А.И. Шафаревич - Геометрические структуры в квантовой механике, страница 6

. ∧ αk иβ = β 1 ∧ . . . ∧ β k . Здесь αi и β i — 1-формы.Определение. Скалярным произведением k-форм будем называть число (α, β) := det(αi , β j ).Проверка корректности такого определения — прямая выкладка. Базис ei1 ∧ . . . ∧ eik будет ортонормированным относительно этого скалярного произведения.22Определение. n-форма Ω на многообразии называется формой объёма, если, во-первых,(15)(Ω, Ω) = 1,и во-вторых, на положительно ориентированном базисе имеем(16)Ω(e1 , . . . , en ) > 0.Все n-формы отличаются только скалярными множителями, и легко видеть, что форма, определённая такимобразом, равна√Ω = g · e1 ∧ .

. . ∧ en , g = det(gij ).(17)Определение. Оператор Ходжа (обозначается звёздочкой) делает из k-формы (n−k)-форму по следующемуправилу:(∗α, β) = (α ∧ β, Ω).(18)4.2.4. Свойства оператора Ходжа◦1 Если (e1 , . . . , en ) — ортонормированный базис, то∗eIk = sgn σ · eJn−k ,(19)где Jn−k = I k , а σ = (Ik , Jn−k ).Пусть α = eIk , а β = eMn−k . Имеем в силу ортонормированности базиса пространства форм(0,Jn−k 6= Mn−k ,Jn−k Mn−k(sgn σ · e,e)=sgn σ, Jn−k = Mn−k .(20)С другой стороны,(α ∧ β, Ω) = (eIk∧eMn−k, Ω) =(0,sgn σ(Ω, Ω) = sgn σ,Mn−k =6 Jn−k ,Mn−k = Jn−k ,(21)и первое свойство проверено. ◦2 Если α — k-форма, то ∗∗α = (−1)k(n−k) α. После двукратного перехода к дополнению индексы, очевидно, останутся прежними.

Разберёмся сознаками: в силу только что доказанного,∗∗α = sgn σ · sgn ρ · eIk ,σ = (Ik , Jn−k ),ρ = (Jn−k , Ik ),Jn−k = I k .(22)Чтобы из σ сделать ρ, нужно k(n − k) транспозиций. Это означает, что sgn σ = sgn ρ · (−1)k(n−k) . Отсюдавсё следует. 3◦ (∗α, ∗β) = (α, β).Следует из свойства 1◦ и аккуратно проверяется на базисных векторах. 4◦ (∗α, β) = (−1)k(n−k) (α, ∗β).В самом деле, в силу 3◦ и 2◦ имеем(∗α, β) = (∗∗α, ∗β) = (−1)k(n−k) (α, ∗β),(23)что и требуется. ◦5 Если α и β — k-формы, то α ∧ ∗β = (α, β)Ω.Из определения ∗ и свойства 3◦ имеем(α, β) = (∗α, ∗β) = (α ∧ ∗β, Ω).(24)Но форма α ∧ ∗β имеет степень n, значит, она пропорциональна Ω: α ∧ ∗β = λΩ. Найдём коэффициент λ:(α, β) = λ(Ω, Ω) = λ. Итак, α ∧ ∗β = λΩ = (α, β)Ω, что и требовалось доказать. 23Оператор Ходжа возникает на k-формах естественным образом как двойственный к взятию ортогональногодополнения в пространстве k-векторов. Если ограничиться рассмотрением ортонормированных базисов, то легкоустановить соответствие между внешними k-одночленами и k-мерными подпространствами.

Геометрическийсмысл оператора Ходжа — переход от подпространства к его ортогональному дополнению.До этого момента мы рассматривали пространство форм в фиксированной точке P , и скалярное произведение, определённое нами, тоже зависело от точки. Теперь определим скалярное произведение форм на всёммногообразии:Определение. Если α и β — формы одного ранга на гладком компактном многообразии M , тоZ(α, β) := (α, β)P Ω.(25)M4.3.

Оператор Лапласа – Бельтрами4.3.1. Двойственный оператор дифференцированияИтак, на k-формах уже определены два оператора:∗ : Λk → Λn−k ,d : Λk → Λk+1 .(26)Склеим из них третий оператор d∗ , который определим так:d∗ : Λk → Λk−1 ,d∗ α := (−1)n+nk+1 ∗d∗α.(27)Утверждение 4.3. Пусть α ∈ Λk , β ∈ Λk−1 . Тогда (d∗ α, β) = (α, dβ), то есть оператор d∗ сопряжён dотносительно скалярного произведения. Пользуясь формулой α ∗ ∧β = (α, β)Ω, получаемd(β ∧ ∗α) = dβ ∧ α + (−1)k−1 β ∧ d∗α == (dβ, α)P Ω + (−1)k−1 β ∧ ∗∗d∗α(−1)(n−k+1)(k−1) == (α, dβ)P Ω + (−1)k−1+nk−k2+k−n+k−1= (α, dβ)P Ω + (−1)nk−n (β, ∗d∗α)P Ω =(β, ∗d∗α)P Ω =(28)= (α, dβ)P Ω − (β, d∗ α)P Ω.Далее, применяя формулу Стокса, получаемZZZ∗0=β ∧ ∗α = d(β ∧ ∗α) = (α, dβ) − (β, d α)Ω,∂MMоткуда следует доказываемое равенство, ибоRM(29)MΩ 6= 0. Заметим ещё одно простое свойство оператора d∗ :(d∗ )2 = ∗d∗∗d∗ = ±∗d2 ∗ = 0.(30)4.3.2.

Оператор Лапласа – Бельтрами и его свойстваОпределение. Оператором Лапласа – Бельтрами называется оператор D : Λk → Λk видаD := dd∗ + d∗ d.Оператор Лапласа – Бельтрами обладает следующими свойствами:1◦ (Dα, β) = (α, Dβ).(Dα, β) = (dd∗ α, β) + (d∗ dα, β) = (d∗ α, d∗ β) + (dα, dβ), а это выражение симметрично по α и β. 2◦ (Dα, α) > 0.В самом деле, (Dα, α) = (d∗ α, d∗ α) + (dα, dα) > 0. 3◦ Dα = 0 тогда и только тогда, когда dα = d∗ α = 0.Вытекает из предыдущего равенства. 24(31)4◦ ∗D = D∗, то есть D коммутирует с оператором Ходжа.Доказывается прямым, но утомительным вычислением со тщательным подсчетом минусов.

Теорема 4.4.Ker DΛk∼= Hk.(32) Это утверждение мы будем доказывать по модулю некоторого факта из функционального анализа:будем считать известным, что Λk = Ker D ⊕ Im D. Это значит, что для любой формы существует и единственнопредставление в виде ω = ω0 + Dα, ω0 ∈ Ker D.Пусть dω = 0, то есть ω ∈ Ker d.

Тогда0 = dω = dω0 +d(Dα) = d(dd∗ α + d∗ dα) = dd∗ dα.|{z}(33)0Используем полученное равенство:∗0 = (dα, |dd{zdα}) = (d∗ dα, d∗ dα),(34)0откуда d∗ dα = 0, то есть при условии замкнутости формы ω имеет место представлениеω = ω0 + d(d∗ α).(35)kkРассмотрим отображение f : B → Ker D, f : ω 7→ ω0 (проекция подпространства B на первое слагаемое впрямой сумме). Очевидно, что это сюръективный гомоморфизм. Покажем, что Ker f = Z k . Пусть ω ∈ Ker f .Это в точности означает, что ω = 0 + d(d∗ α) ∈ Z k .

Наоборот, пусть ω ∈ Zk , то есть ω = dϕ. Тогда dϕ = ω0 + dd∗ α,откуда ω0 = d(ϕ − d∗ α) =: dµ. В силу свойств оператора D имеем d∗ ω0 = 0. Продифференцируем сопряжённымоператором полученное равенство для ω0 , получим что 0 = d∗ ω0 = d∗ dµ. Значит,0 = (µ, d∗ dµ) = (dµ, dµ),(36)откуда 0 = dµ = ω0 , то есть ω ∈ Ker f . По теореме о гомоморфизме Im f = Ker D ∼= B /Z . kkСледствие 4.1. dim Ker D = bk , где bk — k-мерное число Бетти.4.4.

Оператор ВиттенаПусть M — гладкое компактное замкнутое многообразие, и f : M → R — гладкая функция. В дальнейшеммы будем рассматривать функции Морса, но сейчас нам это не важно.Зафиксируем также число h > 0. Определим «подкрученные» операторы ff dh := h exp − d exp,dh : Λk → Λk+1 ,hh(37)f fd∗h := h expd∗ exp − ,d∗h : Λk → Λk−1 .hhЛегко проверить, что d2h = (d∗h )2 = 0:f f= 0.d2h = h2 exp − d2 exphh(38)По аналогии с пространствами B k и Z k для оператора внешнего дифференцирования определим пространстваBhk := ω ∈ Λk | dh ω = 0 , Zhk := ω ∈ Λk , ω = dh α , Hhk := Bhk /Zhk .(39)Утверждение 4.5.

Hhk = H k . Из вида оператора dh ясно, что в Bhk лежат такие формы ω, для которых d exp fh ω = 0. Поэтому Bhk = exp − fh B k . Но если ω ∈ Zhk , то есть ω = dh α, то имеем ff ff ω = h exp − d expα = exp − dβ, где β = h expα.hhhh А это значит, что Zhk = exp − hf Z k , откуда немедленно получаем наше утверждение. (40)Определение. Аналогом оператора Лапласа – Бельтрами является оператор Виттена:Dh := dh d∗h + d∗h dh .Перечислим некоторые свойства оператора Виттена:25(41)1◦2◦3◦4◦(Dh α, β) = (α, Dh β).(Dh α, α) > 0Dh α = 0 тогда и только тогда, когда dh α = d∗h α = 0.∼Ker Dh= H k.ΛkЭти свойства доказываются аналогично свойствам оператора Лапласа – Бельтрами.Ввиду громоздкости и недостатка времени, выкладки в этой теореме пока не проверены.Теорема 4.6. Оператор Dh «похож» на оператор Гамильтона, то естьDh = h2 D + (df, df )P + hR,(42)где R — тензорное поле (оператор нулевого порядка в смысле дифференцирования).

Введем для удобства следующие обозначения: ki α = dxi ∧ α и kf α = df ∧ α. В этих выкладках крышкаозначает пропуск множителя. Оператор k ∗ определим соотношением (k ∗ α, β) = (α, kβ). Получаемfffdh α = he− h (d(e h ∧ α + e h dα) = hdα + df ∧ α.То есть dh = hd + kf , и аналогично d∗h = hd∗ + kf∗ . ПолучаемDh = (hd + kf )(hd∗ + kf∗ ) + (hd + kf )(hd∗ + kf∗ ) = h2 D + (kf kf∗ + kf∗ kf ) + h(dkf∗ + kf d∗ + d∗ kf + kf∗ d).Итак, первая часть (h2 D) уже выделена. В дальнейшем нам понадобится явный вид kj∗ :kj∗ α = kj∗ (dxi1 ∧ . . .

∧ dxik ) =Xdis ∧ . . . ∧ dxik ).(−1)s+1 g jis (dxi1 ∧ . . . ∧ dxЭто равенство проверяется явно. Пусть α = dxi1 ∧ . . . ∧ dxik , β = dxm1 ∧ . . . ∧ dxmk−1 . Тогда(kj∗ α, β) = (α, kj β) = (α, dxj ∧ β).Правая часть по определению равна определителю матрицы jig 1...g jik g m1 i1. . . g m1 ik A=. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .g mk−1 i1 . . . g mk−1 ikЛевая часть(kj∗ α, β) =Xdis ∧ . . . ∧ dxik , dxm1 ∧ . . . ∧ dxmk−1 )(−1)s+1 g jis (dxi1 ∧ . . . ∧ dxНетрудно заметить, что это просто разложение определителя матрицы A по первой строке.Теперь мы готовы преобразовать второй член в выражении для Dh . Пусть сначала индекс i не входит взапись α = dxm1 ∧ . . . ∧ dxmk . ТогдаXms ∧ . .

. ∧ dxmk ) + k ∗ dxi ∧ dxm1 ∧ . . . ∧ dxmk .[(ki kj∗ + kj ki∗ )α = dxi ∧(−1)s+1 g jms (dxm1 ∧ . . . ∧ dxjТеперь, когда мы применяем kj∗ ко второму слагаемому мы можем вычеркнуть либо dxi , либо что-то еще. Легкопроверить, что если мы вычеркиваем что-то кроме dxi , то что остается сокращается с одним из слагаемых впервой сумме. В результате остается только g ji α.Если же dxi входит в α, то ki α = 0 и остается только слагаемоеXki kj∗ α = dxi ∧(−1)s+1 g js . . . .После приписывания dxi ненулевым останется только то слагаемое в сумме, в котором вычеркивается dxi , атогда снова получится g ji α.Получаем для интересующего нас оператораki kj∗ + kj∗ ki =Xg iji,j∂f ∂f= (df, df ).∂xi ∂xjДоказательство последнего утверждения (того что оператор R не является дифференциальным) снова сводится к некоторой выкладке.26[Потом эту выкладку таки надо написать, но сейчас на это нет времени]Основная идея в том, что можно переставлять внешнее дифференцирование и k, если действовать с точностью до недифференциального оператора.

После этого все должно получиться. Замечание. Если в некоторой карте метрика евклидова, то оператор R записывается так:X∂2f(ki kj∗ − kj∗ ki ).(43)∂xi ∂xjЭто следует из того, что ki имеет постоянные коэффициенты, а сопряженный оператор дифференцирования∂ ∗ = −∂.5. Доказательство неравенств Морса5.1. Обобщение теоремы об осцилляторном приближенииПусть M — компактное, гладкое, ориентируемое, n-мерное многообразие, f : M → R — функция Морса,P1 , . .

. , Pn — критические точки f .PВыберем в окрестности точек P морсовские координаты, то есть такие, что f (x) = f (Pj ) + εi x2i . В каждой(s)окрестности (можно считать, что они не пересекаются) зададим метрику gij = δij в координатах Морса.Зададим метрику на многообразии так, чтобы в окрестности критических точек она совпадала с g (s) . Этоможно сделать так: рассмотрим атлас U1 , . . . , UM , такой чтобы каждая критическая точка принадлежала толькоодной карте (можно считать, что Pi ∈ Ui , i < n).Щас, откуда тут i < n? Не понимаю! [В.М.]Тогда в первых n картах берем метрику g (s) , а в остальных — любую и склеиваем все с помощью разбиенияединицы.Оператор Виттена по предыдущему пункту имеет видDh = h2 D + (df, df ) + hR.(1)Отметим ряд фактов, которые нам понадобятся в дальнейшем.