KT-18 (Лекции)

18-Гамильтонова механика I-1Лекция 18-1Гамильтонова механика.Преобразование Лежандра.Преобразованием Лежандра функции f (x) , x ∈ R m является функция g ( y ) , y ∈ R m такая,что g ( y ) =< x( y ), y > − f ( x( y )) , где выражение x = x( y ) получено путем решения уравненияy=∂fотносительно x .∂xСогласно данному определению, преобразование Лежандра можно применить не к любойНеобходимо, чтобы уравнение y =функции.∂fбыло разрешимо относительно x . По теореме∂xо неявной функции достаточным условием для локальной разрешимости является невырожденностьГессиана f :det∂2 f≠0∂x 2Стандартный класс функций, для которых преобразование Лежандра определено – это выпуклые функции. Мы будем называть функцию выпуклой, если ее матрица Гесса является положительно определенной:∂2 f∂2 f>>0,т.е.<u, u > 0 , ∀u ≠ 0 .

Хотя можно дать и геометрическое оп∂x 2∂x 2ределение.Задача. Проверить, что если функция выпуклая, тоg ( y ) = max(< x, y > − f ( x))xРешение. Возьмем пару x ↔ y (x) . Поскольку y =∂ (< x, y > − f ( x))∂f, то= 0 , т.е., x( y ) ∂x∂xточка экстремума функции hy ( x) =< x, y > − f ( x) . Но эта функция выпуклая, т.к.∂ 2 h y ( x)∂2x∂ 2 f ( x)=∂2xЗначит – это точка ее максимума.Следствие. Неравенство Юнга: f ( x) + g ( y ) ≥ xy .Утверждение 1.

Преобразование Лежандра выпуклой функции – выпуклая функция.Доказательство.Найдем сначала∂x.∂yПродифференцируем y =∂fпо y . Получим∂x−1∂ 2 f ∂x∂x  ∂ 2 f  . ИмеемE= 2, значит=∂x ∂y∂y  ∂x 2 ∂f  ∂x∂x ∂f ∂x∂g= x+y−  = x= x+ y −∂x  ∂y∂y ∂x ∂y∂yЗначит∂g=x∂y∂ 2 g ∂x  ∂ 2 f==Имеем∂y 2 ∂y  ∂x 2(***)−1 . Матрица, обратная к положительно определенной – тоже положительноопределенная т.к.< A−1u, u >=< A−1 ( AA−1u ), ( AA−1u ) >=< ( A−1u ), A( A−1u ) > > 0Значит g ( y ) - тоже выпуклая функция.

Доказательство завершено.18-Гамильтонова механика I-2Утверждение 2. Преобразование Лежандра инволютивно, т.е., будучи примененным дважды– оно дает тождественное преобразованиеПЛПЛf ( x) → g ( y ) ⇒ g ( y ) → f ( x)Доказательство. При построении первого преобразования Лежандра мы находим x1 ( y ) как∂f. При построении второго преобразования Лежандра мы находим y2 ( x)∂x∂g∂g ( y )= x1 ( y ) , т.е. x1 ( y ) есть функция об. Однако, согласно (***)как решение уравнения x =∂y∂yратная к y2 ( x ) . Значит,x1 ( y2 ( x)) ≡ xрешение уравнения y =Согласно определению преобразования Лежандраg ( y ) =< x1 ( y ), y > − f ( x1 ( y ))Подставляя сюда в качестве аргумента y = y2 ( x ) получимg ( y2 ( x)) =< x1 ( y2 ( x)), y2 ( x) > − f ( x1 ( y2 ( x))) =< x, y2 ( x) > − f ( x)Илиf ( x) =< x, y2 ( x) > − g ( y2 ( x))Доказательство завершено.1< Ax, x > , где A - постоянная, симметрическая положительно опре21деленная функция.

Показать, что g ( y ) = < A−1 y, y > .2Утверждение 3. Пусть f зависит от параметра z : f = f ( x, z ) . Тогда ее преобразованиеЛежандра также зависит от z и∂g ( y, z )∂f= − ( x( y ), z )∂z∂z∂f ( x( y ), z )Доказательство. Т.к. y −≡ 0 , то∂x∂x∂f∂f∂f∂f ∂x ∂f∂x∂g=< , y −>− =−−=< , y > −∂z∂z∂x∂z∂x ∂z ∂z∂z∂zЗадача. Пусть f ( x) =Доказательство завершено.Рассмотрим Лагранжеву систему с лагранжианом L = L(q, q& , t ) , q ∈ M , где M - гладкоемногообразие.

Предположим, что L выпукла по q& (это свойство не зависит от выбора локальныхкоординат). Пример - L - лагранжиан натуральной системы. Произведем преобразование Лежандрафункции L относительно q& , считая остальные переменные параметрами. Получим:H (q, p, t ) =< pq& > − L при q& = q& (q, p, t ) таком, что p =∂L∂q&Переменные p называются импульсами, канонически сопряженными координатам q . Пара (q, p)называется каноническими координатами (или каноническими переменными).Замечание. Обратите внимание, что все это напоминаета) Формулу для обобщенного интеграла энергии автономной Лагранжевой системы (ИнтегралЯкоби).б) Понижение порядка по Раусу.Утверждение 4. В канонических переменных уравнения Лагранжа переходят в следующие:q& =∂H∂H, p& = −∂p∂q(*)18-Гамильтонова механика I-3Функция H называется функцией Гамильтона (или гамильтонианом), а уравнения движения (*) –уравнениями Гамильтона.∂H- это в точности равенство (***).

Поскольку∂pd ∂L ∂L∂L, то, в силу уравнений Лагранжа (−= 0 ) имеемp=∂q&dt ∂q& ∂qd ∂L ∂L∂H==−p& =dt ∂q& ∂q∂qДоказательство. Первое уравнение q& =согласно Утверждению 3. Доказательство завершено.Свойства уравнений Гамильтона.Утверждение 5. При дифференцировании по t в силу уравнений Гамильтона имеемdH ∂H.=dt∂tДоказательство. Используя уравнения Гамильтона (*), получаем∂H∂H∂HdH=<p& > +q& > + <∂q∂p∂tdtДоказательство завершено.Следствие.

Если H не зависит от t (гамильтониан автономен), то H является первым интегралом уравнений Гамильтона. (По построению H - интеграл энергии – интеграл Якоби).Задача. Показать, что для натуральной системы L = T2 − V имеемH = T2 + V приq& = q& (q, p, t ) таком, что p =Решение. (Решить!!!)∂L.∂q&Понижение порядка. Пусть qm - циклическая координата. Тогда p& m = −∂L∂H==0 ∂qm ∂qmпервый интеграл. Рассмотрим понижение порядка по Раусу в гамильтоновой форме тривиально. Забываем уравнение q&m =∂Hи считаем pm = c = const .

Получаем гамильтониан и уравнения гамиль∂pтона для 2m − 2 переменных.Утверждение 6. Уравнения Гамильтона имеют инвариантную меру с плотностью ρ = 1 .Доказательство. Согласно теореме Лиувилля, достаточно проверить что дивергенция правойчасти равна нулю.div(K) =∂2H ∂2H−=0∂p∂q ∂q∂pДоказательство завершено.Вопросы к материалу Лекция 18-1.• Гамильтонова механика.• Преобразование Лежандра, и его свойства.• Канонические переменные.• Уравнения Гамильтона, и их свойства.• Циклические интегралы и понижение порядка в уравнениях Гамильтона.• Инвариантная мера уравнений Гамильтона.Лекция 18-2Принцип Гамильтона в фазовом пространстве.18-Гамильтонова механика I-4Возьмем Гамильтонову систему с гамильтонианом H (q, p, t ) .

Рассмотрим расширенное фазовое пространство (q, p, t ) . Введем функционал действия~S (γ ) = ∫ pdq − Hdtλна пространстве кривых γ = (q (t ), p (t ), t ) , соединяющих точки (q1 , p1 , t1 ) и (q2 , p2 , t2 ) . Пустьγ 0 = γ (t ) - одна из таких кривых. Назовем семейство кривыхγ (t , ε ) = (q* (t , ε ), p* (t , ε ), t ) , ε ∈ (−ε 0 , ε 0 )вариацией кривой γ 0 , еслиа) γ * (t ,0) = γ 0 (t )б) q* (t j , ε ) = q0 (t j ) , p* (t j , ε ) = p0 (t j ) , j = 1,2~Вариацией функционала S на пути γ 0 относительновариации пути γ * называется величина~dS (γ * ) .dt ε = 0Теорема. Кривая γ 0 является решением уравнений Гамильтона тогда и тоько тогда, когда для~любой вариации пути γ * соответствующая вариация функционала действия S равна нулю. Иными~словами - γ 0 - критическая точка, или экстремаль функционала действия S .Доказательство. Аналогично доказательству обычного принципа Гамильтона для уравненийЛагранжа с ЛагранжианомΛ (q, p, q& , p& , t ) = pq& − H (q, p, t )Уравнения Лагранжа для него полностью совпадают с уравнениями Гамильтона.Интегральный инвариант Пуанкаре-Картана.~В определении функционала S участвует 1-форма pdq − Hdt , на действующая на векторах касательных к расширенному фазовому пространству.

Между прочим,pdq − Hdt = pdq − ( pq& ( p) − L(q, q& ( p), t ))dt = LdtЭта форма называется интегральным инвариантом Пуанкаре-Картана. Смысл этого названия в том, что сохраняется интеграл по замкнутому контуру от этой формы при сдвиге вдоль траекторий уравнений Гамильтона в расширенном фазовом пространстве.Дадим строгие формулировки этого факта.Замечание. Напомним определение внешнего произведения двух 1-форм ω и ρ .

Для любыхвекторов ξ , η , по определению(ω ∧ ρ )(ξ ,η ) = detω (ξ ) ρ (ξ )ω (η ) ρ (η )Свойства внешнего дифференцирования. Если λ - 0-форма, тоd (λω ) = dλ ∧ ω + λdω , d (dω ) = 0Например, пусть ω = pdq =∑ p dq1iи ρ = Hdt . Тогдаdω = d ( pdq ) = ∑ dpi ∧ dqi = dp ∧ dq и dρ = dH ∧ dtВыпишем значение канонической 2-формы d ( pdq − Hdt ) = dp ∧ dq − dH ∧ dt в общем виде.Возьмем два векторных поля u = (a, b, c) и v = ( x, y, z ) где a и x - компоненты, соответствующиеq , b и y - p , и c и z - t .

Тогдаdp ∧ dq (u , v) = ∑ detbiaiyixi= bx − ay18-Гамильтонова механика I-5(dH ∧ dt )(u , v) = detH q a + H pb + H t ccH q x + H p y + Ht zz== ( H q a + H p b + H t c ) z − ( H q x + H p y + H t z )cПоэтомуd ( pdq − Hdt )(u, v) = (dp ∧ dq − dH ∧ dt )(u, v) == bx − ay − ( H q a + H pb + H t c) z + ( H q x + H p y + H t z )c(**)Лемма 1. Векторное поле vH = ( H p ,− H q ,1) в расширенном фазовом пространстве являетсяаннулятором 2-формы d ( pdq − Hdt ) , т.е. для любого векторного поля u выполненоd ( pdq − Hdt )(v, vH ) = 0(***)Доказательство.

Действительно, при подстановке v = vH в (**) получим (***). Доказательство завершено.Лемма 2. Пусть векторное поле v = ( x, y,1) в расширенном фазовом пространстве являетсяаннулятором формы d ( pdq − Hdt ) (для некоторого H ). Тогдаv = vH = ( H p ,− H q ,1)Доказательство. Рассмотрим более общий случай. Пусть v = ( x, y, z ) .

По условию леммыпри любых (a, b, c) выполненоd ( pdq − Hdt )(u, v) = 0т.е.bx − ay − ( H q a + H pb + H t c) z + ( H q x + H p y + H t z )c = 0Группируя коэффициенты при (a, b, c) получим− y − H q z = 0 , x − H p z = 0 , − Ht z + H q x + H p y + Ht z = H q x + H p y = 0Третье равенство есть следствие первых двух. Итак, мы получилиx = H p z , y = −H q zПо условию z = 1 . Доказательство закончено.Замечание.