Глава 2 - Дифракция рентгеновских лучей в кристалле (Учебник), страница 3

т. е. нейтроны разной скорости, а следовательно, и с разной «длиной волны» 1., определяемой соотношением де Бройля ~,=Ь~ти. ф 6. Другие способы представления дифракционного эффекта. Индицирование рентгенограмм (20) Оно определяет те углы д, под которыми может происходить отражение от заданной серии сеток (И/). Целое число п=1, 2, 3, ... называется порядка.и отражения. В кристалле можно провести множество серий узловых Уравнение Брэгга.

В 1914 г. Брэгг предложил другую, более наглядную трактовку дифракции рентгеновских лучей в кристалле. Выделим в трехмерной «решетке» одинаковых атомов какую-либо одну плоскую сетку атомов и рассмотрим рассеяние рентгеновских лучей отдельно зтой сеткой (рис. 28, а).

В соответствии с обычными законами оптики результатом совместного действия рассеянных лучей должно быть их отражение от плоскости под углом д, равным углу падения. Представим теперь всю трехмерную атомную решетку как совокупность параллельных сеток. Лучи, отраженные последовательными сетками, не совпадают по фазе из-за различия в расстояниях от источника М до точки наблюдения 1Ч (рис. 28, б). Они не будут гасить друг друга лишь при условии, что разность хода лучей, отраженных соседними плоскостями, составит целое число длин волн. Это условие можно записать в виде АВ+ВС=п~.

Учитывая, что АВ=ВС=А~из1пд, получаем уравнение Брегга: 2~у,д1 оп 9 = пХ. сеток разного наклона '[с разными индексами (ЬИ)], и каждая серия в соответствии со своим да~~ даст ряд отражений разного порядка. Для получения каждого отражения нужно либо придать кристаллу соответствующую ориентацию, либо подобрать нужную длину волны, В целом трактовка Брэгга является лишь иной, более формальной интерпретацией той же дифракционной картины.

Нетрудно установить и взаимосвязь между параметрами, характеризующими условия Лауэ и уравнение Брэгга. В условия~ Лауэ фигурируют дифракци- ~мц Г Рис. 28. К выводу уравнения Брегга: а — рассеяние рентгеновских лучей двумерной сеткой атомов; б — ди- фракция от серии атомных (узловых) сеток анные индексы рог, в уравнении Брэгга — индексы отражающей серии сеток (лИ) и порядок отражения и. Индексы Ь, Й, 1 по определению равны числу частей, на которые разбиваются серией сеток (6И) ребра а, Ь и с элементарной ячейки, а и — разность хода лучей, отраженных соседними плоскостями, Следовательно, аЬ, п~ и п1 отвечают разностям хода лучей, рассеянных атомами, отстоящими друг от друга на один период по осям Х, У и Л соответственно. Именно этот смысл имеют целые числа р, О, г в условиях Лауэ.

Таким образом, р= =ай, у=пИ, ~=п1. Интерференционное уравнение. Условие Лауэ и уравнение Брэгга, имея алгебраическую форму, по сути выражают связь между геометрическими параметрами— направлениями первичного пучка, дифракционного луча, ориентацией кристалла и его параметрами. Естественно поэтому перейти к векторному выражению этой взаимосвязи. Пусть серия плоскостей (ЬИ) с межплоскостным расстоянием дды находится в отражающем положении. Зададим направление первичного пучка единичным векто- ром $в, направление дифракционного луча — единичным вектором Я (рис. 29, а).

Составим векторную разность ~ — ~о. Поскольку угол падения равен углу отражения, век-- тор Я вЂ” 3о направлен перпендикулярно отражающей се-- рии плоскостей, а поскольку ~ Я~ = ~ Я~~ =1, по длине он равен 2з1пд. Следовательно, Ь вЂ” $,=2япд Или, где1Члл~ — единичный вектор, нормальный к плоскостяы (ЙИ). .рог ~ М М м' Рис. 29. К выводу н интерпретации интерференционного уравнения: а — кристалл находится в отражающем положении для дифракции рог; б— кристалл не находится в отражающем положении; в — поворот кристалла на. угол се в отражающее положение; г — случай одновременных отражений По уравнению Брэгга 2з1пб=Цп(дм~).

Это означает, что $ — Зв=Л(п/А,м) Или Введем обратную решетку кристалла с масштабным коэффициентом М, равным Х. Величина, стоящая в правой части, согласно (11), представляет собой вектор обратной решетки, проведенный в узел с индексами рог (т. е. пЬ, аК п1.), Следовательно, ~ — ~о =- Нплллы. (21у Полученное соотношение называется интерференционным уравнением.

Оно определяет в явной форме взаимосвязь между направлением дифракционного луча 5: и ориентацией серии плоскостей (6И) в момент получе- ния отражения п-го порядка; эта ориентация задается соответствующим вектором обратной решетки Н ~„~ ~'*, Перепишем интерференционное уравнение в форме ~ = ~0+ Бруг Оно, собственно, означает следующее: кристалл находится в ориентации, отвечающей появлению дифракционного луча рог в том случае, если векторная сумма единичного вектора первичного пучка Яо и вектора обратной решетки Н„„, дает вектор е д и н и ч н о й д л и н ы.

На рис. 29, б показан случай, когда это условие не удовлетворяется: вектор Я', равный сумме Я,+Нр„, по длине явно больше единицы (больше, чем ~$01); кристалл не находится в отражающем положении. Что нужно сделать, чтобы возник луч рог? Ответ на этот вопрос дает рис. 29, в. Вокруг точки 6 (исходной точки вектора Я,) проведена сфера единичного радиуса. Узел обратной решетки рог не находится на поверхности этой сферы.

Но если кристалл, а следовательно, и его обратную решетку повернуть против часовой стрелки на некоторый угол оз, то этот узел окажется на поверхности сферы, и векторная сумма Яв+НР,„=Б по абсолютному значению будет равна единице. При этой ориентации и возникает дифракционный луч рог**. Для каждого дифракционного луча нужна своя ориентация кристалла. На том же рисунке 29, в показан и другой узел обратной решетки р'о'г' и соответстВенно вектор Нр, „.

Для получения дифракционного луча р'д'г' этот вектор (т. е. кристалл) нужно повернуть на иной угол со', и направление этого дифракционного луча будет, естественно, уже иным. ~ Интерференционное уравнение позволяет также наглядно проследить связь между лауэвским и брэгговским представлением дифракционного эффекта. Если обе части векторного равенства взять по абсолютной величине, то приходим снова к уравнению Брэгга; если же обе части умножить на а, Ь н с последовательно, то получим,три условия Лауэ. Например, (Я вЂ” Яо, а) = а соз у1 — а соз у1 = а (соз ~1 — сов К1); (Б„а,ри, а) = (пйа* + пИЬ'" + п1с*, а) = пйЛ = рЛ. ** Отметим попутно одну особенность рис. 29, в.

Дифракциоиный луч теперь исходит не из точки О, а из точки б. Но это несущественно, поскольку сказанное относится к любому дифракционному лучу. По существу, мы лишь разнесли по разным точкам кристалл (перенесли его в точку 6) и начало координат обратной решетки (точка О). Вспомогательную сферу, позволяющую найти ориентацию кристалла в отражающем положении для любого луча рог, называют сферой отражения.

Возможны такие случаи, когда на поверхность сферы отражения попадают одновременно два узла обратной решетки. Это означает, что помимо измеряемого детектором дифракционного луча рог одновременно (в другом направлении) возникает второй диФракционный луч р'д'г'.

Это приводит к изменению амплитуды, а следовательно, и интенсивности измеряемого отражения рог, причем она может оказаться как пониженной, так и повышенной. Остановимся на этом несколько подробнее. На рис. 29, г точка Р-узел рог на поверхности сферы отражения, точка Е-узел р'д'г', также попавший на поверхность сферы отражении при той же ориентации кристалла. Так как мы имеем дело с обратной решеткой, в ней должен быть и узел с индексами р — р', д — д', г — г', расположенный (в момент отражения рог) в точке Я. Если второй дифракционный луч р'д'г' достаточно интенсивный, то он может создать заметный в т о р и ч н ы й дифракционный эффект. Чтобы учесть результаты этого эффекта, нужно принять луч ОЕ за первичный, т. е.

перенести начало координат обратной решетки в точку Е без изменения ориентации решетки. Точка О совместится с точкой Е, а точка Я с точкой Р, и, следовательно, в направлении 0Р должен возникнуть не только дифракционный луч рог, но и вторичный (от луча р'д'г') дифракционный луч р — р', д — о', г — г'. Лучи рог и р — р', у — у', г — г' имеют разную начальную фазу, и в зависимости от сдвига по фазе второй из них может как усилить, так и ослабить луч рог. О возможности таких одновременных отражений следует всегда помнить, В современных дифрактометрах (см, ниже) предусматривается возможность избавиться от таких отражений.

Ведь для этого необходимо лишь повернуть кристалл на небольшой угол вокруг вектора ОР (нормального к серии отражающих плоскостей). При таком повороте узел Е сдвинется с поверхности сферы отражения (на рнс. 29, г «к нам» или «от нас») н луч р'д'г' перестанет существовать. Интерференционное уравнение вкладывает новое, более глубокое содержание в понятие обратной решетки. Теперь каждый узел ее однозначно связан с определенным дифракционным лучом рог и может рассматриваться как некое условное изображение этого луча. И наоборот, рентгенограмму, полученную методом вращения или одним из рентгенгониометрических методов, можно считать искаженным изображением (проекцией) определенной части обратной решетки. Способ «искажения» зависит от кинематической схемы каждого из рентгенгониометрических методов.

Но коль скоро она известна, переход от рентгенограммы к обратной решетке не представляет труда. А поскольку порядок обозначения узлов в решетке известен, такой переход дает наиболее простую и удобную основу для определения ди- фр а кционных индексов (индицирон ания) рентгеногр амм. Справедливо и обратное. По заданным индексам рог, а следовательно, и по вектору Н„, достаточно легко определить и угол ь поворота кристалла из исходного положения в отражающее и направляющие углы дифракционного луча, т. е.

найти ориентацию кристалла и положение счетчика в дифрактометре для регистрации дифракционного луча р~г. Рис. 30. Общий случай поворота кристалла в отра- жающее положение Поскольку далее будут рассмотрены кинематические схемы некоторых наиболее распространенных монокристальных дифрактометров, следует несколько детальнее остановиться на понятии направляющих углов дифракционного луча. Рис. 29, в в сущности описывает простейший случай, когда ось вращения направлена перпендикулярно пучку ММ' (направлена на нас) и рассматривается вектор Н~„(и Нр,~„,), лежащий в плоскости, перпендикулярной оси вращения (в плоскости чертежа).