... – иррац.a + b = (а0 + а1 ⋅10–1 +...+ аk ⋅ 10–k)+(b0 + b1 ⋅ 10–1 +...+ bk ⋅ 10–k + bk+1 ⋅ 10–k–1) == (а0 + b0) + (а1 + b1) ⋅ 10–1+ ... + (аk + bk) ⋅ 10–k + bk+1 ⋅ 10–k–1 + ...

– иррац.a a0 + a1 ⋅ 10−1 + a2 ⋅ 10−2 + ... + ak ⋅ 10− k–=b b0 + b1 ⋅ 10−1 + b2 ⋅ 10− 2 + ... + bk ⋅ 10− kиррационально, а т.к.№ 1078[очевидно,][3]3 + 4; 15 , 1 < 3 3 + 4 ,15 > 3 2 + 2 7 ,3 2 +2 7 , 3 3 +4.Возведем в квадрат.142оноb1, то это тоже является иррац., ч.т.д.=a (a / b )1) 1; 3 2 + 2 7 ,18 + 28 + 12 14 ,что27 + 16 + 24 3 , 3 + 12 14 ,24 3 .Сравним 12 14 и 24 3 . Возведем в квадрат.2016 > 1728 ⇒ отрезки имеют общую точку.(2) 0,) ( 48 − 1, 10) ,27 + 6 ,Сравним27 + 6 ,0 < 48 − 1 ,27 + 6 < 6 + 3 = 9 < 10 .48 − 1 .Возведем в квадрат 27 + 6 + 2 162 , 48 + 1 − 2 48 , 18 2 , 16 − 8 3 > 0 .Еще раз возведем в квадрат 648,Имеют общие точки.[] (256 + 192 − 256 3 , 200 > −256 3 .)3) 2; 2 5 + 2 6 и 3 2 + 22 ; 11 , 2 < 3 2 + 22 , 2 5 + 2 6 < 11 .Сравним 2 5 + 2 6 и 3 2 + 22 .Возведем в квадрат 20 + 24 + 8 30 , 18 + 22 + 6 44 , 4 + 8 30 , 12 11 .Возведем в квадрат 8 30 и 12 11 .1920 > 1584 ⇒ имеют общие точки.⎛ 2⎞2; 4 ⎟⎟ , 1 <4) 1; 1 + 3 и ⎜⎜, 1+ 3 < 4 .3 −1⎝ 3 −1 ⎠2.Умножим оба на 3 − 1 > 0 .Сравним 1+ 3 и3 −1(3 – 1) = 2 – но одно отрезок, другой – интервал.

Значит, не имеют.[]№ 1079a<b1) Пусть а имеет координаты (a, 0), a b – (b, 0). Тогда середина отрезкаa+b⎛a+b ⎞имеет координаты, 0 ⎟ . Точка[a, b] имеет координаты ⎜2⎝ 2⎠⎛a+b 0+0⎞⎛a+b ⎞,, 0 ⎟ – т.е. она совпадает с серединой.⎜⎟ , или ⎜2 ⎠⎝ 2⎝ 2⎠2) Допустим, эта точка не лежит в этом отрезке, тогда либоa + bca + bc> b , a + bc > b + bc, a > b – противоречие, либо<a,1+ c1+ ca+bc<a+ac, bc<ac, b<a – противоречие, значит, она лежит внутри этого отрезка.№ 10801) S∆ =11а ⋅ а ⋅ sin 60° = р ⋅ r, где р = (а + а + а).22a2 ⋅ 3 ⋅ 2 a 3 6 ⋅ 31 2 3 3a ⋅= a⋅r , r ==== 3 , d = 2r = 2 3 ;2222 ⋅ 2 ⋅ 3a669aa999α2),=, sin =,==2 a ⋅ 4 162 ⋅ sin α sin ⎛ π − α ⎞ 4 sin α cos α cos α⎜⎟222⎝2 2⎠143cos α = −2 sin 2 α = 1 −472 ⋅ 81 9447, α ⋅ arccos==≈ 68,46° .128256256 128№ 1081tg54° =120,ll=120≈ 87,2 .tg54°№ 1082⎛π⎞130 sin ⎜ − 68° ⎟2x130⎝⎠=l = x + y,= 130ctg 68°,x=sin 22° sin 68°sin 68°y130 cos 46°130,=y== 130ctg 46°sin (90° − 46°) sin 46°sin 46°l = 130 (ctg 68° + ctg 46°) ≈ 178 (м).№ 10831) cos α =tgα =⎛ 8⎞sin α = 1 − ⎜ ⎟⎝ 10 ⎠8,10sin α 6 ⋅ 10 6== ,cos α 10 ⋅ 8 8ctgα =2=61018=tgα 625125cos α = 1 − sin 2 α = 1 −,=169 1313sin α5 ⋅ 13512,=tgα ==ctgα =cos α 13 ⋅ 12 125112123) tgα = 2,4 =, 1 + tg α =, cos α ==5cos 2 α1 + tg 2α2) sin α =11441+25=51325125=,ctgα =169 131212411724) ctgα =, 1 + ctg α =, sin α ===,22425sin 2 α491 + ctg α1+576sin α = 1 −2724⎛ 24 ⎞; tgα =cos α = 1 − ⎜ ⎟ =.257⎝ 25 ⎠№ 1084cos 2α = cos2α – sin2α = 1 – sin2α – sin2α = 1 – 2sin2α = 1 – 2 ⋅1441 7= .9 9№ 1085sin11π19ππ⎞⎛+ cos 690° − cos= sin ⎜ 4π − ⎟ + cos(720° − 30°) −333⎠⎝π⎞ππ33 11⎛+− =− .− cos⎜ 6π + ⎟ = − sin + cos 30° − cos = −3⎠332222⎝№ 10861) 2arctg1 − 3arcsin2) 8 arccos3ππ ππ= 2 ⋅ − 3⋅ = − π = − ;243 22ππ2+ 6arctg 3 = 8 ⋅ + 6 ⋅ = 2π + 2π = 4π .243№ 1087⎛3 ⎞⎟3⎛ π⎞1) sin ⎜ 2 arcsin= sin ⎜ 2 ⋅ ⎟ =⎜⎟232⎝⎠⎝⎠2) tg (2arctg3),arctg3 = x,2 tgx2⋅363=− =− .tg 2 x ==841 − tg 2 x 1 − 9tg x = 3№ 108811) log 4 sin−2 11 ⎛ 1⎞1π 1= log 2= log 2 2 2 = ⋅ ⎜ − ⎟ = − ;4 2222 ⎝ 2⎠42) log10 tgπ= log10 1 = 0 ;4⎛ 2 ⎞ 1 ⎛ 1⎞3π 1⎟ = ⋅⎜− ⎟ = − 1 ;= log 2 ⎜⎜⎟4 36⎝ 2 ⎠ 3 ⎝ 2⎠1π4) log 2 cos = log 2 = −1 ;32π5) log 3 1 − log 4 tg ⋅ log 5 cos 0 = 0 − log 4 1 log 5 1 = 0 .43) log 8 sin№ 1089()1) ctg arctg 3 = ctgππ3; 2) ctg(arctg1) = ctg = 1 ;=334( ( ))⎛1 ⎞⎟π 13⎛ π⎞= sin = ;3) sin arctg − 3 = sin ⎜ − ⎟ = −; 4) sin ⎜ arctg⎜⎟26 2⎝ 3⎠3⎝⎠5) cos(arctg1) = cos( ( ))π2⎛ π⎞ 1=; 6) cos arctg − 3 = cos⎜ − ⎟ = .42⎝ 3⎠ 2145№ 1090⎛2 ⎞⎟.1) cos⎜ 6 arccos⎜⎟2⎝⎠По определению арккосинус числа2 2 - это такое число α, -0 ≤ α ≤ π,2 2 .

В нашем случае α = arccosкосинус которого равен2 π= , далее24⎛2 ⎞⎟π⎞⎛ π⎞⎛3 ⎞⎛⎛π⎞cos⎜ 6 arccos= cos⎜ 6 ⋅ ⎟ = cos⎜ π ⎟ = cos⎜ π + ⎟ = − cos⎜ ⎟ = 0⎜⎟2224⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝2⎠⎝⎠2) sin(5arccos0)По определению арккосинус числа 0 – это такое число α, 0 ≤ d ≤ π, коπсинус которого равен 0. В нашем случае α = arccos0 = , далее2π⎞⎛ π⎞⎛ 5π ⎞⎛⎛π⎞sin (5 arccos 0) = sin ⎜ 5 ⋅ ⎟ = sin ⎜ ⎟ = sin ⎜ 2π + ⎟ = sin ⎜ ⎟ = 12⎠⎝ 2⎠⎝ 2 ⎠⎝⎝2⎠№ 1091sin α cos α33при tgα = , tgα = , т.е. |sinα| ≠ |cosα|, знамена44sin 2 α − cos 2 αтель данного выражения отличен от 0 и выражение имеет смысл, далееsin α cos αsin 2α1 sin 2α1==− ⋅= − tg 2α ,22222 cos 2α2sin α − cos α − 2 cos α − sin α1)()2tgα11 2tgαtgα3tg 2α =, тогда − tg 2α = − ⋅= 2, tgα =по222241 − tg α1 − tg α tg α − 1tgα334 = 3 ⋅ ⎛⎜ − 16 ⎞⎟ = − 12 , итак, вы97tg α − 13−1−1 4 ⎝ 7 ⎠416312sin α cos αпри tgα = равняется −;ражение47sin 2 α − cos2 α12) sinαcosα, если sin α + cos α = .31Возведем обе части выражения sin α cos α = в квадрат, получим3условию, тогда2(sin α cos α )2 = ⎛⎜ 1 ⎞⎟2=4( )2=1, sin 2 α + 2 sin α ⋅ cos α + cos 2 α = ,39⎝ ⎠141 + 2 sin α ⋅ cos α = , откуда sin α ⋅ cos α = − , таким образом994sin α ⋅ cos α = − .9146№ 10921)=a + 2 ⎛⎜ 2a 2 − a − 3 2a − 3 ⎞⎟ a + 2 ⎛ 2(a + 1)(a − 3 2 ) a − 2 ⎞⎜⎟=:=⋅a − 2 ⎜⎝ a 2 + 5a + 6 a − 2 ⎟⎠ a − 2 ⎜⎝ (a + 2 )(a + 3) 2a − 3 ⎟⎠a + 2 2(a + 1)(a − 3 2 )a−2a +1⋅⋅=a − 2 (a + 2 )(a + 3) 2(a − 3 2 ) a + 31 ⎞ 8b 2 + 8b + 2 2b + 1 2b + 1 b(b − 4) 2b + 1 (b − 4 )⎛2) ⎜ 2 + ⎟ :⋅=⋅⋅=b⎠bbb2bb 2 − 4b⎝2(2b + 1)2№ 10931)=−++aa2 − 1+a2 + a − 1a3 − a 2 + a − 1+a2 − a − 1a3 + a 2 + a + 12a 3−=a4 − 1aa2 + a − 1a2 − a − 1−+ 2+ 2(a − 1)(a + 1) a (a − 1) + (a − 1) a (a + 1) + (a + 1)2a 3(a − 1)(a + 1)(a 2 + 1)2a − a −1(a + 1)(a2)+1a2 − a −1(a + 1)(a−(2a3(a − 1)(a + 1)(a 2 + 1)=2a 3−)=(a − 1)(a + 1)(a 2 + 1)a (a 2 + 1) + (a 2 + a − 1)(a + 1) + (a 2 − a − 1)(a − 1) − 2a 3=(a − 1)(a + 1)(a 2 + 1)2)aa2 + a − 1++(a − 1)(a + 1) (a − 1) a 2 + 1=+1Преобразуем числитель полученной дробиа(а2+1)+(а2+а–1)(а+1)+(а2–а–1)(а–1)–2а3=а3+а+а3+а2+а2+а–а–1+а3 –– а2 – а2 + а – а + 1 – 2а3 = а3 + а, тогда дробь примет видa3 + a(a − 1)(a + 1)(a2)=212a + 5a + 61)) (a − 1)(a + 1)+1+(a a 2 +1=22a2a + 4a + 3+2a2+=a2a −11(a + 1)+2+ a +11−2=a+3−2(a + 2)(a + 3) (a + 1)(a + 3) (a + 1)(a + 2 ) a + 31 ⋅ (a + 1) + 2a(a + 2 ) + 1 ⋅ (a + 3) − 2(a + 1)(a + 2 )==(a + 1)(a + 2)(a + 3)==a + 1 + 2 a 2 + 4 a + a + 3 − 2a 2 − 6 a − 40==0(a + 1)(a + 2)(a + 3)(a + 1)(a + 2)(a + 3)147№ 10941114−4 a +4+4 a1−+=−=2 − 2a4 + 4 a 2 − 2a 4 − 4 a4+4 a 4−4 a8111−=−=016 − 16a 2 − 2a 2 − 2a 2 − 2a(1)2)a 2 + a − 2 −1a 2 − 2 − 2 + 2a=)()(a − 1)( 2 + 1) =2 (a − 1) + 2(a − 1) (a − 1)(2 + 2 )2 (a − 1) + (a − 1)=12№ 1095⎛a − x ⎞⎟⎛⎜a − x ⎞⎟1−при а = 5, х = 41) ⎜1 +⎜a + x ⎟⎠⎜⎝a + x ⎟⎠⎝Преобразуем данное выражение:⎛⎞⎛⎞⎜1 + a − x ⎟⎜1 − a − x ⎟ = 1 − a − x = a + x − a + x = 2 x⎜⎟⎜a + x ⎠⎝a + x ⎟⎠a+xa+xa+x⎝при а = 5, х = 4 полученное выражение примет вид:2)a + a2 − x2a − a2 − x2−a − a2 − x2a + a2 − x22⋅4 8= ;5+ 4 9при а = 3, x = 5Преобразуем данное выражение:22222a+ a −xa− a −x==−2a− a −x2a + a2 − x2()(2⎛⎛22⎞22⎞⎜a + a − x ⎟ − ⎜a − a − x ⎟⎠ =⎝⎠⎝=⎛22 ⎞⎛22⎞⎜ a − a − x ⎟⎜ a + a − x ⎟⎠⎠⎝⎝(a 2 + 2a a 2 − x 2 + a 2 − x 2 − a 2 + 2a a 2 − x 2 − a 2 − x 24a a 2 − x 2x24 ⋅ 3 32 −( 5)))=; при а = 3, x = 5 полученное выражение примет вид:( 5)22a2 − a2 − x2=12 9 − 5 24== 4,8 .55№ 10961)x121+ x148121⎛ 12⎞⎜ x1 ⎟x 2⋅⎜−=⎟111⎜1− x 2 x 2 − x ⎟ 1+ x 2⎝⎠⎛⎞⎜ 1⎟21⎜ x⎟=⋅⎜−11 ⎛1 ⎞⎟22 ⎜1 − x 2 ⎟ ⎟⎜1− xx⎜⎟⎟⎜⎝⎠⎠⎝x=121+ x1x −1x −1== −11 ⎞1−x⎛22x ⎜⎜1 − x ⎟⎟⎝⎠⋅1221 ⎞⎛ 12 ⎞ ⎛ 12 ⎛ 12 ⎞11 ⎞⎜⎜ m + 1⎟⎟ ⎜ 2m ⎜⎜ m + 1⎟⎟ − 4m 2 ⎟⎛2224m ⎟ ⎝m + 2m + 1 ⎜ 2m⎟⎠ ⋅⎜⎝⎠⋅⎜ 1−2)⎟=⎜⎟=111−m1−m⎜ m 2 −1⎟2⎜⎟2m 22m⎝⎠⎜⎟⎝⎠12⎛ 12 ⎞11⎜⎜ m + 1⎟⎟⎠ ⋅ 2m − 4m 2 + 2m 2 ==⎝1m −12m 22⎛ 12 ⎞1⎜⎜ m + 1⎟⎟⎝⎠ ⋅ 2m − 2m 2 = m 1 2 + 11m −12m 2№ 1097mm ⋅ 2mn⋅ 18mn = 6n ⋅ 3= 18mn ;2n2n1) 6n ⋅11a114 ⎛⎜ a 4⎜⎝a −1⋅11⎛⎞a 2 +1a 2a 4 +a 2a 2 ⎜⎜ a 4 + 1⎟⎟⎝⎠⎛ 1 2 ⎞⎛ 1 2 ⎞ 1 4 ⎛ 1 4 ⎞⎜⎜ a + 1⎟⎟⎜⎜ a − 1⎟⎟ a ⎜⎜ a + 1⎟⎟⎠ ⋅ a 14 = a 12 − 1 .⎠⋅⎝⎠⎝=⎝11 ⎛ 1⎞a 2 +1a 2 ⎜⎜ a 4 + 1⎟⎟⎝⎠a −12)31⋅a+a214⋅a14=1⎞+ 1⎟⎟⎠ ⋅ a 14 =+1№ 1098⎛ a a −1⎞ a −1a a −1+ a − aa −11) ⎜+ a⎟:=⋅=⎜ a −1⎟ a −1a −1a −1⎝⎠a − 1 + a (a − 1)a −1⋅()a − 1 (a − 1) a + 1a −1=⋅= a +1;a −1a−1a −1⎛1+ b b⎞ 1+ b 1+ b b − b − b 1+ b− b ⎟⋅=⋅=2) ⎜⎜ 1+ b⎟ 1− b1− b1+ b⎝⎠((1 − b ) −)b (1 − b ) 1 + b (1 − b ) 1 − b 1 + b⋅=⋅= 1− b .1− b1− b1+ b1+ b=№ 1099a −1b − 2 − a − 2b −1a−53 b2−b−53 a−2−a113b 3=a −1b − 2 − a − 2b −1 − aa−53b−2−43b−b−5−53+a3 a−2−53b−43=149−4 −5 ⎞⎛− ⎜⎜ a − 2b −1 + a 3 b 3 ⎟⎟⎝⎠==− 5 −2− 5 −2a 3b − b 3 a522 ⎞2 ⎞−−5⎛⎛ 2a 3 b − 2 ⎜⎜ a 3 + b 3 ⎟⎟ − b 3 a − 2 ⎜⎜ a 3 + b 3 ⎟⎟⎝⎠⎝⎠==− 5 −2− 5 −2a 3b − b 3 a22−5⎞⎞ ⎛ −5⎛ 3⎜⎜ a + b 3 ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ a 3 b − 2 − b 3 a − 2 ⎟⎟⎠ ⎝⎠ = a23 + b23 .=⎝− 5 −2− 5 −2a 3b − b 3 aa −1b − 2 + a−53b−43№ 1100⎛ab + b 2⎜ a + ab−1) ⎜⎜ a 2 + abab + b⎝()⎞⎟⎟⎟⎠−2a 3b + ab3=2ab−⎛ a a+ bb a+b−=⎜⎜aabba+ b+⎝(⎛ a + b + 2 ab − a − b ⎞⎟=⎜⎜⎟abab++⎝⎠()⎛2 ab=⎜⎜ a+b a + b⎝(=−2(a + b )(a + 2)⎞⎟⎟⎠−2ab + b4ab−)−)⎞⎟⎟⎠−2a 3b + ab3=2ab−a 3b + ab3=2ab−ab (a + b )=2aba3b + ab3=2aba 2 + 2a ab + ab + ab + 2b ab + b 2 − 2a ab − 2b ab (a + b )2==4ab4ab2)( a + b)1( a + b)2=150−1 ⎞⎛ −12⎜⎜ a 2 + b 2 ⎟⎟⎛1 1⎞⎠=⋅⎜ + ⎟ + ⎝3⎝a b⎠a+ b−2(()⎛⎞2⎜ 1+ 1 ⎟a+bab⎠=⋅+ ⎝3aba+ ba+bab a + b)2+((2 a+ bab))( a + b)3=( a + b)ab( a + b )b)a + b + 2 ab(ab a +22=2=1ab№ 11014⎛ 9a − 25a −1a + 7 + 10a −1 ⎞⎟⎜=−1⎜ 1−1−1 ⎟22223a5aa2a−+⎠⎝41⎞⎛ ⎛ 12− 1 ⎞⎛−1 ⎞⎟⎜ ⎜⎜ 3a − 5a 2 ⎟⎟⎜⎜ 3a 2 + 5a 2 ⎟⎟−1a710a++⎟⎜⎝⎠⎝⎠==⎜− 11−1−1 ⎟⎜3a 2 − 5a 2a 2 + 2a 2 ⎟⎟⎜⎠⎝44⎛⎛⎞−1−1 ⎞⎜ 3a + 5 + 6 + 10a − a − 7 − 10a ⎟⎜ 2a + 4 ⎟=⎜=⎟⎜ −1⎟ =−1⎜⎟⎜ a 2 (a + 2 ) ⎟2 (a + 2 )a⎝⎠⎝⎠44⎞⎛⎛ 1 ⎞⎜ 2(a + 2 ) ⎟= ⎜⎜ 2a 2 ⎟⎟ = 16a 2 .=⎜ 1⎟⎜ a − 2 (a + 2) ⎟⎝⎠⎠⎝№ 1102⎛⎞⎜⎟33b1⎜⎟+⎜3 49 ⎟3−b9b−b⎜⎟b ⎠⎝⎛ 33 bb ⎞⎟=⎜3+⎜ b (b − 9 ) b − 9 ⎟⎝⎠⎛ b−9= ⎜⎜⎝3+ b=−2()− b 2 + 18b + 81−2(b + 9)2−0,5(⎛ 3+ b=⎜⎜ b−9⎝=)⎞⎟−2⎟⎠− (b + 9) =2⎞b 2 − 18b + 81 − 9b − 6b b − b 2 − 81 − 54 b − 9b⎟ − (b + 9) ==⎟9+6 b +b⎠− 54 b − 36b − 6b b9+6 b +b=(−6 b 9+6 b +b9+6 b +b) = −6b.№ 11031)1 + tg 2α21 + ctg α=12:12cos α sin α= tg 2α2) (1+tgα)(1+ctgα) – 1/(sinαcosα) ==cosα + sinα sinα + cosα1⋅−=cosαsinαsinα cosα1 + 2 sin α cos α1−=2.cos α sin αsin α cos α151№ 11041 − (sin α + cos α )2= 2tg 2α .sin α cos α − ctgαтождества:=2 sin 2 α2Преобразуемлевуючастьданного1 − (sin α + cos α )2 1 − 1 − 2 sin α ⋅ cos αsin 2 α cos α== −2=cos αsin α cos α − ctgαcos α sin 2 α − 1sin α cos α −sin α(=2 sin 2 α2)= 2tg 2α , таким образом, левая и правая части1 − sin αcos αтождества совпадают, следовательно, тождество доказано.№ 11051) sin2(α + 8π) + cos2(α + 10π) = sin2α + cos2α = 1;2) cos2(α+6π)+cos2(α-4π)=cos2(α+3⋅2π)+cos2(2⋅2π-α)=cos2α+cos2α=2cos2α.№ 1106sin 2αsin α cos(π − α )sin α ⋅ cos αsin α cos α+=+=2 1 − 2 cos 2 α1 − 2 sin 2 αsin 2 α − cos2 α sin 2 α − cos2 αsin 2α=−= −tg 2α .cos 2α()№ 1107cos 2 xsin 2 x−= − sin x − cos x1 + sin x 1 − cos xПреобразуем левую часть данного тождества:()cos 2 x − cos3 x − sin 2 x − sin 3 x cos 2 x − sin 2 x − cos3 x + sin 3 x==(1 + sin x )(1 − cos x )(1 + sin x )(1 − cos x )(cos x − sin x )(cos x + sin x ) − (cos x + sin x )(1 − sin x ⋅ cos x ) ==(1 + sin x )(1 − cos x )cos x + sin x )(cos x − sin x − 1 + sin x ⋅ cos x )(==(1 + sin x )(1 − cos x )(cos x + sin x )(cos x(1 + sin x ) − (1 + sin x )) ==(1 + sin x )(1 − cos x )cos x + sin x )(1 + sin x )(cos x − 1)(== − sin x − cos x ,(1 + sin x )(1 − cos x )таким образом правая и левая части тождества совпадают, ч.т.д.№ 1108αα+ 2 sin 2 =22α⎛αα⎞α ⎛α π⎞= 2 cos ⎜ cos + sin ⎟ = 2 2 cos sin ⎜ + ⎟ ;2⎝22⎠2 ⎝ 2 4⎠1) 1 + cos α + sin α = (1 + cos α ) + sin α = 2 cos 2152ααα− 2 sin cos =222α⎛αα⎞αα ⎛α π⎞⎛α π⎞= 2 sin ⎜ sin − cos ⎟ = 2 sin ⋅ 2 sin ⎜ − ⎟ = 2 2 sin sin ⎜ − ⎟ ;2⎝22⎠22 ⎝ 2 4⎠⎝ 2 4⎠3) 3–4sin2α=3–4(1–cos2α)=3–4+4cos2α=4cos2α–1=(2cosα - 1)(2cosα + 1);4) 1 – 4cos2α = (1 – 2cosα)(1 + 2cosα).2) 1 − cos α − sin α = (10 cos α ) − sin α = 2 sin 2№ 1109α +β + γ = π1) sin α + sin β − sin γ = 4 sinαβγsin cos222Рассмотрим правую часть:αβγαβ⎛ π (α + β ) ⎞4 sin sin cos = 4 sin sin cos⎜ −⎟=222222 ⎠⎝2αβ ⎛α β⎞αβ⎛αββα⎞sin sin ⎜ + ⎟ = 4 sin sin ⎜ sin cos + sin cos ⎟ =22⎝2222⎠22 ⎝ 2 2⎠αββαβα= 4 sin 2 sin cos + 4 sin sin 2 cos =222222ββααβ2α= 2 sin cos ⋅ 2 sin+ 2 sin cos 2 sin 2 =222222= sin β(1 − cos α ) + sin α(1 − cos β ) = sin β − sin β cos α + sin α − sin α cos β == sin β + sin α − (sin β cos α + sin α cos β ) == 4 sin⎛π⎞= sin β + sin α − sin (α + β = )sin β + sin α − cos⎜ − (α + β )⎟ =2⎝⎠= sin α + sin β − sin γ2) Рассмотрим левую часть:sin2α + sin2β + sin2γ = 2sin(α + β)cos(α - β) + sin2γ == 2sin(π - γ)cos(α - β) + sin2γ = 2sinγcos(α + 2β) + 2sinγcosγ =α −β+ γα −β− γcos== 2sinγ(cos(α + β) + cosγ) = = 2 sin γ ⋅ 2 cos22π − 2βπ − 2β − 2 γ= 2 sin γ ⋅ 2 coscos=22⎛π⎞ ⎛π⎞= 4 sin γ cos⎜ − β ⎟ cos⎜ − β − γ ⎟ = 4 sin γ sin β sin α = 4sinα sinβ sinγ.⎝2⎠ ⎝2⎠№ 1110tgα = 2sin 2 α + sin α cos α.cos 2 α + 3 cos α sin αРазделим числитель и знаменатель данного выражения на cos2α ≠ 0(последнее выполняется вследствие tgα = 2),1)153sin 2 αsin α ⋅ cos α+tg 2α + tgαcos 2 αcos 2 α, при tgα = 2 выражение примет вид:=21 + 3tgαcos α 3 cos α ⋅ sin α+cos 2 αcos 2 α22 +2 6= ;1+ 3⋅ 2 72)2 − sin 2 α3 + cos 2 α.