А.И. Шафаревич - Геометрические структуры в квантовой механике, страница 2

Теория чёрного излученияЭто не экспериментальный факт, а именно некоторая математическая модель.Пусть имеется ящик, на стенках которого поддерживается постоянная температура T . Будем наблюдать затем, сколько энергии поглощается, и сколько отражается, если на этот ящик долго светить.R∞Пусть u(ω) — плотность энергии (в зависимости от частоты). Тогда E = u(ω) dω.0Сформулируем некоторые физические законы, действующие в этой ситуации:1◦ Закон Кирхгофа гласит, что отношение поглощающей (C) и излучающей (R) способностей тела есть некаяфункция от температуры:R= F (T ).(2)CЕсли тело абсолютно чёрное (то есть поглощает 100% излучения), то C = 1, Следовательно, излучающая способность, а значит, и плотность энергии и сама энергия суть функции только температуры T2◦ Закон Стефана – Больцмана утверждает, что E = c · T 4 , где c — константа.3◦ Закон Ви́на утверждает, что плотности распределения энергии по частотам имеет достаточно специфичный вид, а именно имеется максимум в некоторой точке ω0 , причём ωT0 = const, иω ω 3 ω u(ω) = ω 3 f= T3f.(3)TTTuω0ωРис.

1. Распределение энергииТогдаZ∞Z∞ ωω4fdω = Tx3 f (x) dx.E=TTT3004(4)Отметим также, что закон Стефана – Больцмана следует из закона Вина, так как интеграл в правой частиравенства и есть константа c.4◦ Закон Релея – Джинса связан с подсчётом энергии в колебательном контуре и основан на предположении,что система излучает как система заряженных маятников. Статистическая физика дала следующий результат:u(ω) = ω 2 ε, где ε — средняя энергия.εВ рамках статистической физики можно показать, что вероятность того, что энергия равна ε, равна e− kT ,где k — константа Больцмана (эту величину нужно дополнительно нормировать, чтобы интеграл от плотности1вероятности был равен 1). Тогда, обозначая β := kT, имеемε=R∞εε exp − kT0R∞0εexp − kTdε=dεR∞ε exp (−βε) dε0R∞exp (−βε) dεdln=−dβZ∞0e−βε dε = −d11ln = .dβ ββ(5)0. Это согласуется с законом Вина в томR∞смысле, что функция имеет нужный вид, но, однако, не имеет максимума, и u(ω) dω = ∞.

Это явлениеТаким образом, ε = kT , а значит, u(ω) = ω 2 kT B = kBω 3Tω0называется ультрафиолетовой катастрофой и говорит о том, что теория Релея – Джинса не работает прибольших частотах, и чёрное тело на самом деле излучает по-другому.1.2. Гипотеза Планка и квантовая теория1.2.1.

Объяснение фотоэффекта и эффекта КомптонаПланк высказал гипотезу о том, что значения энергии — это некоторое дискретное множество, то есть0,ε0 ,2ε0 ,3ε0 , . . .(6)Тогда заменим интеграл суммой:ε=∞Pn=1∞Pnε0 e−βnε0n=1ε0 e−βnε0=−∞Xdd1dε0ε0lne−nβε0 = −ln=ln 1 − e−βε0 = βε0= 1ε.0dβ n=1dβ 1 − e−βε0dβe−1kTe−1(7)Поймём, почему в этом случае не возникает ультрафиолетовой катастрофы.

Действительно, полагая Ec0 =hω, имеемBhω 3ε0u(ω) = Bω 2 ε0= hω.(8)e kT − 1e kT − 1Отметим также, что эта функция имеет вид u(ω) = ω 3 f Tω . Здесь уже всё хорошо, поскольку экспонента взнаменателе не доставит проблем при интегрировании. Более того, при малых частотах знаменатель близок кhωвеличине kT, и мы получаем формулу Релея – Джинса.Мораль: энергия излучается порциями, пропорциональными ε0 , причём ε0 = hω.Планк предложил рассматривать свет одновременно как волну вида ei(kx−ωt) , и как частицу с энергиейE = hω и импульсом p = hk. Здесь k — это так называемое волновое число, которое пропорционально λ1 , гдеλ — длина волны.Теперь можно легко объяснить фотоэффект и эффект Комптона.

Из формулы для энергии явно следует,что она пропорциональна именно частоте, а не интенсивности, поэтому, если энергия достаточно велика, то изметалла выбивается электрон с энергией E = hω − A, где A — работа выхода. Если ω столь мало, что энергияменьше работы выхода, электрон не вылетает из металла, а энергия фотона равномерно распределяется по всемэлектронам, так что энергия каждого электрона почти не меняется. Это и есть «красная граница» фотоэффекта.Эффект Комптона связан с тем, что частица, отражающаяся от слоя парафина, оставляет в нём часть своейэнергии, а потому у отражённой частицы должна уменьшиться частота.1.2.2.

Волны де Бройля, оператор Гамильтона и уравнение ШрёдингераВернёмся к функцииψ0 = ei(kx−ωt) .(9)Видно, что эта функция несёт в себе информацию и об энергии, и об импульсе, потому что−ih∂ψ0= pψ0 ,∂x5(10)∂ψ0= Eψ0 .(11)∂tДе Бройль предположил, что состояние каждой частицы можно описать с помощью функции ψ(x, t) (котораяназывается состоянием), при этом энергией и импульсом называются соответствующие частные производныепо x и по t. Таким образом, в квантовой системе энергия и импульс — это некоторые дифференциальныеоператоры.

Функции вида (9) называются волнами де Бройля.Сначала рассмотрим некоторые наводящие соображения. Рассмотрим классическую схему, в которой V (x) —это потенциальная энергия, и имеет место закон сохранения энергии (считаем, что m = 1)ihE=1 2p + V (x).2(12)А теперь заменим в ней классические функции на операторы, соответствующие энергии и импульсу в квантовой системе.

Получаем операторное уравнение (операторы, естественно, применяются к состоянию, то есть кнекоторой функции ψ):2∂1∂h2 ∂ 2 ψih ψ =ihψ + V (x)ψ = −+ V (x)ψ.(13)∂t2∂x2 ∂x2Оператор22b := − h ∂ + V (x)H2 ∂x2называется оператором Гамильтона. Мы получаем так называемое уравнение Шрёдингера:ihЕсли задать некоторое начальное состояние∂ψb= Hψ.∂t(15)= ψ0 ,ψ(14)(16)t=0то получаем задачу Коши.

Заметим, что если V ≡ 0, то решением этой задачи будут в точности функции типаволн де Бройля.Коль скоро мы работаем только с энергией и импульсом, логично переписать формулу для функции ψ0 так,чтобы в неё входили только константы и величины, выражающие энергию и импульс. Это легко сделать:iψ0 (x, t) = ei(kx−ωt) = e h (px−Et) .(17)∂Предположим теперь, что энергия E частицы постоянна, то есть оператор ih ∂tскалярен. Обозначим егочерез E. Тогда получаем уравнение∂ψih= Eψ,(18)∂tтогда уравнение Шрёдингера превращается в уравнениеb = Eψ.Hψ(19)Это уравнение называется стационарным уравнением Шрёдингера.1.3.

Классическая и квантовая системыСейчас мы сравним классическую и квантовую модели.1.3.1. Классическая системаМы рассмотрим классическую систему в одномерном случае (нам этого вполне хватит). Состояния системы —это точки (x, p) двумерного фазового пространства R2 . Наблюдаемые — это функции f (x, p). Для того, чтобыопределить динамику точки, вводится функция Гамильтона H(x, p), а уравнения движения записываются так:ẋ = Hp ,ṗ = −Hx .(20)Эти уравнения называются уравнениями Гамильтона. Для произвольной наблюдаемой функции f (x, p) имеемf˙ = fp ṗ + fx ẋ = fx Hp − Hx fp =: {H, f } .Выражение {H, f } называется скобкой Пуассона наблюдаемой f и функции Гамильтона.6(21)Вообще говоря, скобку Пуассона двух функций f и g можно определить так.

Рассмотрим кососимметрическую 2-форму ω = dp ∧ dq. Тогда скобка Пуассона определяется формулой{f, g} = ω ij fxi gxj .(22)Иначе говоря, каждой функции на многообразии M = R2 мы сопоставляем векторное поле vf (гамильтоновополе), тогда ω(ξ, vf ) = df (ξ). Здесь vf = (Hp , −Hx ). Если y ∈ R2 , то ẏ = vH (y). Определим теперь {f, g} = ∂v∂f g,тогда f˙ = {H, f }.

Это выражение называется уравнением Лиувилля в классической механике.Теперь перейдём к построению квантового аналога этой системы.1.3.2. Квантовая системаСостояниями будут функции ψ(x, t), а наблюдаемыми — операторы∂f (x, p) = fb x, −ih.∂x(23)Для простоты ограничимся функциями f , которые по переменной p являются многочленами, то есть имеют видf=NXk=0∂fk (x) −ih∂xk.(24)Однако имеется проблема, связанная с тем, что умножение на x (и тем более на гладкую функцию, зависящуюот x) не коммутирует с оператором дифференцирования по x, поэтому операторыk∂fk (x) −ih∂xk=0NkX∂fb− =−ihfk (x)∂xfb+ =NX(25)(26)k=0не совпадают между собой.

В реальности используется нечто среднее между этими двумя операторами, называемое оператором Вейля:k N X∂x+ybfu =−ihfku(x).(27)∂x2y=xk=0Как и в классической механике, достаточно зафиксировать оператор Гамильтона, чтобы вся динамика ужеоднозначно определялась. После этого пишем уравнение Шрёдингера, и тогда, если fb — наблюдаемая, тоihЗначит,∂ b∂ fb∂ψf ψ = ih ψ + fbih.∂t∂t∂t(28)∂ b b b b b b bf = H f − f H = H, f .(29)∂tКвадратными скобками обозначен обычный коммутатор [A, B] = AB − BA.Рассмотрим L — множество классических наблюдаемых.

Это множество является линейным пространством.На этом множестве можно ввести две операции:1◦ Умножение. Относительно этой операции множество L образует коммутативную алгебру.2◦ Взятие скобки Пуассона. Относительно этой операции множество L образует алгебру Ли1 .b также является линейным пространством.

На нем можно аналогичноМножество квантовых наблюдаемых Lввести две операции:b образует некоммутативную алгебру.1◦ Умножение. Относительно этой операции множество L2◦ Коммутатор (он является аналогом скобки Пуассона). Относительно этой операции множество L образует алгебру Ли.Итак, каждой функции f сопоставляется оператор fb. Можно рассмотреть предел при h → 0. Такой переходназывают квазиклассическим пределом.Утверждение 1.1. Для любых функций f и g справедливы равенства:1◦ fbbg = fcg + O(h).ih1 Интересующиесямогут прочесть про алгебры Ли, например, в [2].