А.И. Шафаревич - Геометрические структуры в квантовой механике, страница 5

. . , ωn2 ). Поскольку такая замена ортогональна, оператор Лапласа не изменится (этот факт мы считаем известным). Тогда гамильтониан запишетсяв видеnn2XXbi.b = − h ∆y + 1H(24)Hωi2 yi2 =22 i=1i=1b i — гамильтониан для одномерного квантового осциллятора:Здесь H22bi = − h ∂ + 1 ω2y2.H2 ∂yi22 i i(25)b «развалился» в сумму операторов, действующих независимо по каждой переменной:Таким образом оператор Hb=HnXi=1bi.H(26)b1, . . . , Hb n c собственными знаЭто значит, что если ψ1 (y1 ), .

. . , ψn (yn ) — собственные функции операторов Hчениями λ1 , . . . , λn соответственно, то их произведение ψ := ψ1 (y1 ) · . . . · ψn (yn ) будет собственной функциейb с собственным значением λ1 + . . . + λn . Действительно, посколькуоператора H(λi ψi , i = j,bHi ψj =(27)0,i 6= j,тоnXi=1nnXXb i ψ1 · . . . · ψn =Hλi ψ1 · .

. . · ψn =λi ψ.i=1(28)i=1b j нам известен спектр и собственные функции. Это значит, что мы можем выписать собственДля операторов Hb Пусть m = (m1 , . . . mn ). Получаем спектрные функции и собственные значения для оператора H.Emи собственные функции1=hωi mi +2i=1nXn 1 Xψm = (ba∗1 )m1 · . .

. · (ba∗n )mn exp −ωi yi2 .2h i=118(29)(30)Здесь ba∗i — оператор рождения по i-й переменной (очевидно, что операторы по разным переменным коммутируют между собой). Его можно записать в виде∂= (ωi (ei , x) − h(ei , grad)).(31)ba∗i = ωi yi − h∂yiПосколькуnXωi yi2 = (x, Ωx),Ω=√Ω2 ,(32)i=1получаем (уже в координатах x):ψm =(ba∗1 )m1·...

·(ba∗n )mn1exp − (x, Ωx) .2h(33)Функции ψi (как и всякие собственные векторы) определены с точностью до умножения на (ненулевую) константу. Её можно так пронормировать, чтобыZ2|ψm | dx = 1.(34)RnЗамечание. Функцию ψ(x) с такой нормировкой можно понимать как плотность вероятности того, чтомаятник попадает в точку x.3.3. Осцилляторное приближениеb «более поганый»? Ну, например, если он имеет видА что делать в том случае, если оператор H2b = − h ∆ + V (x),H2(35)где V (x) — гладкая функция. Нас будет интересовать приближенное вычисление спектра этой системы. Описать устройство всего спектра в общем случае невозможно.

Обратимся сначала к аналогии из классическоймеханики. В окрестности минимума потенциальной энергии можно заменить функцию V (x) первыми членамиеё разложения в ряд Тейлора (до порядка x2 ). В результате получится система, описывающая классическиймаятник. При значениях энергии, мало отличающихся от минимального, поведение системы достаточно хорошоописывается таким приближением. Это и есть так называемое осцилляторное приближение.Сделаем то же самое в квантовом случае. Пусть x0 — точка невырожденного локального минимума, то естьb на оператор Hb0:gradV (x0 ) = 0, а матрица вторых производных V ′′ невырождена. Заменим оператор H2b 0 = − h ∆ + V (x0 ) + 1 (x − x0 , V ′′ (x − x0 )) .H22(36)Нас будет интересовать спектр этого оператора в квазиклассическом пределе (то есть при h → 0).

Рассмотримфункцию1x − x01∗ m1∗ mn√ψm = Cm (ba1 ) · . . . · (ban ) exp − (x, Ωx) = Cm Pmexp − (x, Ωx) .(37)2h2hhСчитаем, что функция ψm нормирована так, что kψm kL2 (Rn ) = 1. Выясним, как ведёт себя нормировочный√ 0 . Тогдакоэффициент Cm при h → 0. Введём переменные z := x−xh1ψm = Cm Pm (z) exp − (z, Ωz) .2Из условия нормировки получаемZZn22−(z,Ωz)2221 = Cm Pm (z)edz = h Cm Pm(z)e−(z,Ωz) dz.(38)(39)RnRnПоследний интеграл — некоторая константа, не зависящая от h (обозначим её через Am ), откудаn1Cm = h− 4 √.Am19(40)Таким образом функция ψm имеет видnu(x) = h− 4 fx − x0√h(41),причем функция f (z) убывает к нулю при |z| → ∞ быстрее любой обратной степени.Лемма 3.5. Пусть u(x) — функция вида (41). Рассмотрим функциюw := |x − x0 |s u(x).ТогдаВ самом деле,2kwk =ZskwkL2 = O h 2 .2s − n2|x − x0 | hf2Rnx − x0√h(42)(43)dx.(44)Снова переходя к переменной z, получаемnnkwk2 = h− 2 h 2 hsZf 2 (z) dz = hsRnZ|z|2s f 2 (z) dz = O(hs ),(45)Rnпотому что подинтегральная функция убывает быстрее любой обратной степени, и интеграл сходится.

Окончаsтельно, kwk = O(h 2 ). b 0 . ТогдаСледствие 3.1. Пусть ψm — собственная функция оператора Hb m = Em ψm + O(h 23 ) = Em ψm + o(h).Hψ(46)b −Hb 0 имеет порядок |x − x0 |3 , и только что доказанной леммы Следует из того факта, что разность Hпри s = 3. b 0 . Тогда расстояние от Em до спектраУтверждение 3.6. Пусть Em — произвольное собственное число Hb имеет порядок o(h).оператора H Итак, мы уже доказали, чтоb m − Em ψm = fHψ(47)b то доказывать нечего. Если Em не принадлежит спектру, тои f = o(h).

Если Em ∈ Spec H,(48)b то норма резольвентыИзвестно, что если d — расстояние от λ до спектра оператора H,(49)b − Em )−1 f.ψm = (H(Hb − λI)−1 = 1 .dПолучаемb − Em −1 kf k = kf k .1 = kψm k 6 Hd(50)Отсюда d = o(h). Последнее утверждение можно усилить. Справедлива теорема, которую мы оставим без доказательства.Теорема 3.7 (Об осцилляторном приближении). Пусть V (x) — гладкая функция, имеющая N точекглобального минимума x(1) , . . . , x(N ) .

Рассмотрим N операторов(i)b (i) = − h ∆ + V (x(i) ) + 1 (x − x(i) , V ′′ (x(i) )(x − x(i) ))H022(51)и их собственные числа Em . Упорядочим все собственные числа по возрастанию с учётом кратности. Пустьвне некоторого компакта выполнено неравенство V (x) > V0 + δ. Тогда для любого M при достаточно малых hb причем Ek − Ek = o(h).существует по крайней мере M собственных чисел Ek оператора H,204. Теория Морса4.1. Введение в теорию МорсаПусть M — гладкое n-мерное многообразие, f — гладкая функция на M .Определение. Точка P ∈ M называется критической точкой функции f , если dP f = 0.Утверждение 4.1.

Если P — критическая точка функции f , то d2P f — квадратичная форма в TP M , независящая от локальных координат, то есть тензор типа (0, 2). Имеем∂2f∂∂∂ ∂f ∂xj∂ 2 f ∂xi ∂xj∂f ∂ 2 xj.(1)′′ =′′ f =′′ =′′ +ijijijjijij∂x ∂x∂x ∂x∂x ∂x ∂x∂x ∂x ∂x ∂x∂xj ∂xi′ ∂xj ′∂fПоследнее слагаемое равно нулю, поскольку P — критическая точка, и ∂xj = 0 для всех j.

Оставшееся выражение представляет собой в точности тензорный закон преобразования координат. Итак, матрица вторыхпроизводных задаёт в критической точке квадратичную форму qij (P ). Определение. Критическая точка P называется невырожденной, если форма qij (P ) невырождена.Определение. Функция f называется функцией Морса, если все ее критические точки невырождены и ихконечное число.Определение. Индексом критической точки P называется число отрицательных собственных значенийформы qij (P ).Лемма 4.2 (Морс).

Существует достаточно малая окрестность точки P и такие локальные координаты (y) в этой окрестности, что в этих координатах функция имеет видnXf = f (P ) +εj yj2 ,j=1(2)εj = ±1. Без ограничения общности можно считать, что f (P ) = 0, потому что общий случай легко свести к этому.Запишем следующее тождество:f (x) =Z1Z1df (tx) dt =dt0nX∂f(tx)xj dt =xj gj (x).∂xjj=10(3)∂f. Поскольку точка P — критическая, gj (P ) = 0. Это значит, что для неё также справедливоЗдесь gj (x) := ∂xjпредставление (3).

ПолучаемXXf (x) =hij (x)xi xj .(4)ijПри этом hij — элементы матрицы H вторых производных. Остается выделить полные квадраты. Доказательство того, что это можно осуществить, проводится по индукции. Пусть функция f уже приведена к видуf (y) =k−1Xεj yj2 +j=1| {z }Xhij (y)yi yj ,i,j>k(5)εj = ±1.Sk−1Матрица вторых производных — симметричная матрица, поэтому существует такая линейная замена переменных, что в одной точке (а именно в P ) матрица вторых производных будет диагональной.

Считаем, чтокоординаты yi уже выбраны так. Это значит, что hkk (P ) 6= 0 в некоторой окрестности точки P . Будем выделятьполный квадрат. Для краткости обозначимq :=p|hkk (y)|,εk := sgn hkk (0),Tk+1 :=nXhjk yj.q(6)j=k+1Имеемf = Sk−1 + hkk (y)yk2 + 2yknXj=k+1hjk yj +nXhij (y)yi yj =i,j=k+1nhiX22= Sk−1 + εk (qyk )2 + 2εk (qyk )Tk+1 + Tk+1− εk Tk+1+hij (y)yi yj . (7)i,j=k+121Рассмотрим замену координат, i 6= k,z i = y i Pz k = q y k +i>khik (y)hkk (y)(8).В достаточно малой окрестности точки P функции zi являются локальными координатами, потому чтоматрица перехода имеет вид∂zk1∂y1.... ..∂zi,∂zk=(9)∂yk∂yj......∂zk1∂yn00и её определитель равен∂zk∂yk .Посмотрим на эту производную в нуле:p∂zk(0) = |hkk (0)| =6 0.∂yk(10)Итак, функция f в новых координатах имеет видf=kXj=1εj zj2 +Xhij (z)zi zj ,(11)i,j>kи шаг индукции завершён.

Определение. Координаты, в которых функция имеет такой вид, называются координатами Морса.4.2. Внешние формы на многообразии4.2.1. Внешние формы на многообразии. Дифференциал и его свойстваПока на эту тему см., например, [1].4.2.2.

Когомологии де РамаПока на эту тему см., например, [1].4.2.3. Оператор ХоджаПусть M — гладкое, компактное, замкнутое (то есть без края) риманово многообразие. Рассмотрим касательное пространство TP M . Поскольку у нас есть риманова метрика gij , то в касательном пространстве у насесть и скалярное произведение векторов, а именно,x = xi ei ,y = y i ei ,(x, y) = gij xi y j .(12)Определим отображениеG : TP M → (TP M )∗ ,Gξ(η) := (ξ, η).1n(13)i jПусть (e1 , . .

. , en ) — ортонормированный базис TP M , а (e , . . . , e ) — сопряжённый базис. Тогда Gξ = gij ξ e —это уже некоторая линейная функция. Соответственно, можно перенести скалярное произведение и на линейныефункции по правилу(α, β) := (G−1 α, G−1 β).(14)Итак, мы автоматически задаём отождествление касательного и кокасательного пространства и скалярное произведение на кокасательном пространстве (то есть на 1-формах).Продолжим скалярное произведение, определённое на 1-формах, на k-формы. Пусть α = α1 ∧ . .