Глава 1 - Основные понятия и элементы структурной кристаллографии (Учебник), страница 4

Двусторонняя стрелка между сингониями слева и координатными системами справа означает, что эти два понятия по содержанию очень близки, хотя и не полностью совпадают (см. ниже ~ 9 и 10). ф 9. Классы симметрии, сингонии и категории В теории симметрии кристаллического пространства существует понятие сходственных элементов симметрии. Таковыми являются поворотные и винтовые оси одного и того же порядка, плоскости зеркального и плоскости скользящего отражения.

Понятие сходственности можно распространить и на группы симметрии: сходственны все пространственные группы, различающиеся лишь частичной или полной заменой закрытых элементов симметрии на сходственные им открытые элементы. Если во всех сходственных пространственных группах произвести полную замену всех открытых элементов симметрии на закрытые и перенести их в общую точку пересечения, то получим одну и ту же точечную группу симметрии. Полученная таким преобразованием группа называется классом симметрии или точечной группой симметрии кристалла. Класс симметрии можно рассматривать как подразделение, объединяющее все сходственные пространственные группы. Важность этого понятия связана с тем, что симметрия кристалла определяет и симметрию проявления самых разнообразных физических свойств.

Но макрофизические свойства, такие, как электрическая проводимость, упругость и др., относятся не к отдельным атомам или атомным рядам, а к кристаллу в целом, и определяются не пространственной группой симметрии кристалла, а его классом симметрии — той точечной группой, которая получится, если все открытые элементы симметрии заменить сходственными закрытыми и перенести в общую точку пересечения.

Всего существует 32 класса симметрии. В левой части табл. 1 указаны их символы и количество пространственных групп, объединяемых в каждый класс симметрии. Дальнейшие классификационные объединения точечных групп в более крупные семейства строятся по сугубо формальному признаку. Сингония кристалла определяется порядком и числом осей симметрии, присутствующих в точечной группе. Если в точечной группе имеется лишь поворотная или инверсионная ось первого порядка, то кристалл относят к триклинной сингонии '.

Если кроме осей первого порядка имеются только оси второго порядка, то точечные группы относятся либо к моноклинной, либо к ромбической сингонии. При этом моноклинная сингония объединяет классы с одной поворотной осью второго порядка, с одной инверсионной осью второго порядка или с одной поворотной и одной инверсионной осью при совпадении их по направлению **. Ромбическая (или ортогональная ***) сингония объединяет те классы, в которых присутствует несколь- * Фактически сюда относятся только две точечные группы; полностью асимметричная 1 и центросимметричная 1 и соответственно только две пространственные группы: в одной отсутствуют какие-либо элементы симметрии, кроме трансляционных осей, в другой — присутствуют только центры инверсии и трансляционные оси.

'" Поскольку инверсионная ось 2 адекватна перпендикулярной ей плоскости зеркального отражения, последний случай означает комбипацию из поворотной оси 2 и перпендикулярной ей плоскости т; равнодействующий элемент симметрии — центр инверсии 7 в точке их пересечения, *"* В западной литературе принят термин орторомби ~еская сингония. Таблица 1. Распределение пространственных групп по классам симметрии, сингонням н категориям К ы о Д м о Триклин- ная 2 т 2/т 13 2/т Моно- клинная Низ- шая 74 22 9 28 тт2 222 ттт 59 Ромбиче- ская ттт 4 4 4/т 4тт 422 42т 4/ттт 68 Тетраго- нальная 4/ ттт 120 25 б/ттт" Сред- няя б б 6/т бтт 622 бт2 б/ттт 27 б/ттт 23 тЗ 432 43т тЗт тЗт 36 36 Кубиче- ская Выс- шая * Зт, если тригональную подсингонию выделить как самостоятельную сингонию. 3 3 Зт.

32 Зт О д в 8~ д <У э М о2~ д о Й сО ~ > о ~' о ~ Р >с О о ~~ о д а ~ У и 6 2 6 12 10 12 20 б 2 4 б 4 4 5 7 8 б 10 Гексагональная (тригональная подсингония) Гексагональная (гексагональная подсингония) й Я й,> о ~ о' ~ ~с й а о~ о ~ ~О и ко осей симметрии второго порядка, разных по ориентации (взаимно перпендикулярных — в соответствии с правилами взаимодействия элементов симметрии).

В том случае, когда в состав точечной группы входит одна ось симметрии четвертого порядка (безразлично, поворотная или инверсионная), группу относят к тетрагональной сингонии. Если в состав группы входит одна ось третьего или шестого порядка, то группа относится к гексагональной сингонии, В последней выделяют две подсингонии: тригональную (главная ось симметрии— ось третьего порядка) и собственно гексагональную (главная ось симметрии шестого порядка). Наконец, если в составе точечной группы имеется несколько осей высшего порядка (выше второго порядка), то такие группы относят к кубической сингонии. Распределение точечных групп по сингониям приведено в табл.

1, Все группы, относящиеся к одной и той же сингонии, являются подгруппами одной из них. В триклинной сингонии это группа 1, моноклинной 2/т, ромбической ттт, тетрагональной 4/ттт, гексагональной 6/ттт, кубической тЗт. Такая группа высшей симметрии в данной сингонии называется голоэдрической. В свою очередь сингонии объединяют в категории: низшую, среднюю и высшую. Здесь основным признаком является число осей высшего порядка. К н из ш ей категории относят триклинную, моноклинную и ромбическую сингонию (осей высшего порядка нет). К ср едн е й — тетрагональную и гексагональную сингонию (оси высшего порядка ориентированы лишь в одном направлении пространства), к в ы с ш е й — кубическую сингонию. ф 10. Координатные системы и метрика решеток Как отмечалось выше, для задания решетки кристалла в общем случае необходимо указать три векторных параметра а, Ь, с или шесть скалярных: размеры трансляций а, о, с вдоль выбранных осей и углы между их направлениями а, Р, у.

Любая ось симметрии (кроме оси первого порядка) вызывает, как известно, существование узловых рядов, параллельных и перпендикулярных этой оси. Обычно именно такие узловые ряды выбирают в качестве координатных осей кристаллической решетки (см.

ниже), а это означает, что по крайней ме- ре два из трех угловых параметров а, Р, ч элементарной ячейки должны быть равны 90'. Кроме того, оси высших порядков уравнивают по величине те из трех осевых параметров а, о, с, которые лежат в плоскости, перпендикулярной главной оси, или располагаются равнонаклонно к ней. Таким образом нетрансляционные элементы симметрии, фиксируя углы между осями и уравнивая размеры трансляций, уменьшают число независимых параметров решетки, Можно показать, что эти взаимосвязи между параметрами решетки имеют одинаковый характер для всех пространственных групп (и, соответственно, классов симметрии) одной и той же сингонии.

Лишь в гексагональной сингонии замена оси симметрии шестого порядка на ось третьего порядка создает дополнительную возможность для кристаллов тригональной подсингонии (см. ~ 11). Поэтому возникает всего семь разных по метрике решеток: по одной для каждой сингонии и дополнительно вторая для тригональных кристаллов. Для описания метрики этих решеток требуется условиться об общих правилах выбора координатных осей в кристаллах. Имеется довольно много разных формулировок этих правил, но, к сожалению, ни одна из них не охватывает все случаи в виде единого положения, а включает несколько соподчиненных правил и требует отдельных дополнительных оговорок для определенных случаев симметрии. Поэтому предпочтительно не обсуждать этот вопрос, а оговорить способ проведения кристаллографических координатных осей для решеток каждой сингонии по отдельности.

Соответствующие требования сформулированы в табл. 2 в колонке «Выбор осей». Так, например, в пространственных группах, относящихся к ромбической сингонии, всегда содержащих взаимно перпендикулярные поворотные, винтовые или инверсионные оси второго порядка, координатные оси направляются паралтельно этим элементам симметрии, Следовательно, в группах ромбической сингонии кристаллографическая координатная система всегда ортогональна. То же относится, естественно, и к группам с более высокой симметрии — средней и высшей категории. Наоборот, в группах моноклинной сингонии ось симметрии 2, 21 или 2 (т.

е. т) фиксирует направление только одной из кристаллографических осей. Две другие располагаются в узловой сетке решетки, перпендикулярной оси сим- К, й~ 0 М О Ф. о С» 11 !1 о С» о С» ОО б л йс а 1 ~Ч 3К о о о о о Ю д СЧ И и о СО 2 о х Ю й о а К М Ы Ф о 1 1 Ф. Ы М о О. сО х Й и М Й х х СО, о О о а о ойО ж ~к~~ м о-;.с л й й о о х д <о 63 один, х о.„о м о н о И х е д д й со,~ х ~ м оо' ~хо дейБ й О,Ю д л с2, ж' СЧ М ~ч $ Я ~1 () 1 ~СЧ С'4 со х о .Б Б с 1 х Я -в СЙ ОО 1 Ф Ф $ »ч |~ » б ~ !со сс 0) ~Р» <чу Ц вЂ” 1 о ~" С» И~ -Ч ~о» ~> о» М х Я к~ с- о х Я к ~' х х х хо о о х х я с$ ~ х о х о Ф сО Х х о с~~ М М л ~~ 2Ч х~ о й о~~ х, ~ $Ч М ~„ ~ ) »~ ~,/ х Е о;( д о ~ Я х х о к х со о .0 со Ф о х Оо х" х о о х Я сд П 11 6 М ~м х С'4 м 3 Р Ю о 1 Ю х ( о со к Р.

2 И О> х 3 а О» ф о х М Сб Щ х х со о, ~х о о охх йх два х о~ ~>Ф п~ о ,ООХ аао х х О а О х со ~у Р5 ~ х — РЗ И ХХ О> Х со о( о .о ( о1 сО Ь Ц.О ~о оо ~ д Щ О й о ожет о О х+ ~(. х ъ(. метрии (параллельной плоскости симметрии). Выбор узловых рядов этой сетки, принимаемых за координатные оси, вообще говоря, неоднозначен. Требуется лишь, чтобы наименьшие трансляции вдоль этих рядов образовали пустой параллелограмм (параллелограмм, в площади которого нет дополнительных узлов).

Для групп триклинной сингонии, где вообще нет осей симметрии (не считая 1 или 1), выставляется лишь одно требование: примитивности (пустотности) параллелепипеда, построенного на кратчайших трансляциях вдоль узловых рядов, выбранных за координатные оси *. Взаимосвязь между параметрами решетки а, Ь, с, а, р, у, возникающая в кристаллах, относящихся к кристаллам разных сингоний, представлена в табл. 2.