KT-18 (1159481), страница 2

Файл №1159481 KT-18 (Лекции) 2 страницаKT-18 (1159481) страница 22019-09-18СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Если не предполагать, что по последней координате компонента единичная, тополучим векторное поле коллинеарное (пропорциональное) Гамильтоновому.Сформулируем несколько следствий из Леммы 1.Следствие 1. Пусть γ 0 - замкнутая кривая в расширенном фазовом пространстве.

При сдвигевдоль траекторий уравнений Гамильтона мы получим некую поверхность – трубку траекторий.Пусть γ замкнутая, охватывающая эту трубку траекторий так, что γ 0 и γ составляют край поверхности трубки σ между ними. Тогда∫ ( pdq − Hdt ) − ∫γ ( pdq − Hdt ) = 0γ0Действительно, по теореме Стокса эта разность равна∫σ d ( pdq − Hdt ) , где σ- участок боковой по-верхности. Он двумерный, причем в любой точке касательная плоскость содержит аннулятор vH подинтегральной формы. Значит интеграл равен нулю.Доказательство завершено.Пусть g τ - сдвиг вдоль решений системы с гамильтонианом H (q, p, t ) :g τ (q(t ), p(t ), t ) = (q (t + τ ), p(t + τ ), t + τ )18-Гамильтонова механика I-6для любого решения (q (t ), p (t )) . Отметим, что g τ действует в расширенном фазовом пространстве.Следствие 2. Пусть γ - замкнутая кривая в расширенном фазовом пространстве. Тогда∫γ ( pdq − Hdt ) = ∫ ( pdq − Hdt )(*)g τ (γ )Это частный случай Следствия 1.В обычном фазовом пространстве определена 1-форма pdq .

Она называется интегральныминвариантом Пуанкаре. Это название объясняет следующее следствие.Следствие 3. Пусть γ * - замкнутая кривая в обычном фазовом пространстве, определенная внекий момент времени t0 . Тогда∫ pdq = ∫ pdqγτ*(**)*g (γ )Доказательство. Пусть кривая (q( s ), p( s )) - параметрическое задание кривой γ * .

Тогда(q( s ), p ( s ), t0 ) можно рассматривать как параметрическое задание замкнутой кривой γ в расширенном фазовом пространстве. Для нее выполнено (*). Но на γ имеем t = t0 = const и на g τ (γ ) имеемt = t0 + τ = const . Поэтому при интегрировании будет Hdt ≡ 0 и , значит будет выполнено.(**). Доказательство завершено.Задача. Сохранятся ли доказанные утверждения если на замкнутый контур попала особаяточка (положение равновесия) уравнений Гамильтона?Решение.

Ответ - да. Для доказательства надо построить семейство контуров, обходящих особую точку, и сходящихся к исходному контуру.Напомним, что гладкое отображение многообразия f : M → M порождает отображение век-f* : TM → TMторовв прямом направлении, и отображение дифференциальныхk -формf : T M → T M в обратном направлении. Говорят, что отображение f сохраняет форму ω , еслиf *ω = ω .**k*kНапомним также свойство перестановочности дифференциалов и отображений:df *ω = f *dωСледствие 4. Преобразование сдвига вдоль тракеторий g τ сохраняет каноническую 2-формуω = dp ∧ dq − dH ∧ dt .Доказательство.

Достаточно доказать, что интеграл по любому гладко вложенному двумерному диску D от этой формы равен интегралу от ( g τ )* (dp ∧ dq − dH ∧ dt ) . Докажем, это. Действительно,∫ (dp ∧ dq − dH ∧ dt ) = ∫ ( pdq − Hdt ) = ∫ ( pdq − Hdt ) =∂DDg τ ( ∂D )= ∫ ( g τ )* ( pdq − Hdt ) = ∫ d [( g τ )* ( pdq − Hdt )] =∂DD= ∫ ( g ) d ( pdq − Hdt ) = ∫ ( g τ )* (dp ∧ dq − dH ∧ dt )τ *DDДоказательство завершено.Следствие 5. Рассмотрим сдвиг (q, p ) → (q (τ ), p (τ )) , где (q (t ), p (t )) - решение уравненийГамильтона с начальными условиями (q(0), p(0)) = (q, p) (в автономном случае этот сдвиг называютфазовым потоком).

Этот сдвиг сохраняет 2-форму ω = dp ∧ dq .18-Гамильтонова механика I-7Доказательство. Аналогично доказательству Следствия 3. Рассматриваем отображения дискав обычное фазовое пространство. Поднимаемся в расширенное фазовое пространство (при этом будетdt = 0 ) и используем Следствие 4.Следствие 6.

Сдвиг из Следствия 5 сохраняет формы ω ∧ ω , ω ∧ ω ∧ ω ,… и т.д. В частности, сохраняется форма ω∧K∧3ω , где m - число степеней свободы. С точностью до знака, она1∧4ω4244m− разсовпадает с формой объемаdq1 ∧ dq2 ∧ K ∧ dqm ∧ dp1 ∧ K ∧ dpmЭтот результат совпадает с теоремой Лиувилля о сохранении фазового объема гамильтоновых систем.Вопросы к материалу Лекция 18-2.• Принцип Гамильтона в фазовом пространстве.• Лемма об аннуляторе канонической 2-формы.• Интегральный инвариант Пуанкаре-Картана.• Интегральный инвариант Пуанкаре.• Инвариантность канонической 2-формы при сдвиге по траеториям.• Еще раз теорема Лиувилля о сохранении фазового объема.Лекция 18-3Канонические преобразования.Следствие. Пусть P = ( P1 ,K, Pm ) , Q = (Q1 ,K, Qm ) , T - другие координаты на расширенном~~фазовом пространстве, а H = H (Q, P, T ) , и S - гладкие функции такие, что~pdq − Hdt = PdQ − HdT − dS(*)Тогда в новых координатах уравнения Гамильтона имеют вид~~∂Hd∂H, P′ = −, где ()′ =Q′ =∂PdT∂QДоказательство.

Действительно, аннуляторы форм~d ( pdq − Hdt ) и d ( PdQ − HdT − dS )совпадают. Т.к. d (dS ) = 0 , то совпадают аннуляторы форм~~d ( PdQ − HdT − dS ) и d ( PdQ − HdT )Значит, совпадают аннуляторы форм~d ( pdq − Hdt ) и d ( PdQ − HdT )Значит, совпадают и соответствующие Гамильтоновы векторные поля. Доказательство завершено.Функция S называется производящей функцией канонической замены координат(q, p) → (Q, P) .

Предположим, что S можно выразить через (q, Q, t ) , и t = T . Тогда из (*) получаем~pdq − Hdt = PdQ − Hdt − Sq dq − SQ dQ − St dt(**)Следовательно, имеем следующую связь между старыми координатами и Гамильтонианом и новыми:~p = − S q , P = SQ , H = H − St(***)~В частности, если S не зависит от t , то замена автономная и H = H , т.е. гамильтониан в новых координатах получается просто подстановкой в старый гамильтониан выражений старых координатчерез новые.~H (Q, P, t ) = H (q(Q, P), p (Q, P), t )18-Гамильтонова механика I-8Производящая функция указанного вида не может определить тождественную замену пере-~менных. В самом деле, если q = Q , p = P , то H = H , dq = dQ и dp = dP и (**) принимает вид0 = − Sq dq − SQ dQ − St dtЗначит, S q = 0 , S p = 0 , St = 0 , т.е.

S = const и (***) становится вырожденным преобразованием.Часто требуется иметь замену переменных близкую к тождественной. В этом случае используют производящую функцию в другом виде. Перепишем (*) при t = T следующим образом:~pdq − Hdt = −QdP − Hdt − d ( PQ − S )Обозначим W = PQ − S .~pdq − Hdt = −QdP − Hdt − dWПредположим, что функция W может быть выражена через (q, P, t ) . Тогда~pdq − Hdt = −QdP − HdT − Wq dq − WP dP − Wt dt~p = Wq , Q = WP , H = H + Wt(****)Для тождественной замены в этом случае годится W = qP .∂2S≠ 0 , то второе уравнение P = SQ из (***) разрешимо (локаль∂q∂Qq , т.е.

можно найти q = q(Q, P) . Затем из первого уравнения находимЗамечание 1. Если detно) относительноp = p (Q, P) . Значит в этом случае преобразование (локально) существует. Говорят, что каноническое преобразование является свободным по переменным q , Q (т.е. по переменным, от которых зависит производящая функция).Аналогично, для второго случая получаем условие det∂ 2W≠ 0.∂q∂PЗамечание 2. Замечание о связи между “дискр.

лагр. S ” и “дискр. гам. W ” (Прояснить!!!)Понижение порядка по Уиттекеру.Пусть гамильтониан системы H = H (q, p ) не зависит от t . Рассмотрим уровень энергииH = h . Если везде на нем dH ≠ 0 , то это 2m − 1 -мерное многообразие. Будем считать его расширенным фазовым пространством системы с m − 1 степенями свободы. Роль времени играет координата τ = qs такая, что H p s ≠ 0 . Тогда q& s ≠ 0 и замена t → qs возможна.Задача. Что делать, если импульса ps , для которого H p s ≠ 0 нет.Решение. Поскольку dH ≠ 0 , есть то надо сделать каноническую замену переменных Q = p ,P = ± q . Знак выбираем так, чтобы сохранялась ориентация.Далее, для краткости считаем, что s = m .

Разрешим уравнение H = h относительно pm .pm = − K (q1 ,K, qm −1 , p1 ,K, pm −1 , qm , h)Для большей ясности cделаем замену (просто переобозначение) переменныхτ = qm , Q = (Q1 ,K, Qm −1 ) = (q1 ,K, qm −1 ) , P = ( P1 ,K, Pm −1 ) = ( p1 ,K, pm −1 )Тогда K = K (Q, P,τ ) .Теорема. Исходные уравнения Гамильтона на уровне энергии H = h эквивалентны (локально)уравнениямQ′j =d∂K∂K, Pj′ = −, (⋅)′ =, j = 1,2,K, m − 1∂Q j∂PjdτДоказательство.pdq − Hdt = PdQ − Kdτ − d (tH ) + tdH18-Гамильтонова механика I-9Исходное гамильтново векторное поле является аннулятором дифференциала этой формы. Значит,оно аннулятор ограничения дифференциала этой формы на многообразие {H = h} .

Значит оно аннулятор дифференциала формы PdQ − Kdτ . Значит, поле на уровне {H = h} гамильтоново, с гамильтонианом K . Доказательство завершено.Операцию, в определенно смысле обратную к понижению порядка по Уиттекеру описываетследующее утверждение.Утверждение. Пусть H = H (q, p, t ) - функция Гамильтона. Тогда соответствующие уравнения Гамильтона получаются из уравнений~~~~∂H∂H∂H∂H, p′ = −, t′ =, E′ = −,q′ =∂p∂q∂E∂td~ ~H = H (q, p, t , E ) = H + E , (⋅)′ =dtДоказательство. Очевидно, следует из предыдущего утверждения.Таким образом из неавтономной системы получаем автономную (автономизация системы).Уравнение Гамильтона-Якоби.Пусть H = H (q, p, t ) .

Попробуем найти каноническую замену (q, p, t ) → ( β ,α , t ) , вообще~говоря, неавтономную, такую, что в новых переменных гамильтониан равен H = 0 . Тогда уравнениядвижения сразу интегрируются.Пусть W (q,α , t ) - производящая функция. Тогда~β = Wα , p = Wq , H = Wt + HИщем такую замену, чтобы~H = Wt (q,α , t ) + H (q,Wq , t ) = 0(*)Это уравнение в частных производных относительно W . Оно называется уравнением ГамильтонаЯкоби.Определение. Функция W (q,α , t ) называется полным интегралом уравнения ГамильтонаЯкоби, если она удовлетворяет уравнению (*) иdet∂ 2W≠0∂q∂α(**)Получаем следующее утверждение.Теорема.

Если имеется полный интеграл уравнений Гамильтона-Якоби, то соответствующиеуравнения Гамильтона разрешимы в квадратурах.~Доказательство. В новых переменных ( β ,α , t ) имеем H = 0 . Следовательно α = const ,β = const . Имеем систему уравнений, задающих замену координатp = Wq , β = WαСогласно (**) из этих уравнений можно (локально) выразить q = q(α , β , t ) , p = p(α , β , t ) . Доказательство завершено.Как искать полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби?Утверждение. Пусть система автономна и меет одну степень свободы. Тогда соответствующее уравнение Гамильтона-Якоби имеет полный интеграл, получаемый в квадратурах, при условииHp ≠ 0.Доказательство.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
257,12 Kb
Материал
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Лекции
01-Введение
02-Кинематика точки
03-Кинематика твердого тела
04-Относительное движение
05-Ньютонова механика
06-Учение о связях
07-Общие теоремы динамики для систем со связями
08-Общие теоремы динамики в относительном движении
09-Динамика и статика свободного твердого тела
10-Динамика материальной точки
11-Небесная механика
12-Силы инерции
13-Уравнения Лагранжа 1-го и 2-го рода
14-Вариационные принципы Симметрии
15-Устойчивость положений равновесия Малые колебания
Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6505
Авторов
на СтудИзбе
302
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее