Глава 1 - Основные понятия и элементы структурной кристаллографии (Учебник), страница 6

Последние изображаются кружками. Знаки + и — ' около них указывают, где (над или под плоскостью чертежа) располагаются точки (подразумеваются координаты +г и — г, если на нас направлена ось Л ячейки). Если кружок разделен пополам чертой и около него стоят оба знака, это означает присутствие двух точек — и над, и под плоскостью чертежа.

Замена знаков + и — на 'Ь+ и '/~ — означает перенос точки, имевшей координату г, перпендикулярно плоскости чертежа в точку с координатой '/+г или '/ — г но той же оси. Точки (материальные частицы), которые переводятся друг в друга инверсией или отражением, в принципе не конгруэнтны, а лишь зеркально равны.

Для того чтобы отразить это обстоятельство, одна из двух таких точек снабжается пометкой в виде запятой. Во втором ряду на том же рисунке повторены обе показанные в верхнем ряду пространственные группы, дополненные изображением материальных точек. Нетрудно проверить, что присутствующие элементы симметрии действительно переводят эти точки друг в друга: по обе стороны от поворотной оси 2 располагаются кружки с разными знаками + и —, но одинаковой пометкой; по обе стороны от плоскости т располагаются кружки с одинаковыми знаками (оба + или оба — ), но с раз-' ными пометками (однн без запятой, второй с запятой); по обе стороны от центра инверсии располагаются кружки с разными знаками и разными пометками.

На правом рисунке плоскость скользящего отражения со скольжением вдоль Л-оси связывает кружки со знаками + и '/+ или — и '/ — (имеются в виду координаты ~г и ~Й+г). Винтовая ось, поднятая на уровень /4 по У, связывает точки с координатами хуг и х, '/~+у, '/~ —,г. В табл. 2 указывалось, что для пространственных групп моноклинной сингонии общеприняты не одна, а две различные установки: одна с осью симметрии по оси У кристалла, другая с осью симметрии по оси 7 кристалла.

На чертежах, приведенных в верхней части рис. 18, использована К-установка: поворотная ось 2 на левом чертеже и винтовая 2~ на правом направлены вдоль оси У. В третьем ряду те же две пространственные группы даны в Я-установке; оси симметрии 2 и 21 проходят па- раллельно оси Я-кристалла. На рисунках представлены проекции ячеек на координатную плоскость ХУ, но в этои установке оси симметрии располагаются уже не параллельно, а перпендикулярно плоскости чертежа. Соответственно изменяется и ориентация плоскостной симметрии.

Наличие плоскости зеркального отражения, паралдельной плоскости чертежа, приводит к появлению материальных точек, накладывающихся друг на друга в проекции; кружки разделены пополам и снабжены обоими знаками + и —. В последнем ряду показаны две другие пространственные группы, тоже относящиеся к моноклинной сингонии. Здесь снова принята У-установка.

Не анализируя всех особенностей размещения элементов симметрии, обратим внимание лишь на следующее. В обоих случаях весь комплекс кружков, расположенных вокруг вершин элементарной ячейки (вместе со знаками + и — и пометками-запятыми), переносится как целое в центр проекции. Это означает, что в решетке имеется трансляция, равная половине длины диагонали основания ячейки. Обе группы в отличие от двух предшествующих имеют не примитивную, а базоцентрированную трансляционную подгруппу. $ 13. Обозначения пространственных групп симметрии Общепринятые обозначения пространственных групп симметрии, известные под названием международных символов, в общем довольно условны. Они включают совокупность наиболее характерных элементов симметрии группы, достаточную для «узнавания» данной группы среди остальных.

Изложение всех правил формирования символов пространственных групп заняло бы слишком много места. Ограничимся лишь теми пояснениями, которые позволяют далее пользоваться этими символами без значительных затруднений '. На рис. 18 были изображены четыре пространственные группы моноклинной сингонии. На рис. 19 показа' Международные символы некоторых групп имеют два написания — полное и сокращенное, Пояснения относятся к сокращенным символам, которые используются в лнтаратуре значительно чаще, чем полные.

ны три группы ромбической сингонии, на рис. 20 — две группы тетрагональной сингонии и две группы гексагональной сингонии. Под чертежами приведены символы 1'Т ХФ +Я-,-~- о-1-о-", о.~ о ~ о. Ч Рпп~~ С~тт Рис. 19. Изображение некоторых пространственных групп ромби- ческой сингонии соответствующих пространственных г р упп.

Из их ср авнения видно, что на первом месте в символе всегда ставится обозначение типа решетки по Бравэ (он не со- /' ~ '~ /' Р4/ттт РН(п5 ~п ~ч РЫ РБ /оси Рис. 20. Изображение некоторых пространственных групп тетрагональной и гексагонапь'.ой спнгоний провождается индексом, указывающим сингонию, поскольку последняя ясна из комбинации последующих обозначений). Далее следует обозначение главной оси симметрии, если таковая имеется. Косая дробь между ~~/Ф ~ о Чс.

~~~ Ы, о-~-о о. ®/г- символами оси симметрии и плоскости симметрии означает их взаимную перпендикулярность. Эта дробь относится к той плоскости, символ которой стоит непосредственно за знаком дроби (см., например, группу Р4(пЬт на рис. 20). В остальном построение символов групп, относящихся к разным сингониям, требует индивидуального описания.

К триклинной сингонии относятся лишь две пространственные группы: полностью асимметричная Р1 и центросимметричная Р1. К моноклинной сингонии относятся пространственные группы трех кристаллографических классов: с осями второго порядка, с плоскостями симметрии и с осями и перпендикулярными им плоскостями.

В первых двух группах за обозначением решетки Бравэ следует обозначение оси или плоскости, в третьей в соответствии с уже сказанным — обозначения оси и плоскости, разделенные косой чертой. Примеры пространственных групп Р2, Р2ь С2, Рт, Рс, Сс, Р2(т, Р2~(с, С2~т, С2/с (см. Рис. 18). Заметим, что при переходе от У-установки к 7-установке символы некоторых групп моноклинной сингонии меняют свой вид. Те же группы при Л-установке имели бы символы Р2, Р2~, В2, Рт, РЬ, ВЬ,Р2(т, Р2~(Ь,В2(т, В2/Ь. В символах групп ромбической сингонии, где отсутствуют главные оси симметрии и все оси параллельны, а плоскости перпендикулярны координатным осям, используется такая последовательность обозначений. После символа решетки на первом месте идет плоскость, перпендикулярная оси Х, или в ее отсутствие ось симметрии, параллельная оси Х. На втором месте ставится обозначение элемента, относящегося аналогичным образом к оси У, на третьем — к оси Г.

Например, символ Р2тт (см. Рис. 19) означает, что решетка примитивна, параллельно оси Х проходят поворотные оси 2, а перпендикулярно осям У и Я проходят плоскости зеркального отражения. Символ Рпта означает, что ь пРимитивной ромбической решетке имеются плоскости всех трех ориентаций: диагонального скольжения — перпендикулярно оси Х, зеркального отражения — перпендикулярно оси У и осевого скольжения — перпендикуляРно оси 2 (скольжение направлено вдоль оси Х). Естественно, что группа содержит и оси симметрии втоРого порядка (см. Рис. 19), но в символ группы они не вводятся.

Иначе строятся символы пространственных групп тетрагональной и гексагональной сингоний. Здесь имеется главная ось симметрии и она всегда направлена по оси 7 кристалла. Поэтому после обозначения типа решетки по Бравэ следует обозначение главной оси, параллельной 7, и через дробь — плоскости симметрии, перпендикулярной 7, если таковая имеется. Далее следует обозначение плоскости симметрии, перпендикулярной оси Х (У), или оси симметрии, параллельной оси Х ~У), если плоскость отсутствует". На последнем месте в символе ставится обозначение плоскости симметрии (или оси симметрии), делящей пополам угол между плоскостями симметрии, перпендикулярными осям Х и У (или между осями симметрии, параллельными осям Х и У), если такая плоскость (или ось) имеется.

Например, символ Р4/пЬт (рис. 20) означает, что мы имеем дело с группой, относящейся к тетрагональной сингонии; решетка примитивная; перпендикулярно оси 4 располагается плоскость скользящего отражения с диагональным скольжением; перпендикулярно осям Х и У проходят плоскости скользящего отражения со сколыкением вдоль осей У и Х соответственно, а между ними (под углом в 45') проходят плоскости зеркального отражения.

Символ Р32 означает, что группа относится к тригональной подсингонии гексагональной сингонии и имеет примитивную гексагональную решетку. Главные оси— поворотные третьего порядка. Плоскостей симметрии, перпендикулярных главным осям, нет. Отсутствуют и плоскости симметрии, перпендикулярные осям Х и У. В наличии имеются только поворотные оси второго порядка, параллельные этим осям. Символы групп, относящихся к кубической сингонии, строятся следующим образом.

На первом месте после обозначения типа решетки ставится обозначение плоскостей, проходящих параллельно координатным плоскостям ячейки, или, если таких плоскостей симметрии нет, осей симметрии, параллельных координатным осям '(осей симметрии второго или четвертого порядков). На втором месте всегда стоит обозначение осей, проходящих по телесным диагоналям кубической ячейки (осей * В кристаллах тетрагональной и гексагональной сингоний оси Х и У всегда равноценны.

третьего порядка). На третьем месте ставятся обозначения плоскостей или, если их нет, осей симметрии (второго порядка), проходящих по диагоналям граней ячей,ки. Если таких плоскостей или осей нет вообще, третье место символа остается незаполненным.