Глава 1 - Основные понятия и элементы структурной кристаллографии (Учебник), страница 5

ф 11. Типы решеток Бравэ Введение специальных правил выбора координатных осей в кристаллах каждой сингонии означает, естественно, отказ от первоначального постулата, гарантировавшего отсутствие узлов решетки внутри параллелепипеда, построенного на наименьших трансляциях, взятых за основные направления**. Коль скоро координатные оси выбирают по направлениям осей симметрии, может случиться, что узлы решетки попадут и внутрь элементарной ячейки или на ее грани. Симметрия структуры (рис. 13) требует, чтобы оси Х и У были выбраны по двум взаимно перпендикулярным осям симметрии; это определяет прямоугольную форму грани ао элементарной ячейки.

Между тем трансляционно равноценные фигуры располагаются в структуре не только в вершинах элементарных ячеек, но и в центрах их граней ао. Если узлы решетки располагаются только в вершинах элементарных ячеек, то ячейку (и решетку в це- * Впрочем, для двух осей в кристаллах моноклинной сингонии и всех трех осей кристаллов триклинной сингонии часто выставляют одно из двух дополнительных ограничений: 1 — оси выбираются так, чтобы при соблюдении остальных требований углы между ними были возможно ближе к прямым; 2 — оси выбираются так, чтобы они отвечали минимальным по размеру трансляциям (трем некомпланарным — в триклинной сингонии, двум перпендикулярным заданной третьей, — в моноклинной сингонии).

** Теперь это требование сохраняет силу только для групп, относящихся к триклинной сингонии. Рис. 13. Выбор координатных осей и элементарной ячейки в структуре с взаимно перпендикулярными плоскостями зеркального отражения 2 — 1515 6 г Рис, 14, Различные случаи центрировкн решеток лом) называют примитивной. При наличии трансляций, совмещающих вершины ячеек с точками внутри или на гранях ячеек, решетка считается непримитивной (центрированной). В рассмотренном примере решетка центрирована в координатной плоскости ХУ (рис.

14, а). Правила, определяющие выбор координатных систем в группах разных сингоний, по-разному ограничивают и способы центрировки их решеток. В триклинной сингонии в качестве осей можно выбрать любые некомпланарные узловые ряды, лишь бы объем получаемой ячейки был минимален. Поэтому триклинная решетка всегда примитивна. В моноклинной сингонии жестко зафиксировано направление лишь одной из осей, и в зависимости от размещения узлов решетки относительно этой оси она может оказаться либо прймитивной, либо бокоцентрированной. В ромбической сингонии строго определены направления всех трех осей: решетка может быть как примитивной, так и базоцентрированной, объемно-центрированной или гранецентрированной (рис.

14, а, б, в). В группах тетрагональной сингонии оси Х и У всегда выбираются так, чтобы квадратное основание ячейки не содержало центрирующих узлов. Поэтому тетрагональная решетка может быть только примитивной или объемно-центрированной, но не базоцентрированной или гранецентрированной. В группах гексагональной сингонии, содержащих оси шестого порядка, возможна лишь примитивная (гексагональная) решетка, а в группах, содержащих оси только третьего порядка (тригональная подсингония), сверх того и ромбоэдрическая решетка (рис.

14, г). В кристаллах кубической сингонии разрешены примитивная, объемно- и гранецентрированные решетки. Как видно из этого перечисления, с учетом сингонии и способа центрировки возможно всего 14 различных типов решеток. Их называют решетками Бравэ, В ромбоэдрической решетке за оси выбираются три узловых ряда, равнонаклонные к оси симметрии третьего порядка, создающие примитивную элементарную ячейку в форме ромбоэдра а=Ь=с и и=~=у (рис. 14, г). Оси ромбоэдрической координатной системы обозначены на рисунке через Х~, У~, 7~, два независимых параметра решетки — через а~ и а~. Но ту же решетку можно описать и в гексагональной системе координат (оси Х~, Ун, Л~, параметры решетки а~, со). Гексагональная элементарная ячейка в этом случае не- примитивна, она содержит два узла на телесной дна.

гонали на высотах '/з и 9з по Л. Поэтому ромбоэдрнческую решетку часто называют и гексагоиальной дважды центрироваиной. Для различных случаев центрировки ячеек применяются соответствующие обозначения: Р— примитивная решетка; А, В, С вЂ” решетки, цеитрированные по координатным плоскостям (УХ, ХЛ и ХУ соответственно); У1 Рис. 15. Серии узловых сеток в примитивной ~а) и центриро- ванной ~б) решетках обычно их называют базо- или бокоцентрированными решетками; Š— гранецентрированная решетка; 1 — объемно-центр ированная решетка; Р— ром боэдрическая или дважды центрированная гексагональная решетка, Эти обозначения применительно к решеткам разных сиигоний приведены в табл.

2. Индексы узловых сеток в непримитивных решетках. По определению, индексы узловых сеток Й, Й и 1 равны числу чаетей, на которые данная серия сеток разбивает ребра элементарной ячейки: а, Ь и с. Выше (см. $2) было показано, что в примитивной решетке целые числа л, й, 1 не могут иметь общего множителя. В непримитивиых решетках дело обстоит иначе. На рис. 15 изображены примитивная решетка и решетка, центрированная по плоскости ХУ (С-центрировка).

Сетки (110) проходят одновременно и через узлы в вершинах ячеек, и через центрирующие узлы, поэтому они располагаются одинаково часто и в примитивной, и в С-решетке. Сетки (210), проведенные через узлы в вершинах, не пересекают центрирующих узлов. В С-решетке возникают дополнительные «вставные» сетки, так что ребра ячейки а и Ь делятся уже не на 2 и 1 части, а на 4 и 2 части соответственно.

По определению, индексы (210) здесь заменяются на (420). Нетрудно проверить, что в данном примере индексы (ЙИ) любой серии сеток должны удовлетворять условию Ь+й=2п и не содержать других общих множителей. Правила, фиксирующие значения индексов серий сеток в решетках разного типа, приведены во второй колонке табл.

3*. Т а б л и ц а 3, Индексы сернй узловых сеток и днфракцнонные индексы в решетках разного тина дифракциоииые индексы ЙИ 1«правила погасаний») Индексы серий узловых сеток 1ЙИ) тип решетки Ь, Й,1 — любые целые чнсла Ь+ 1+1 =2п Примитивная Р Ь, Й, 1 не имеют общего множителя Й+ 1+1= 2па Объемно-центрнрованиая 1 Базоцентриронанная В А Ь+ А =2л 6+1 =2п й+1=2п й+й =2п, 6+1= 2л нли ииа. че ** .= 1+1 =2л Ь+ й =2п~ Ь+1 =2л~ й + 1 = 2ла Ь+ й = 2л'а й+1=2па Гранецентрированная т.

й+1=2па * Других общих множителей нет. ** Все трн индекса четные или все три нечетные. $12. Графическое изображеиие пространственных групп симметрии Совокупность элементов симметрии, образующих пространственную группу, их ориентацию и взаимное смещение в пространстве, удобнее всего показать графически в виде проекции на одну из граней элементарной ячейки трансляционной группы. Понятно, что способ изображения каждого элемента симметрии зависит от того, располагается ли он пер- * Доказательство существования этих правил см., например, в кн.: Бокий Г. Б., Порай-Кошнц М.

А. Рентгеноструктурный анализ. Т. 1. Изд-во МГУ, 1964, с. 268 — 269. пендикулярно, параллельно или наклонно к плоскости проекции. На рис. 16 даны условные изображения осей симметрии разных порядков, как поворотных, так и инверсионных и винтовых: в верхнем ряду — оси, ориентированные перпендикулярно плоскости чертежа, в сред- б б б, б~ б~ б,, Е~ Ф ®Ф ФФФФФ 1Т ~Г Рис. 16. Изображение осей симметрии на чертежах нем — расположенные параллельно плоскости чертежа.

В нижнем ряду приведены примеры изображения осей, наклоненных по отношению к плоскости проекции. Слева на рисунке (в виде маленького кружка) показано условное изображение центра инверсии. с и ~т1 Ю М И ~'4 Рис. 17. Изображение плоскостей симметрии на чертежах На рис. 17 аналогичным образом показано изображение плоскости зеркального и скользящего отражения. Плоскости, параллельные плоскости проекции (средний ряд на рисунке), изображаются в виде двух сходящихся, взаимно перпендикулярных прямых, помещаемых обычно в правом верхнем углу рисунка.

Стрелка указывает направление скольжения, Отсутствие стрелки отличает плоскость зеркального отражения. В верхнем ряду те же плоскости ориентированы перпендикулярно плоскости чертежа: сплошная жирная линия означает ~ зеркальное отражение; пунктирная — скользящее отражение со скольжением, перпендикулярным плоскости чертежа (на нас), штриховая — скольжение, параллельное плоскости чертежа: штрихпунктирная линия — диагональное и-скольжение. Дополнительные значки-стрелки на штрихпунктирной линии означают диагональное д-скольжение.

В нижнем ряду приведены условные обозначения плоскостей симметрии, расположенных косо по отношению к плоскости чертежа. Центры инверсии, а также плоскости и оси симметрии, параллельные плоскости чертежа, могут находиться в пространстве на разных уровнях над этой плоскостью. Величина смещения над плоскостью чертежа (над координатной плоскостью элементарной ячейки) обозначается дробным числом, которое ставится рядом с изображением элемента симметрии и означает величину смещения в долях периода повторяемости. Обычно пространственную группу принято показывать в проекции на координатную плоскость ХУ.

Ось Х направляется в проекции сверху вниз, ось У вЂ” слева направо; предполагается, что ось Л направлена на нас (правая система координат). На рис. 18 в верхнем ряду в качестве простых примеров приведены изображения двух пространственных групп моноклинной сингонии. Чертежи нетрудно «прочесть». В левой части рисунка изображена группа с поворотными осями второго порядка, параллельными оси У, плоскостями зеркального отражения, перпендикулярными этой оси.

В точках их пересечения находятся центры инверсии. В правой части рисунка показана группа с винтовыми осями второго порядка, параллельными оси У, и плоскостями скользящего отражения, им перпендикулярными, со скольжением вдоль оси Л. Центры инверсии размещаются (так же, как в первой из показанных групп) в начале координат и в точках '/200, 0'/20, '/2 '/~ О, 00'/а, О'/~ '/ь '/20 '/г и '/~ '/~ '/~ Винтовые оси смещены относительно центров инверсии на /4 периода по оси с, а плоскости скольжения — на ~/4 периода по оси У, При изображении пространственных групп принято показывать на чертежах не только сами элементы симметрии, но и размножаемые ими материальные частицы.