KT-18 (Лекции), страница 2

Если не предполагать, что по последней координате компонента единичная, тополучим векторное поле коллинеарное (пропорциональное) Гамильтоновому.Сформулируем несколько следствий из Леммы 1.Следствие 1. Пусть γ 0 - замкнутая кривая в расширенном фазовом пространстве.

При сдвигевдоль траекторий уравнений Гамильтона мы получим некую поверхность – трубку траекторий.Пусть γ замкнутая, охватывающая эту трубку траекторий так, что γ 0 и γ составляют край поверхности трубки σ между ними. Тогда∫ ( pdq − Hdt ) − ∫γ ( pdq − Hdt ) = 0γ0Действительно, по теореме Стокса эта разность равна∫σ d ( pdq − Hdt ) , где σ- участок боковой по-верхности. Он двумерный, причем в любой точке касательная плоскость содержит аннулятор vH подинтегральной формы. Значит интеграл равен нулю.Доказательство завершено.Пусть g τ - сдвиг вдоль решений системы с гамильтонианом H (q, p, t ) :g τ (q(t ), p(t ), t ) = (q (t + τ ), p(t + τ ), t + τ )18-Гамильтонова механика I-6для любого решения (q (t ), p (t )) . Отметим, что g τ действует в расширенном фазовом пространстве.Следствие 2. Пусть γ - замкнутая кривая в расширенном фазовом пространстве. Тогда∫γ ( pdq − Hdt ) = ∫ ( pdq − Hdt )(*)g τ (γ )Это частный случай Следствия 1.В обычном фазовом пространстве определена 1-форма pdq .

Она называется интегральныминвариантом Пуанкаре. Это название объясняет следующее следствие.Следствие 3. Пусть γ * - замкнутая кривая в обычном фазовом пространстве, определенная внекий момент времени t0 . Тогда∫ pdq = ∫ pdqγτ*(**)*g (γ )Доказательство. Пусть кривая (q( s ), p( s )) - параметрическое задание кривой γ * .

Тогда(q( s ), p ( s ), t0 ) можно рассматривать как параметрическое задание замкнутой кривой γ в расширенном фазовом пространстве. Для нее выполнено (*). Но на γ имеем t = t0 = const и на g τ (γ ) имеемt = t0 + τ = const . Поэтому при интегрировании будет Hdt ≡ 0 и , значит будет выполнено.(**). Доказательство завершено.Задача. Сохранятся ли доказанные утверждения если на замкнутый контур попала особаяточка (положение равновесия) уравнений Гамильтона?Решение.

Ответ - да. Для доказательства надо построить семейство контуров, обходящих особую точку, и сходящихся к исходному контуру.Напомним, что гладкое отображение многообразия f : M → M порождает отображение век-f* : TM → TMторовв прямом направлении, и отображение дифференциальныхk -формf : T M → T M в обратном направлении. Говорят, что отображение f сохраняет форму ω , еслиf *ω = ω .**k*kНапомним также свойство перестановочности дифференциалов и отображений:df *ω = f *dωСледствие 4. Преобразование сдвига вдоль тракеторий g τ сохраняет каноническую 2-формуω = dp ∧ dq − dH ∧ dt .Доказательство.

Достаточно доказать, что интеграл по любому гладко вложенному двумерному диску D от этой формы равен интегралу от ( g τ )* (dp ∧ dq − dH ∧ dt ) . Докажем, это. Действительно,∫ (dp ∧ dq − dH ∧ dt ) = ∫ ( pdq − Hdt ) = ∫ ( pdq − Hdt ) =∂DDg τ ( ∂D )= ∫ ( g τ )* ( pdq − Hdt ) = ∫ d [( g τ )* ( pdq − Hdt )] =∂DD= ∫ ( g ) d ( pdq − Hdt ) = ∫ ( g τ )* (dp ∧ dq − dH ∧ dt )τ *DDДоказательство завершено.Следствие 5. Рассмотрим сдвиг (q, p ) → (q (τ ), p (τ )) , где (q (t ), p (t )) - решение уравненийГамильтона с начальными условиями (q(0), p(0)) = (q, p) (в автономном случае этот сдвиг называютфазовым потоком).

Этот сдвиг сохраняет 2-форму ω = dp ∧ dq .18-Гамильтонова механика I-7Доказательство. Аналогично доказательству Следствия 3. Рассматриваем отображения дискав обычное фазовое пространство. Поднимаемся в расширенное фазовое пространство (при этом будетdt = 0 ) и используем Следствие 4.Следствие 6.

Сдвиг из Следствия 5 сохраняет формы ω ∧ ω , ω ∧ ω ∧ ω ,… и т.д. В частности, сохраняется форма ω∧K∧3ω , где m - число степеней свободы. С точностью до знака, она1∧4ω4244m− разсовпадает с формой объемаdq1 ∧ dq2 ∧ K ∧ dqm ∧ dp1 ∧ K ∧ dpmЭтот результат совпадает с теоремой Лиувилля о сохранении фазового объема гамильтоновых систем.Вопросы к материалу Лекция 18-2.• Принцип Гамильтона в фазовом пространстве.• Лемма об аннуляторе канонической 2-формы.• Интегральный инвариант Пуанкаре-Картана.• Интегральный инвариант Пуанкаре.• Инвариантность канонической 2-формы при сдвиге по траеториям.• Еще раз теорема Лиувилля о сохранении фазового объема.Лекция 18-3Канонические преобразования.Следствие. Пусть P = ( P1 ,K, Pm ) , Q = (Q1 ,K, Qm ) , T - другие координаты на расширенном~~фазовом пространстве, а H = H (Q, P, T ) , и S - гладкие функции такие, что~pdq − Hdt = PdQ − HdT − dS(*)Тогда в новых координатах уравнения Гамильтона имеют вид~~∂Hd∂H, P′ = −, где ()′ =Q′ =∂PdT∂QДоказательство.

Действительно, аннуляторы форм~d ( pdq − Hdt ) и d ( PdQ − HdT − dS )совпадают. Т.к. d (dS ) = 0 , то совпадают аннуляторы форм~~d ( PdQ − HdT − dS ) и d ( PdQ − HdT )Значит, совпадают аннуляторы форм~d ( pdq − Hdt ) и d ( PdQ − HdT )Значит, совпадают и соответствующие Гамильтоновы векторные поля. Доказательство завершено.Функция S называется производящей функцией канонической замены координат(q, p) → (Q, P) .

Предположим, что S можно выразить через (q, Q, t ) , и t = T . Тогда из (*) получаем~pdq − Hdt = PdQ − Hdt − Sq dq − SQ dQ − St dt(**)Следовательно, имеем следующую связь между старыми координатами и Гамильтонианом и новыми:~p = − S q , P = SQ , H = H − St(***)~В частности, если S не зависит от t , то замена автономная и H = H , т.е. гамильтониан в новых координатах получается просто подстановкой в старый гамильтониан выражений старых координатчерез новые.~H (Q, P, t ) = H (q(Q, P), p (Q, P), t )18-Гамильтонова механика I-8Производящая функция указанного вида не может определить тождественную замену пере-~менных. В самом деле, если q = Q , p = P , то H = H , dq = dQ и dp = dP и (**) принимает вид0 = − Sq dq − SQ dQ − St dtЗначит, S q = 0 , S p = 0 , St = 0 , т.е.

S = const и (***) становится вырожденным преобразованием.Часто требуется иметь замену переменных близкую к тождественной. В этом случае используют производящую функцию в другом виде. Перепишем (*) при t = T следующим образом:~pdq − Hdt = −QdP − Hdt − d ( PQ − S )Обозначим W = PQ − S .~pdq − Hdt = −QdP − Hdt − dWПредположим, что функция W может быть выражена через (q, P, t ) . Тогда~pdq − Hdt = −QdP − HdT − Wq dq − WP dP − Wt dt~p = Wq , Q = WP , H = H + Wt(****)Для тождественной замены в этом случае годится W = qP .∂2S≠ 0 , то второе уравнение P = SQ из (***) разрешимо (локаль∂q∂Qq , т.е.

можно найти q = q(Q, P) . Затем из первого уравнения находимЗамечание 1. Если detно) относительноp = p (Q, P) . Значит в этом случае преобразование (локально) существует. Говорят, что каноническое преобразование является свободным по переменным q , Q (т.е. по переменным, от которых зависит производящая функция).Аналогично, для второго случая получаем условие det∂ 2W≠ 0.∂q∂PЗамечание 2. Замечание о связи между “дискр.

лагр. S ” и “дискр. гам. W ” (Прояснить!!!)Понижение порядка по Уиттекеру.Пусть гамильтониан системы H = H (q, p ) не зависит от t . Рассмотрим уровень энергииH = h . Если везде на нем dH ≠ 0 , то это 2m − 1 -мерное многообразие. Будем считать его расширенным фазовым пространством системы с m − 1 степенями свободы. Роль времени играет координата τ = qs такая, что H p s ≠ 0 . Тогда q& s ≠ 0 и замена t → qs возможна.Задача. Что делать, если импульса ps , для которого H p s ≠ 0 нет.Решение. Поскольку dH ≠ 0 , есть то надо сделать каноническую замену переменных Q = p ,P = ± q . Знак выбираем так, чтобы сохранялась ориентация.Далее, для краткости считаем, что s = m .

Разрешим уравнение H = h относительно pm .pm = − K (q1 ,K, qm −1 , p1 ,K, pm −1 , qm , h)Для большей ясности cделаем замену (просто переобозначение) переменныхτ = qm , Q = (Q1 ,K, Qm −1 ) = (q1 ,K, qm −1 ) , P = ( P1 ,K, Pm −1 ) = ( p1 ,K, pm −1 )Тогда K = K (Q, P,τ ) .Теорема. Исходные уравнения Гамильтона на уровне энергии H = h эквивалентны (локально)уравнениямQ′j =d∂K∂K, Pj′ = −, (⋅)′ =, j = 1,2,K, m − 1∂Q j∂PjdτДоказательство.pdq − Hdt = PdQ − Kdτ − d (tH ) + tdH18-Гамильтонова механика I-9Исходное гамильтново векторное поле является аннулятором дифференциала этой формы. Значит,оно аннулятор ограничения дифференциала этой формы на многообразие {H = h} .

Значит оно аннулятор дифференциала формы PdQ − Kdτ . Значит, поле на уровне {H = h} гамильтоново, с гамильтонианом K . Доказательство завершено.Операцию, в определенно смысле обратную к понижению порядка по Уиттекеру описываетследующее утверждение.Утверждение. Пусть H = H (q, p, t ) - функция Гамильтона. Тогда соответствующие уравнения Гамильтона получаются из уравнений~~~~∂H∂H∂H∂H, p′ = −, t′ =, E′ = −,q′ =∂p∂q∂E∂td~ ~H = H (q, p, t , E ) = H + E , (⋅)′ =dtДоказательство. Очевидно, следует из предыдущего утверждения.Таким образом из неавтономной системы получаем автономную (автономизация системы).Уравнение Гамильтона-Якоби.Пусть H = H (q, p, t ) .

Попробуем найти каноническую замену (q, p, t ) → ( β ,α , t ) , вообще~говоря, неавтономную, такую, что в новых переменных гамильтониан равен H = 0 . Тогда уравнениядвижения сразу интегрируются.Пусть W (q,α , t ) - производящая функция. Тогда~β = Wα , p = Wq , H = Wt + HИщем такую замену, чтобы~H = Wt (q,α , t ) + H (q,Wq , t ) = 0(*)Это уравнение в частных производных относительно W . Оно называется уравнением ГамильтонаЯкоби.Определение. Функция W (q,α , t ) называется полным интегралом уравнения ГамильтонаЯкоби, если она удовлетворяет уравнению (*) иdet∂ 2W≠0∂q∂α(**)Получаем следующее утверждение.Теорема.

Если имеется полный интеграл уравнений Гамильтона-Якоби, то соответствующиеуравнения Гамильтона разрешимы в квадратурах.~Доказательство. В новых переменных ( β ,α , t ) имеем H = 0 . Следовательно α = const ,β = const . Имеем систему уравнений, задающих замену координатp = Wq , β = WαСогласно (**) из этих уравнений можно (локально) выразить q = q(α , β , t ) , p = p(α , β , t ) . Доказательство завершено.Как искать полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби?Утверждение. Пусть система автономна и меет одну степень свободы. Тогда соответствующее уравнение Гамильтона-Якоби имеет полный интеграл, получаемый в квадратурах, при условииHp ≠ 0.Доказательство.