А.И. Шафаревич - Геометрические структуры в квантовой механике, страница 7

Во-первых, число нулевых собственных значений(с кратностями), то есть размерность ядра Dh , рассматриваемого на k-формах равна k-мерному числу Бетти.Во-вторых, для функции V = P(df, df ) глобальнымиминимумами являются критические точки функции f .PИ вблизи критических точек V = fx2i = 4 x2j .Мы хотим воспользоваться теоремой об осцилляторном приближении, но мы находимся в несколько другойситуации. Для того, чтобы свести ее к уже изученной, докажем следующее утверждение:Утверждение 5.1. Пусть2b = − h ∆ + V (x) + hR(x),(2)H2причем первые два слагаемых — дифференциальные операторы, не перемешивающие координат, а последнее —b 0 — оператор, получающийся из Hb отбрасыванием R и приближенедифференциальный оператор.

Пусть Hнием V до второй производной. Если ϕ — собственный вектор, а µ — соответствующее собственное числооператора R(x0 ) и E = Em + hµ, то для функции ψ = ϕψm имеет место соотношениеb − Eψ = o(h).Hψ(3)b = (Em + hµ)ϕψm + ψm (W ϕ + hR1 ϕ) = (Em + hµ)ϕψm + o(h).Hψ(4)b заменяя R(x) на R(x0 ) + R1 . ПолучимРаспишем H,Здесь мы воспользовались леммой, которую доказывали в самом начале (о норме функции вида kz s uk) и тем,что W — хвост дифференциального оператора — имеет порядок малости O(x − x0 )3 , а R1 = O(x − x0 ).

Сформулируем (снова без доказательства) утверждение наподобие теоремы об осцилляторном приближении:Теорема 5.2 (Аналог теоремы об осцилляторном приближении). Пусть V (x) — гладкая функция,имеющая N точек глобального минимума x(1) , . . . , x(N ) . Рассмотрим операторыb (i) = − h ∆ + V (x(i) ) + 1 x − x(i) , V ′′ x(i) (x − x(i) ) + hR(x(i) ).H022(i)(5)и их собственные числа Em .

Упорядочим все собственные числа по возрастанию с учетом кратности. Пустьвне некоторого компакта V (x) > V0 + δ. Тогда для любого M ∈ N при достаточно малых h существует поb причем Ek − Ek = o(h).крайней мере M собственных чисел Ek оператора H,275.2. Собственно доказательство неравенств МорсаРассмотрим более подробно оператор R. Как уже упоминалось, если метрика евклидова, он имеет видX ∂2f(ki kj∗ − kj∗ ki ).∂xi ∂xjВ нашем случае (в координатах Морса) получается, чтоR = −2kXj=1(kj kj∗ − kj∗ kj ) + 2nXj=k+1(kj kj∗ − kj∗ kj ).(6)(7)Заметим, что собственными функциями для операторов kj kj∗ − kj∗ kj являются мономы dxi1 ∧ . . . ∧ dxit .

Будемдля краткости обозначать их dxI , где I обозначает набор (i1 , . . . it ). Легко проверить, что(dxI ,j∈I∗∗I(8)(kj kj − kj kj ) dx =I−dx , j ∈/ I.Это значит, что R dxI = µ dxI иµ = 2(#(I ∩ J) + #(I ∩ J) − #(I ∩ J) − #(I ∩ J)),(9)где J = (1, . . . , k).Теперь суммируем все вышесказанное.

Мы хотим минимизировать собственные значения оператораb 0 = − h ∆ + V (xj ) + 1 4(x − xj )2 + hR(xj ).H(10)22PСобственные значения равны E =h(2mi + 1) + h µ2 . Ясно, что нужно взять mi = 0, а для того чтобы минимизировать µ, нужно, чтобы J=I. В этом единственном случае энергия равна 0. Все остальные уровни энергиибольше, чем o(h). Если мы рассматриваем k-формы, то нулевое значение энергии может быть только если индекс критической точки равен k. Это значит, что число собственных значений оператора Виттена порядка o(h)равно mk (если рассматривать оператор на k-формах).Итак, оператор Виттена на k-формах имеет собственное значение 0 кратности bk и имеет mk собственныхзначений порядка o(h).

Отсюда немедленно следует первое из неравенств Морса:(11)mk > b k .Для доказательства оставшихся двух неравенств рассмотрим следующую конструкцию. Рассмотрим ненулевые собственные значения порядка o(h). Обозначим через Mk отвечающее им подпространство.Ясно, чтоL kdim Mk = mk − bk . Рассмотрим оператор Th := dh + d∗h . Он действует в прямой суммеΛ . Имеем Th2 = Dh . Этозначит, что этот оператор коммутирует с оператором Виттена, а значит сохраняет собственные подпространства,Th : Mk → Mk−1 ⊕ Mk+1 .В пространстве Mk у оператора Th нет ядра.

Введем обозначенияMMM+ =Mk , M − =Mk .k=2l(12)(13)k=2l−1Ясно, что Th переставляет M + и M − . Из отсутствия ядра получаем, что dim M + = dim M − . Заменяем dim Mkна mk − bk и переносим mk в одну сторону, а bk в другую. Получаем второе соотношение Морса (теорема Морсаоб индексе):XX(−1)k mk =(−1)k bk .(14)Для доказательства сильного неравенства Морса рассмотрим действие оператора ThTh : M0 ⊕ · · · ⊕ M2s → M1 ⊕ · · · ⊕ M2s+1 .(15)Соответственно, для размерностей получаем такое соотношение:m0 − b0 + m2 − b2 + · · · + m2s − b2s 6 m1 − b1 + · · · + m2s+1 − b2s+1 .(16)Аналогично проводим рассуждения для отображенияTh : M1 ⊕ · · · ⊕ M2s−1 → M0 ⊕ · · · ⊕ M2s(17)и получаем сильное неравенство МорсаkXk−j(−1)mj >j=0kXj=028(−1)k−j bj .(18).