А.И. Шафаревич - Геометрические структуры в квантовой механике, страница 3

— Прим. наб.7\2◦ [fb, gb] = −ih{f,g} + O(h2 ). Докажем, что справедливы равенстваДля первого равенстваbc − ih ∂ F ,pbFb = pF2 ∂xbihc + ∂F .Fb pb = pF2 ∂x! XkN ∂x+y∂−ihFku(x).pbFbu = −ih∂x∂x2y=x(30)(31)(32)k=0Обозначая сумму в правой части через функцию ϕ, получаем−ih∂ϕ∂yy=x− ih∂ϕ∂xy=x=−ih ∂ Fbc u.u + pF2 ∂x(33)Второе равенство доказывается аналогично.Далее для доказательства утверждения рассмотрим моном f = pm f0 (x). Доказательство будем проводитьиндукцией по m. База рассмотрена выше. Теперьfbgb = pcϕbg = pbϕbbg + O(h).(34)pbϕcg + O(h) = pϕgd + O(h) = fcg + O(h).(35)По предположению индукции получаемДля доказательства второго утверждения придётся долго и мучительно считать коммутатор:ihihϕbx bg−bgpbϕb − gbϕbx = {индукция} = pbϕbbg − bgpbϕb + O(h2 ) =22= pbϕbbg − pbbgϕb + pbgbϕb − gbpbϕb + O(h2 ) = pb [ϕ,b gb] + [bp, gb] ϕb + O(h2 ) =\\= −ihbp{ϕ,g} − ih{p,g}ϕb + O(h2 ) = −ih p\{ϕ, g} + ϕ\{p, g} + O(h2 ).[cpϕ, gb] = pcϕbg−bgpcϕ = pbϕbbg +Осталось проверить, что{f, g} = fp gx − fx gp = ϕgx + pϕp gx − pϕx gp = p {ϕ, g} + ϕ {p, g} ,(36)(37)отсюда всё следует.

Итак, имеет место квантовый аналог скобки Пуассона:ib \fb, gb кв. =f, bg = {f, g} + O(h).h(38)1.4. Многомерный случайДля полноты картины мы рассмотрим классические и квантовые системы в многомерном фазовом пространстве. Здесь всё по сути аналогично. Начнём, как обычно, с классических систем.Пусть x = (x1 , .

. . , xn ) ∈ Rn , p = (p1 , . . . , pn ) ∈ Rn , таким образом, мы имеем дело с фазовым пространствомразмерности 2n. Точно так же вводится и функция Гамильтона H, для которой выполнены уравненияẋ = Hp ,ṗ = −Hx(39)(естественно, что частная производная по векторной переменной — это вектор, составленный из частных производных по каждой координате). Совершенно аналогично получаемf˙ = {H, f } =nXj=1Hpj fxj − fpj Hxj .8(40)Пусть y ∈ R2n . Как и в одномерном случае, рассмотрим формуω=nXj=1(41)dpj ∧ dxj .Функции f сопоставим векторное поле vf так, чтобы(42)ω(ξ, vf ) = df (ξ).Выпишем заодно и формулу Вейля:f (x, p) =Xkfk (x)pk 7→ fbu(x) =k X∂x+yfku(x).−ih∂x2y=x(43)kЗдесь k ∈ Zn+ , pk := pk11 .

. . pknn .Что касается оператора Гамильтона и уравнения Шрёдингера, то они совсем похожи на одномерные.2ihb = − h ∆ + V (x),H2(44)∂ψh2= − ∆ψ + V (x)ψ.∂t2(45)2. Одномерные квантовые системыс постоянной энергией2.1. Задача о квантовых спектрахРассмотрим стационарное уравнение Шрёдингера (напомним, что это случай, когда E = const), и уравнениеимеет видb = Eψ.Hψ(1)Будем рассматривать пространство L2 (Rn ).

Чтобы понять, какие значения энергии допустимы, нам фактическиb При этом на самом деле достаточно ограничиться2нужно определить спектр (неограниченного) оператора H.гладкими функциями ψ. Это и есть так называемая задача о квантовых спектрах. Мы займёмся вычислениемспектров несколько позже, а пока рассмотрим одномерный случай, и посмотрим, что бывает, когда частицапытается преодолеть потенциальный барьер.2.2.

Оператор монодромии2.2.1. Классический случайРассмотрим одномерную классическую систему с гамильтонианомH=1 2p + V (x).2(2)Будем далее считать, что supp V компактен, иначе говоря, функция V тождественно равна нулю вне некоторогоотрезка [a, b]. Ясно, что если энергия тела превосходит максимум потенциальной энергии V , то оно можетдвигаться по всей прямой, если же энергия тела меньше, то оно заведомо не может двигаться по всей прямой.V (x)vabРис. 2.

Частица, влетающая в поле2 Скореевсего, потому что они там плотны. — Прим. наб.9x2.2.2. Квантовый случайВ квантовом случае ситуация принципиально другая. Рассмотрим аналогичную квантовую систему с гамильтонианом22b = − h ∂ + V (x).(3)H2 ∂x2Стационарное уравнение Шрёдингераb = EψHψ(4)является линейным дифференциальным уравнением второго порядка, значит, имеет двумерное пространстворешений. Вопрос только в том, ограничены ли они.Пусть ψ1 и ψ2 — это базис в пространстве решений уравнения Шрёдингера.

Пусть x < a, тогда V ≡ 0 притаких x. Уравнение в этом случае примет вид−поэтому при E > 0, полагая k 2 =2Eh2 ,h2 ′′ψ = Eψ,2(5)получаем решения видаψ = C1 cos kx + C2 sin kx.(6)Зафиксируем теперь некоторое E > 0. Рассмотрим два пространства: L — пространство решений уравненияШрёдингера, и L0 — пространство решений при V ≡ 0. Можно определить два оператораB± : L → L0 ,(7)действующих по таким правилам: B+ отображает функцию ψ в такую функцию u, что ψ = u правее точки b.

Оператор B− отображает ψ в такую функцию v, что ψ = v левее точки a. Из теоремы существованияи единственности следует, что операторы B± являются изоморфизмами линейных пространств. Из этих двух−1операторов можно сконструировать оператор M := B+ B−, действующий в L0 .Определение. Оператор M называется оператором монодромии уравнения Шредингера.Введем в пространстве L0 базис e1 = sin kx, e2 = cos kx.

Тогда для любых функцийξ = ξ1 e1 + ξ2 e2 ,η = η1 e1 + η2 e2(8)определим кососимметрическую форму [ξ, η] := ξ1 η2 − ξ2 η1 .2.2.3. Свойства оператора монодромииУтверждение 2.1. Оператор M сохраняет форму [·, ·], то есть [ξ, η] = [M ξ, M η]. Пусть ψ1 , ψ2 ∈ L. Рассмотрим выражение [ψ1 , ψ2 ]L := ψ1 ψ2′ − ψ2 ψ1′ . Это определитель Вронского Wфункций ψ1 и ψ2 . Покажем, что его значение не зависит от точки.

Действительно, имеемh2 ′′ψ + V ψ1 = Eψ1 ,2 1h2− ψ2′′ + V ψ2 = Eψ2 .2−(9)Домножим первое уравнение на ψ2 , второе на ψ1 и вычтем одно из другого. Получим ψ1′′ ψ2 − ψ1 ψ2′′ = 0. Ноddψ1′′ ψ2 − ψ1 ψ2′′ = dx(ψ1 ψ2′ − ψ1′ ψ2 ), то есть мы доказали, что dxW ≡ 0, значит, W = const.Раз W не зависит от точки, мы будем считать его в той точке, в которой нам это удобно. А именно, посчитаемего при x < a.ψ1 , ψ2L= ξ ′ η − η ′ ξ = −(−ξ1 k sin kx + ξ2 k cos kx) · (η1 sin kx + η2 cos kx)−− (−η1 k sin kx + η2 k cos kx) · (ξ1 sin kx + ξ2 cos kx) = −k(ξ1 η2 − ξ2 η1 ) = −k [ξ, η] .

(10)С другой стороны, в любом случаеB− ψ1 = ξ1 cos kx + ξ2 sin kx,B− ψ2 = η1 cos kx + η2 sin kx.Таким образом, получаем−1ψ1 , ψ2 L = [B− ψ1 , B− ψ2 ] .k10(11)(12)Аналогично получаем−Тогда1ψ1 , ψ2 L = [B+ ψ1 , B+ ψ2 ] .k1 −1−1−1−1[M ξ, M η] = [B+ B−ξ, B+ B−η] = − [B−ξ, B−η] = [ξ, η],kчто и требовалось доказать. (13)(14)Определение. Оператор называется симплектическим, если он сохраняет форму [·, ·]. Множество симплектических операторов в R2 обозначают Sp(1).Утверждение 2.2. Sp(1) = SL(2, R).

Можно записать [ξ, η] в виде 0 1η1(ξ1 , ξ2 ).−1 0η2Таким образом, сохранение кососкалярного произведения равносильно тому, что0 10 1AAT =.−1 0−1 0Пусть A = ac db . Перемножив матрицы в левой части, получим0ad − bc.bc − ad0(15)(16)(17)Отсюда ad − bc = 1, то есть A ∈ SL(2, R). Для тех, кто не любит`´ матричный язык, а любит возиться с индексами, можно привести другое доказательство. Пусть A —оператор с матрицей ac db . ТогдаAξ = (aξ1 + bξ2 )e1 + (cξ1 + dξ2 )e2 ,(18)Aη = (aη1 + bη2 )e1 + (cη1 + dη2 )e2 .Значит,[Aξ, Aη] = (aξ1 + bξ2 )(cη1 + dη2 ) − (cξ1 + dξ2 )(aη1 + bη2 ) = (ad − bc)(ξ1 η2 − ξ2 η1 ) = det A · [ξ, η].(19)Таким образом, сохранение кососкалярного произведения равносильно тому, что det A = 1.Впрочем, синусы и косинусы — это не самый удобный базис для нас.

Гораздо лучше использовать комплексные экспоненты. Решение eikx стационарного уравнения Шрёдингера соответствует частице, которая летитсправа, а решение e−ikx — частице, которая летит слева.Можно рассмотреть комплексификацию пространств L и L0 и там ввести базисf1 := e1 + ie2 ,f2 := e1 − ie2 .(20)1Рассмотрим форму hξ, ηi := 2i[ξ, η].Утверждение 2.3. h·, ·i — это эрмитова форма сигнатуры (1, 1). Для исходного базиса (e1 , e2 ) имеют место очевидные соотношения[e1 , e1 ] = [e2 , e2 ] = 0,[e1 , e2 ] = −[e2 , e1 ] = 1,(21)откудаhf1 , f1 i =11[f1 , f 1 ] = [e1 + ie2 , e1 − ie2 ] = −1,2i2i1hf2 , f2 i = [f 1 , f1 ] = 1,2i1hf1 , f2 i = [f1 , f1 ] = 0,2i(22)(23)(24)откуда следует, что базис (f1 , f2 ) является ортонормированным для формы [·, ·].

Далее,hξ, ηi =11[ξ, η] = − [η, ξ] = hη, ξi,2i2i(25)и мы доказали, что форма эрмитова. Определение. Оператор называется (1, 1)-унитарным, если он сохраняет форму h·, ·i. Множество (1, 1)-унитарных операторов в C2 обозначают U(1, 1).11Утверждение 2.4. Для групп Sp(1), U(1, 1) и GL(2, R) справедливы следующие включенияSp(1) ∩ GL(2, R) ⊂ U(1, 1),U(1, 1) ∩ GL(2, R) ⊂ Sp(1),U(1, 1) ∩ Sp(1) ⊂ GL(2, R). Первые два включения следуют из того, что сохраняются формы h·, ·i и [·, ·]. Для того, чтобы доказать третье включение, достаточно проверить, что Aξ − Aξ = 0 (это означает, что матрица A на самом делевещественная).

Действительно,[Aη, Aξ − Aξ] = [Aη, Aξ] − [Aη, Aξ] = [η, ξ] − 2i hAη, Aξi = [η, ξ] − [η, ξ] = 0,(26)что и требуется. Определение. Пересечение всех трёх групп называется специальной (1, 1)-унитарной группой и обозначается SU(1, 1).2.3. Физическая интерпретация оператора монодромии2.3.1. Вероятности прохождения и отраженияМы рассматривали оператор монодромии M .

Посмотрим, как выглядит его матрица в эрмитовом базисе(f1 , f2 ), где f1 = eikx , f2 = e−ikx , а k — константа, такая что k 2 = 2Eh2 . Пусть M f1 = αf1 + βf2 , тогда, очевидно,M f2 = M f 1 = βf1 + αf2 . Стало быть, матрица оператора монодромии в этом базисе имеет видα βM=,(27)β α22а условие сохранения эрмитовой формы даёт уравнение |α| − |β| = 1. Из этого условия, кстати, сразу ясно,что α 6= 0.

Попробуем придать физический смысл коэффициентам α и β.Рассмотрим такое уравнение для ψ(x, t):(tf1 ,x > b,ψ(x, t) =(28)f1 + rf2 , x < a.Выразим коэффициенты t и r через оператор монодромии. По определению имеемM (f1 + rf2 ) = αf1 + βf2 + rβf1 + rαf2 = tf1 .(29)Приравнивая коэффициенты при f1 и f2 , получаемβr=− ,α1|β|2t = α + rβ = α −= .ααТеперь заметим, что22|t| + |r| =12|α|+|β|22|α|= 1,(30)(31)(32)Теперь положим T := |t|2 , R := |r|2 . Обозначения T и R происходят от слов transition (прохождение) иreflection (отражение). Число T выражает вероятность того, что частица пролетит сквозь потенциальный барьер, а R — вероятность того, что она отразится.

Заметим, что T > 0, то есть даже при малой энергии естьшанс пролететь. И наоборот, если β 6= 0, то даже при большой энергии есть шанс отразиться. Эти эффектыназываются соответственно туннельным эффектом и надбарьерным отражением.2.3.2. Радиоактивный распад (α-распад)Рассмотрим распад радиоактивного урана. Ядро распадается, и из него вылетают α-частицы (ядра атомагелия He+ ). Экспоненциальный закон радиоактивного распада гласит: за равные промежутки времени отношение количества распавшихся ядер к количеству всех ядер постоянно. Обозначим через N (t) количество ядер вмомент времени t.

ТогдаN (t) − N (t + ∆t)= β · ∆t.(33)N (t)12Здесь β — некоторая константа. Переходя к пределу при ∆t → 0, получаем уравнение−Ṅ= β,N(34)откудаN (t) = Ce−βt .(35)Обычно используются такие обозначения: N0 := C и τ = β1 . Число N0 — это начальное количество ядер, а τпропорционально периоду полураспада.