А.И. Шафаревич - Геометрические структуры в квантовой механике, страница 4

Для урана это число очень велико и составляет примерно 4.5 миллиардалет. Энергия вылетающих при распаде частиц сильно зависит от периода полураспада.Энергия взаимодействия частицы и ядра зависит от расстояния. На частицу действуют как ядерные, так иэлектромагнитные силы. Но у ядерных сил очень маленький радиус действия, поэтому график потенциальногобарьера в реальности выглядит так:V (r)Eне улетелаулетелаr0rРис. 3. Потенциал в ядреС некоторой вероятностью частица всё-таки пролетает этот барьер (следствие туннельного эффекта). Это иесть радиоактивный распад.Рассмотрим некоторый пример.

Предположим, что потенциал V (x) имеет вид ступенчатой функции, равнойнулю вне отрезка [0, a], и равной V0 на этом отрезке. Запишем уравнение Шрёдингера:−h2 ′′ψ + V ψ = Eψ.2(36)Будем решать его отдельно на каждом отрезке. При этом хотелось бы, чтобы решение получилось достаточногладким, то есть на концах будем склеивать функцию и её производную.21◦ Пусть x < 0. Тогда − h2 ψ ′′ = Eψ, стало быть, ψ = eikx , где k 2 = 2Eh2 .2◦ Пусть x ∈ (0, a). Уравнение имеет вид:−h2 ′′ψ + V0 ψ = Eψ.2(37)Тогдаh2 ′′ψ = (E − V0 )ψ = −(V0 − E)ψ2(логично считать, что E < V0 , иначе частица пролетит беспрепятственно).

Получаем решение−ψ = Aeκx + Be−κx ,κ2 =2(V0 − E).h2(38)(39)Что касается решения на отрезке x < 0, то там оно имеет видαeikx+ βe−ikxα βM=.β α,(40)Выпишем условия совпадения функции и производной. Пусть x = 0. Тогда A + B = 1 и κ(A − B) = ik.Отсюда1ik1ikA=1+, B=1−.(41)2κ2κТеперь в точке x = a:(Aeκa + Be−κa = αeika + βe−ika ,κ (Aeκa − βe−κa ) = ik αeika − βeika .13(42)Помолившись, подставляем:κAeκa − Be−κa ,ikκAeκa − Be−κa .= Aeκa + Be−κa −ik2αeika = Aeκa + Be−κa +2βe−ika(43)Теперь подставим значения A и B в эти выражения, но ввиду их похожести напишем только одно из них.2αe−ika =Отсюдаκ + ik κ κa κ − ik κ −κa (κ + ik)2 κa (κ − ik)2 −κa1+e +1−e=e −e.2κik2κik2iκk2iκkα=1 −ikae(κ + ik)2 eκa − (κ − ik)2 e−κa .4ikκПоскольку вероятность перехода T =1,|α|2ahполучаемκ=rБудем считать, что ch κa ∼ sh κa ∼ eκaT ∼Обозначим σ(E) = 2(46)> 1.

Преобразуем T :1T =Теперь вспомним, что(45)16k 2 κ 2.(κ 2 − k 2 )2 sh2 (κa) + 4κ 2 k 2 ch2 (κa)T =В реальных физических системах(44)(κ 2 −k2 )24k2 κ 22sh (κa) + ch2 (κa)(47).p√2(V0 − E)2(V0 − E)2E=, k=.2hhh(в наших условиях ошибкой можно пренебречь). Тогда(48) ap=: b(E) · exp −22(V0 − E) .h+44e−2κa(κ 2 −k2 )24k2 κ 2(49)p2(V0 − E). Следовательно,∂T∂ET=∂∂ ln b(E) a ∂σln T =−.∂E∂Eh ∂E(50)Отсюда следует, что относительное изменение T велико.2.3.3. Резонансное туннелированиеМы уже говорили о том, что вероятность пролететь всегда есть, то есть T > 0. Так вот, покажем, что можнотак подобрать уровень энергии, что вероятность пролететь будет равна 1.

В рамках классической физики этоуже совсем странно. Как мы увидим, это связано с возникновением своего рода резонанса (отсюда и названиеэффекта).Допустим, что потенциал имеет вид V (x) = V0 (x) + V0 (x − a), где V0 — некоторая функция с компактнымносителем (пример изображён на рисунке).V (x)xРис. 4. График потенциалаПусть M0 — оператор монодромии для потенциала V0 .

Посмотрим, что происходит с ним после заменыпеременной.Рассмотрим уравнениеh2− ψx′′ x + V0 (x − a)ψ = Eψ.(51)214Делаем замену y = x − a, получаемh2 ′′ψ + V0 (y) = Eψ.2 yyf0 . Пусть M0 имеет матрицуПусть этому уравнению соответствует оператор Mα0 β 0.M0 =β0 α 0−С другой стороны,(54)M0 eikx · eika = α0 eikx e−ika + β0 e−ikx eika ,(55)f0 eikx = α0 eikx + β0 e2ika e−ikx .M(56)стало быть,f0 имеет видТаким образом, матрица Mf0 =Mα0β0 e2ikaβe−2ika.α0Ну, стало быть, общий оператор монодромии для двух волн будет просто произведение этих операторов:f0 M0 = α β ,M =Mβ α2A = α20 + |β0 | e−2ika ,2Поскольку R =|β|,|α|2(53)f0 eiky = α0 eiky + β0 e−iky ,Mпоэтомугде(52)B = α0 β 0 + α0 β 0 e−2ika .(57)(58)(59)нужно, чтобы β = 0 (то есть матрица M будет диагональной).

Значит, нужно, чтобыили, что то же самое,β 0 α0 eika + α0 e−ika = 0,Re α0 eika = 0.(60)(61)Так вот, можно показать (мы не будем здесь этого проделывать), что это уравнение имеет решение при некоторых a, и при этом уровень энергии будет меньше максимума V (x). При этом возникает примерно следующаяситуация: частица проваливается в яму между двумя волнами и начинает там болтаться, всё время отражаясь,и рано или поздно всё-таки пролетает вперёд.3. Квантовые осцилляторы3.1. Одномерный гармонический осцилляторСначала рассмотрим одномерную классическую систему — малые колебания математического маятника, тоесть материальной точки в поле силы тяжести, подвешенной на нерастяжимой нити.

Система уравнений длятакой системы имеет вид(ẋ = p,(1)ṗ = −ω 2 x.Она мгновенно интегрируется, и получается ответ x = A cos ωt + B sin ωt, а энергия системы — любое числоE > 0.В квантовой механике всё обстоит по-другому. Далее мы будем рассматривать квантовые маятники (или,как их принято называть, осцилляторы).153.1.1. Операторы жизни и смертиНайдём всевозможные значения энергии для квантовой системы. Через E будем обозначать множество допустимых уровней энергии, и будем говорить, что E — допустимый уровень энергии, если E ∈ E.Запишем оператор Гамильтона для гармонического осциллятора, имеющего потенциал x2 :22b = − h d + 1 ω 2 x2 .H2 dx22(2)Пусть ψ ∈ C∞ — произвольная ограниченная функция.Определение. Рассмотрим следующие операторы:ddba∗ := ωx − h, ba := ωx + h.dxdx(3)Они называются операторами рождения и уничтожения (соответственно).Утверждение 3.1.

Имеют место следующие коммутационные соотношения:b + hω,baba∗ = 2 Hb bH,a∗ = hωba∗ ,Доказательство состоит в прямом вычислении:b − hω,ba∗ ba = 2Hb bH,a = −hωba.(4)dddbaba u = ωx + hωx − hu = ωx + h(ωxu − hu) =dxdxdx∗b + hωu. (5)= ω 2 x2 −ωxhu′ + hωxu′ +hωu − h2 u′′ = 2Hu|{z}0Композиция в обратном порядке вычисляется аналогично.Теперь вычислим коммутаторы. Домножим первое равенство на ba∗ слева, второе равенство — на ba∗ справаи вычтем полученные соотношения друг из друга.b + hωbba∗ baba∗ = 2ba∗ Ha∗ ,b a∗ − hωbba∗ baba∗ = 2Hba∗ .Получим(6)b b0 = 2 H,a∗ − 2hωba∗ .(7)Второе соотношение доказывается аналогично. Утверждение 3.2.

Энергия системы не может быть меньше значения E0 := h2 ω, и E0 ∈ E тогда итолько тогда, когда существует ограниченное решение уравнения baψ0 = 0 класса C∞ .b Применим результат предыдущего утверждения к нашему оператору H:h∗ba baψ = 2Eψ − hωψ = 2 E − ω ψ.(8)2Домножим это уравнение на ψ и проинтегрируем по всей прямой:ZZZh2 E− ωψ 2 dx = ψba∗ aψ dx = (baψ)2 dx.2RТогдаE−RRR(baψ)2 dxh1ω= · R 2> 0.22ψ dxРавенство возможно только в том случае, когда baψ ≡ 0. Решим уравнение baψ0 = 0 (явный вид решения нам ещё пригодится):dψ0ωxψ0 + h=0dx⇔dψ0ωx= − ψ0dx2h16(9)⇔ωx2ψ0 = C0 exp −.2h(10)(11)Введём обозначение1.Em := hω m +2(12)Утверждение 3.3. Для любого m ∈ Z+ уровни энергии Em являются допустимыми, а функцииψm := cm · (ba∗ )m ψ0(13)b с собственными значениями Em .являются собственными для оператора H Пусть (ψ, E) — состояние системы.

Докажем, что (ba∗ ψ, E +hω) — будет состоянием, если только ba∗ ψ =6 0.b = Eψ. Мы знаем, чтоВ самом деле, пусть Hb bb a∗ ψ − bb = hωbH,a∗ ψ = Hba∗ Hψa∗ ψ.(14)b = Eψ, получаемТогда, перенося одно из слагаемых вправо и подставляя Hψb a∗ ψ) = (E + hω)(bH(ba∗ ψ).Значит, E1 = E0 + hω. Далее, имеемωx2ψ1 = ba ψ0 = 2ωx exp −6≡ 0.2h∗(15)(16)По индукции утверждение доказывается для любого m. Остаётся лишь заметить, что ψm 6≡ 0 при всех m,потому что при действии оператора рождения степень многочлена по x перед экспонентой будет всякий разувеличиваться на 1.

Утверждение 3.4. E = {Em | m ∈ Z+ }. Пусть (ψ, E) — состояние. Тогда, если baψ 6= 0, то (baψ, E − hω) — тоже состояние. Пусть E ∈ E. Будемприменять оператор уничтожения до тех пор, пока не дойдём до bam ψ = 0 (это случится, так как уровни энергииубывают как арифметическая прогрессия и ограничены снизу). Но это бывает лишь тогда, когда выполненоуравнение (11). b Это так называемые функции Чебышёва –Для полноты картины найдем собственные функции оператора H.Эрмита.ωx2ψ0 = c0 · exp −,2hωx2,ψ1 = c1 · (2ωx) exp −2hωx2(17)ψ2 = c2 · (2ω 2 x2 − hω) exp −,2h···ψmωξ 2x= cm Pm (ξ) exp −, где ξ = √ .2h3.1.2.

Алгебраическая суть происходящегоdРассмотрим алгебру, порождённую операторами 1 (тождественный оператор), xb, pb := −ih dxи их коммутаторамиh := h1, xb, pbi .(18)Это, как легко видеть, трёхмерная алгебра Ли. Она называется алгеброй Гейзенберга. Она разрешима, так как[bx, 1] = [bp, 1] = 0, а [bx, pb] = −ih · 1, то есть h′ = h1i.b Получим четырёхмерную алгебруДобавим к этой алгебре ещё и оператор H.b bq := H,a, ba∗ , 1 ,(19)называемую алгеброй Ли квантового осциллятора.173.2. Многомерный гармонический осцилляторСейчас мы будем делать то же самое, что и в предыдущем параграфе, но уже в многомерном случае. Какобычно, сначала рассмотрим классическую систему в фазовом пространстве R2n (x, p) с гамильтонианомH(x, p) =1 2 1p +x, Ω2 x .22(20)Здесь Ω2 — симметрическая положительно определённая матрица.

Уравнения такие:(ẋi = p,(i = 1, . . . , n).ṗi = −Ω2 x,(21)Соответствующая квантовая задача выглядит так:2b = − h ∆ + 1 (x, Ω2 x).H22(22)Нас интересуют решения стационарного уравнения Шредингераb = Eψ,Hψ(23)bто есть собственные значения и собственные функции оператора H.Для удобства перейдем в систему координат y, связанную с главными осями формы Ω, то есть в такуюсистему координат, в которой форма Ω2 имеет диагональный вид diag(ω12 , .