Глава 1 - Основные понятия и элементы структурной кристаллографии (Учебник), страница 2

В частности, к этому средству приходится прибегать и в структурной кристаллографии. Осевые орты взаимной системы а', Ь*, с* определяются через осевые векторы кристаллографической системы а, Ь, с единичной матрицей скалярных произведений: М О~О , т. е. соотношениями (а*а) = М, (а~Ь) = (а~с) = О, (Ь*а) = (Ь*с) = О, (5) и (Ь"Ь) = М, (6) (с*а) = (с*Ь) = О, (с*с) = М.

Если теперь вектор г представить в кристаллографической системе г = г~а+г~Ь+ггс, а вектор Н вЂ” во взаимной системе Н =Нха*+ПуЬ*+Пгс*, то, учитывая соотношения (5) и (б), снова получим (гН) =ггН~+ +ггНг+ггНг, если М=1, и (ГН) = М (гхНХ + гкнпц + Гене) (7) в общем случае. Геометрический смысл соотношений (5) и (6) очень прост, Соотношения (а*Ь) = (а'с) =О означают, что вектор а' перпендикулярен и вектору Ь и вектору с, т. е. плоскости УЛ. Аналогично, вектор Ь"' перпендикулярен плоскости ХЛ, а вектор с* — плоскости ХУ. Соотношение (а" а) =М означает, что а*а соз (аа*) = = М. Но а соя (аа*) — это межплоскостное расстояние между параллельными гранями У7 элементарной ячейки, т.

е. межплоскостное расстояние Аоо (рис. 3, а). Следовательно, длина осевого вектора обратной решетки равна а' = Л'~7~100 и аналогично Ь' = сИ!ас1о, а' = Л/а'ас1 По своей длине осевые орты а*, Ь*, с* обратны межплоскостным расстояниям серии плоскостей (100), (010) и (001) соответственно (с масштабным коэффициентом М). Рис. 3. Направление осей обратной координатной системы (а); построение обратной решетки (б) Используем осевые орты а', Ь*, с* для построения второй решетки, т. е.

введем систему точек ЬИ ', удовлетворяющих условию Нлд~ =- Ьа*+ йЬ'"+ 1с~, (9) где Ь, й, У вЂ” любые целые числа (рис. 3, б). Решетку, построенную таким образом, называют обратной по отношению к кристаллографической. Этот вспомогательный геометрический образ широко используется в рентгеноструктурном анализе для интерпретации рентгенограмм.

На рис. 4, а изображены прямая и обратная решетки (условно взяты двумерные решетки; третий индекс каждого узла можно считать равным нулю). В обратной решетке проведен узловой ряд через точки .110 ° *, -220 *, 330 *, т. е. узловой ряд [110]*. На том же рисунке показана серия плоскостей основной решетки, имеющая те же индексы (110). Как видно, они взаимно перпендикулярны.

На рис, 4, б то же построение относится к узловому ряду [310]' обратной решетки и серии узловых сеток (310) основной решетки. Узловой ряд [310]* снова перпендикулярен плоскости (310). Кроме того, легко видеть, что чем больше длина вектора Н~и обратной решетки, тем меньше межплоскостное расстояние в соответствующей серии плоскостей А~~ основной решетки. Рис. 4. Взаимные ориентации узловых рядов обратной решетки и узловых сеток решетки кристалла: а — сетки (110) и узловой ряд [1101*; б — сетки (310) и узловой ряд 13101' 1 Н~~1Ыа+ ~Ь*+ Юс" =-И Ц, 1. ~ьм (10) В общем виде справедливо следующее соотношение. Вектор Н>,~(, проведенный из начала координат в любой узел обратной решетки ЬИ *, ближайший к началу в данном узловом ряду, всегда перпендикулярен узловой сетке основной (кристаллографической) решетки, имеющей те же индексы, а длина этого вектора ~ Ни(~ обратно пропорциональна межплоскостному расстоянию Аи.

Если обозначить единичный по длине вектор нормали к серии плоскостей (6И) через чьи (где ~1Ч(ц~ = =1), то сформулированное свойство можно записать в виде соотношения Так как узловой рял [йй[1~ далее содержит узлы ° 262Й21, ЗЙЗЙ31, и т. д., то в более общей форме Н„ч~: — пса~+ пАЬ~ + п1с~ = Л1' Ниии, (11) ~ии где р = пй, д = пй, г= п1. В скалярной форме ~ Н„,„! =М вЂ” . Соотноше- нии ния (8) можно рассматривать как частные случаи этого общего соотношения.

Для доказательства справедливости формулы (11) умножим обе части этого равенства скалярно на один из осевых векторов решетки кристалла, например а. С учетом соотношений (5) и (6) в ле- Ь вой части имеем (Нр[[~а) = Мпй. (12) В правой части соотношения (11) М по ийь определению, есть единичный вектор Р 5 К ству соотношения в (11) Н вательно, (Хии[а) =!а соз (Иии[Х). а рис. 5 изображена ближайшая к началу координат сетка (йИ) и провек не . оси Х отмечен отрезок а/й, отсекак неи лй[. На оси ой сеткои, а на но мали Я ер ли ли — расстояние для. Очевидно 1 соз (УйиХ) = а вся правая часть (11) и М вЂ” а — Ь = Мпй Повто ив п овторив те же операции при скалярном ты (проекции на оси) векторов, представвую и правую части равенства, совпадают. Значит, оба вектора Н~~, и М М ииу равны по длине и совпадают п ии т по направлению.

Соотношения (10) и особенно (11) б т и ваны в послед ющих но ( ) удут использоследующих разделах при выводе основных формул структурного анализа. ( ) д ет также основу для вывода Соотношение (10) а формулы (3), связываю щей межплоскостное расстояние некоторой серии плоскостей (ЙИ) с п 2 ) з 1/а ии, = Ь2а"2 + Об~2 + Рсй2 + 2ЬИа"'Р соз а" + 13) + 2Ис*а*соз~' + 2ИМс*созу®. (1 ) Далее требуется выразить параметры обратной решетки через параметры кристаллографической, воспользовавшись скалярным представлением соотношений (5) и (6) '. В частности, в случае ортогональной решетки (а=~=у=90' и соответственно а*=~~=у*=90') мы имеем просто а*=1/а, Ь*=1/Ь, с*=1/с и соотношение (13) упрощается до 1 /~2 Д2 12 — + + а2 О2 С2 Б. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ГРУППЫ СИММЕТРИИ ф 4.

Обозначения элементов симметрии конечных фигур, принятые в структурной кристаллографии В фигурах и телах конечных размеров симметрия проявляется в том, что равные части фигуры могут быть совмещены друг с другом либо путем поворота всей фигуры в целом, либо зеркальным отражением в плоскости, пересекающей фигуру, либо одновременным проведением обеих этих операций — поворота и отражения в плоскости, перпендикулярной оси поворота. В частности, поворот на 180', сопровождаемый отражением, приводит к инверсии фигуры.

Обычно именно эти операции и соответствующие им геометрические образы — элементы симметрии — и берутся за основу при описании групп симметрии конечных фигур. Хорошо известны и их обозначения: поворотные оси С (л — порядок оси), зеркальное отражение Сз, зеркально-поворотные оси 5 и центр инверсии 52 или С;**. Можно, однако, взять за основу не повороты, зеркальные отражения и повороты, сопровождаемые отражением, а несколько иную исходную систему: повороты, инверсию и повороты, сопровождаемые инверсией.

В этом случае зеркальное отражение может рассматриваться как поворот на 180', совмещенный с инверсией, а зеркальные повороты по определенным правилам, относящимся к порядку оси поворота, сводятся * См.: Бокий Г. Б,, Порай-Кошиц М. А. Рентгеноструктурный анализ. Т. 1. Изд-во МГУ, 1964. С. 31б — 317. ** Заметим, что понятие элемента симметрии соответствует не одной, а ряду операций снмметрии, производных от одной из них. Так, например, поворотная ось Сз содержит представление о само- совмещении фигуры прн поворотах как на 120, так и на 240 и 360'. к инверсионным поворотам, В структурной кристаллографии принята именно эта вторая система опорных операций симметрии; на ней основана номенклатура групп симметрии, характеризующих атомную структуру кристаллов. Применяется и совсем иной способ обозначения элементов симметрии; поворотные оси обозначаются цифрами 1, 2, 3 ..., отвечающими порядку оси, инверсионные оси обозначаются теми же цифрами с чертой 1, 2, 3,...

В частности, 1 — означает центр инверсии. Для плоскостей зеркального отражения принято обозначение т (хотя в принципе можно использовать и 2). Соотношение между двумя системами и способами обозначений выглядит очень просто: С1=1, С2=2, Сз =3, С4=4, С6=6; С1 =-1, Сю=2=т, Яз — — 6, 54=4, 86=3. Само понятие симметрии наиболее просто и без внутренних противоречий можно ввести следующим образом. Нам известны только три действия, которые не изменяют взаимное расположение всех точек л ю б о й произвольно выбранной фигуры (тела): это перемещение фигуры как целого, ее инверсия (отражения в точке) и зеркальное отражение.

Но, как было сказано, зеркальное отражение может быть сведено к комбинации из перемещения и инверсии. Поэтому можно ограничиться лишь двумя действиями — движением и инверсией как единственными простыми операциями, сохраняющими взаимное расположение (расстояния, углы и т. д.) всех точек любой фигуры. Эта констатация и служит основой для введения понятия симметрии. Фигуру называют симметричной, если в результате определенного движения, инверсии или совместного проведения этих двух действий все ее точки совпадут с точками, характеризующими первоначальное положение фигуры. Действия, приводящие к само- совмещению фигуры, называют операциями симметрии".

$5. Закрытые и открытые операции симметрии Перечисленные операции симметрии называют закрьстыми, поскольку они могут быть применены к ограниченному участку пространства. Симметрические преобразования, свойственные т о л ь к о бесконечным по размерам фигурам, называют открытыми операциями симметрии. Таковыми являют- * Если фигура совмещается со своим первоначальным положением только при повороте на 360' или после совершения полного колебания, то ее можно считать асимметричной или тривиально симметричной. Такой симметрией обладает любое тело. В теории групп симметрии соответствующая операция считается единичной операцией симметрии. ся: простые переносы (трансляции), скользящее отражение и винтовые повороты. Так, например, бесконечная (в одном измерении) фигура, показанная на рис.

б, а, может быть самосовмещена переносами на расстоя- Рис. 6. Скользящее отражение ~а) и винтовое вращение ~б) ния 1 или 21, 31 и т. д. или скользящим отражением (переносом, сопровождаемым отражением в плоскости, параллельной направлению переноса) со скольжением, равным '/~~, '/21 и т. д. Фигура, изображенная на рис. б, б, может быть совмещена как переносами на 1, 21, ..., так и винтовым вращением, например поворотом на 90', сопровождаемым смещением вдоль оси вращения на '/41. Понятно, что винтовые оси, так же как и поворотные или инверсионные, могут иметь разный порядок и в соответствии со значением делителя окружности (360/и), отвечающего минимальному углу поворота в операции симметрии. Рис. ~.

Винтовые оси третьего, четвертого и шестого порядков Оси винтового вращения (коротко — винтовые оси) обозначаются цифрами, отвечающими порядку оси, с цифровыми индексами: 21 — винтовая ось второго порядка; 3~ и Зр — винтовые оси третьего порядка (право- Рис. 3.

Плоскости скользящего отражения с осевым сколь- жением: а, б, в — а-скольжеиие; г — Ь-скольжение; д — с-скольжение е 1- Рис, 9. Плоскости скользящего отражения с диаго- нальным скольжением: а — и-скольжение; б — а-скольжение и левовращающая); 41, 4~, 4З вЂ” оси четвертого порядка, 6~, 6~, ..., 65 — оси шестого порядка. Индивидуальные особенности этих осей показаны на рис. 7. Для плоскостей скользящего отражения, так же как и для плоскости зеркального отражения ~т), применяются буквенные обозначения, разные в зависимости от направления скольжения: а означает скольжение вдоль оси Х; 6 — вдоль оси У; с — вдоль оси 2, и или д — по направлению диагонали в координатной плоскости элементарной ячейки.

При этом безразлично, как ориентирована сама плоскость скольжения. Так, например, все три плоскости скользящего отражения, изображенньи на рис. 8, а, б, в, обозначаются как а-плоскости (скольжения вдоль оси Х). Величина смещения при осевом скольжении всегда составляет половину трансляции вдоль оси, при диагональном скольжении она равна либо половине диагонали ячейки (п-плоскость), либо одной четвертой ее (дплоскость) (рис, 9, а, б).