KT-18 (1159481)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

18-Гамильтонова механика I-1Лекция 18-1Гамильтонова механика.Преобразование Лежандра.Преобразованием Лежандра функции f (x) , x ∈ R m является функция g ( y ) , y ∈ R m такая,что g ( y ) =< x( y ), y > − f ( x( y )) , где выражение x = x( y ) получено путем решения уравненияy=∂fотносительно x .∂xСогласно данному определению, преобразование Лежандра можно применить не к любойНеобходимо, чтобы уравнение y =функции.∂fбыло разрешимо относительно x . По теореме∂xо неявной функции достаточным условием для локальной разрешимости является невырожденностьГессиана f :det∂2 f≠0∂x 2Стандартный класс функций, для которых преобразование Лежандра определено – это выпуклые функции. Мы будем называть функцию выпуклой, если ее матрица Гесса является положительно определенной:∂2 f∂2 f>>0,т.е.<u, u > 0 , ∀u ≠ 0 .

Хотя можно дать и геометрическое оп∂x 2∂x 2ределение.Задача. Проверить, что если функция выпуклая, тоg ( y ) = max(< x, y > − f ( x))xРешение. Возьмем пару x ↔ y (x) . Поскольку y =∂ (< x, y > − f ( x))∂f, то= 0 , т.е., x( y ) ∂x∂xточка экстремума функции hy ( x) =< x, y > − f ( x) . Но эта функция выпуклая, т.к.∂ 2 h y ( x)∂2x∂ 2 f ( x)=∂2xЗначит – это точка ее максимума.Следствие. Неравенство Юнга: f ( x) + g ( y ) ≥ xy .Утверждение 1.

Преобразование Лежандра выпуклой функции – выпуклая функция.Доказательство.Найдем сначала∂x.∂yПродифференцируем y =∂fпо y . Получим∂x−1∂ 2 f ∂x∂x  ∂ 2 f  . ИмеемE= 2, значит=∂x ∂y∂y  ∂x 2 ∂f  ∂x∂x ∂f ∂x∂g= x+y−  = x= x+ y −∂x  ∂y∂y ∂x ∂y∂yЗначит∂g=x∂y∂ 2 g ∂x  ∂ 2 f==Имеем∂y 2 ∂y  ∂x 2(***)−1 . Матрица, обратная к положительно определенной – тоже положительноопределенная т.к.< A−1u, u >=< A−1 ( AA−1u ), ( AA−1u ) >=< ( A−1u ), A( A−1u ) > > 0Значит g ( y ) - тоже выпуклая функция.

Доказательство завершено.18-Гамильтонова механика I-2Утверждение 2. Преобразование Лежандра инволютивно, т.е., будучи примененным дважды– оно дает тождественное преобразованиеПЛПЛf ( x) → g ( y ) ⇒ g ( y ) → f ( x)Доказательство. При построении первого преобразования Лежандра мы находим x1 ( y ) как∂f. При построении второго преобразования Лежандра мы находим y2 ( x)∂x∂g∂g ( y )= x1 ( y ) , т.е. x1 ( y ) есть функция об. Однако, согласно (***)как решение уравнения x =∂y∂yратная к y2 ( x ) . Значит,x1 ( y2 ( x)) ≡ xрешение уравнения y =Согласно определению преобразования Лежандраg ( y ) =< x1 ( y ), y > − f ( x1 ( y ))Подставляя сюда в качестве аргумента y = y2 ( x ) получимg ( y2 ( x)) =< x1 ( y2 ( x)), y2 ( x) > − f ( x1 ( y2 ( x))) =< x, y2 ( x) > − f ( x)Илиf ( x) =< x, y2 ( x) > − g ( y2 ( x))Доказательство завершено.1< Ax, x > , где A - постоянная, симметрическая положительно опре21деленная функция.

Показать, что g ( y ) = < A−1 y, y > .2Утверждение 3. Пусть f зависит от параметра z : f = f ( x, z ) . Тогда ее преобразованиеЛежандра также зависит от z и∂g ( y, z )∂f= − ( x( y ), z )∂z∂z∂f ( x( y ), z )Доказательство. Т.к. y −≡ 0 , то∂x∂x∂f∂f∂f∂f ∂x ∂f∂x∂g=< , y −>− =−−=< , y > −∂z∂z∂x∂z∂x ∂z ∂z∂z∂zЗадача. Пусть f ( x) =Доказательство завершено.Рассмотрим Лагранжеву систему с лагранжианом L = L(q, q& , t ) , q ∈ M , где M - гладкоемногообразие.

Предположим, что L выпукла по q& (это свойство не зависит от выбора локальныхкоординат). Пример - L - лагранжиан натуральной системы. Произведем преобразование Лежандрафункции L относительно q& , считая остальные переменные параметрами. Получим:H (q, p, t ) =< pq& > − L при q& = q& (q, p, t ) таком, что p =∂L∂q&Переменные p называются импульсами, канонически сопряженными координатам q . Пара (q, p)называется каноническими координатами (или каноническими переменными).Замечание. Обратите внимание, что все это напоминаета) Формулу для обобщенного интеграла энергии автономной Лагранжевой системы (ИнтегралЯкоби).б) Понижение порядка по Раусу.Утверждение 4. В канонических переменных уравнения Лагранжа переходят в следующие:q& =∂H∂H, p& = −∂p∂q(*)18-Гамильтонова механика I-3Функция H называется функцией Гамильтона (или гамильтонианом), а уравнения движения (*) –уравнениями Гамильтона.∂H- это в точности равенство (***).

Поскольку∂pd ∂L ∂L∂L, то, в силу уравнений Лагранжа (−= 0 ) имеемp=∂q&dt ∂q& ∂qd ∂L ∂L∂H==−p& =dt ∂q& ∂q∂qДоказательство. Первое уравнение q& =согласно Утверждению 3. Доказательство завершено.Свойства уравнений Гамильтона.Утверждение 5. При дифференцировании по t в силу уравнений Гамильтона имеемdH ∂H.=dt∂tДоказательство. Используя уравнения Гамильтона (*), получаем∂H∂H∂HdH=<p& > +q& > + <∂q∂p∂tdtДоказательство завершено.Следствие.

Если H не зависит от t (гамильтониан автономен), то H является первым интегралом уравнений Гамильтона. (По построению H - интеграл энергии – интеграл Якоби).Задача. Показать, что для натуральной системы L = T2 − V имеемH = T2 + V приq& = q& (q, p, t ) таком, что p =Решение. (Решить!!!)∂L.∂q&Понижение порядка. Пусть qm - циклическая координата. Тогда p& m = −∂L∂H==0 ∂qm ∂qmпервый интеграл. Рассмотрим понижение порядка по Раусу в гамильтоновой форме тривиально. Забываем уравнение q&m =∂Hи считаем pm = c = const .

Получаем гамильтониан и уравнения гамиль∂pтона для 2m − 2 переменных.Утверждение 6. Уравнения Гамильтона имеют инвариантную меру с плотностью ρ = 1 .Доказательство. Согласно теореме Лиувилля, достаточно проверить что дивергенция правойчасти равна нулю.div(K) =∂2H ∂2H−=0∂p∂q ∂q∂pДоказательство завершено.Вопросы к материалу Лекция 18-1.• Гамильтонова механика.• Преобразование Лежандра, и его свойства.• Канонические переменные.• Уравнения Гамильтона, и их свойства.• Циклические интегралы и понижение порядка в уравнениях Гамильтона.• Инвариантная мера уравнений Гамильтона.Лекция 18-2Принцип Гамильтона в фазовом пространстве.18-Гамильтонова механика I-4Возьмем Гамильтонову систему с гамильтонианом H (q, p, t ) .

Рассмотрим расширенное фазовое пространство (q, p, t ) . Введем функционал действия~S (γ ) = ∫ pdq − Hdtλна пространстве кривых γ = (q (t ), p (t ), t ) , соединяющих точки (q1 , p1 , t1 ) и (q2 , p2 , t2 ) . Пустьγ 0 = γ (t ) - одна из таких кривых. Назовем семейство кривыхγ (t , ε ) = (q* (t , ε ), p* (t , ε ), t ) , ε ∈ (−ε 0 , ε 0 )вариацией кривой γ 0 , еслиа) γ * (t ,0) = γ 0 (t )б) q* (t j , ε ) = q0 (t j ) , p* (t j , ε ) = p0 (t j ) , j = 1,2~Вариацией функционала S на пути γ 0 относительновариации пути γ * называется величина~dS (γ * ) .dt ε = 0Теорема. Кривая γ 0 является решением уравнений Гамильтона тогда и тоько тогда, когда для~любой вариации пути γ * соответствующая вариация функционала действия S равна нулю. Иными~словами - γ 0 - критическая точка, или экстремаль функционала действия S .Доказательство. Аналогично доказательству обычного принципа Гамильтона для уравненийЛагранжа с ЛагранжианомΛ (q, p, q& , p& , t ) = pq& − H (q, p, t )Уравнения Лагранжа для него полностью совпадают с уравнениями Гамильтона.Интегральный инвариант Пуанкаре-Картана.~В определении функционала S участвует 1-форма pdq − Hdt , на действующая на векторах касательных к расширенному фазовому пространству.

Между прочим,pdq − Hdt = pdq − ( pq& ( p) − L(q, q& ( p), t ))dt = LdtЭта форма называется интегральным инвариантом Пуанкаре-Картана. Смысл этого названия в том, что сохраняется интеграл по замкнутому контуру от этой формы при сдвиге вдоль траекторий уравнений Гамильтона в расширенном фазовом пространстве.Дадим строгие формулировки этого факта.Замечание. Напомним определение внешнего произведения двух 1-форм ω и ρ .

Для любыхвекторов ξ , η , по определению(ω ∧ ρ )(ξ ,η ) = detω (ξ ) ρ (ξ )ω (η ) ρ (η )Свойства внешнего дифференцирования. Если λ - 0-форма, тоd (λω ) = dλ ∧ ω + λdω , d (dω ) = 0Например, пусть ω = pdq =∑ p dq1iи ρ = Hdt . Тогдаdω = d ( pdq ) = ∑ dpi ∧ dqi = dp ∧ dq и dρ = dH ∧ dtВыпишем значение канонической 2-формы d ( pdq − Hdt ) = dp ∧ dq − dH ∧ dt в общем виде.Возьмем два векторных поля u = (a, b, c) и v = ( x, y, z ) где a и x - компоненты, соответствующиеq , b и y - p , и c и z - t .

Тогдаdp ∧ dq (u , v) = ∑ detbiaiyixi= bx − ay18-Гамильтонова механика I-5(dH ∧ dt )(u , v) = detH q a + H pb + H t ccH q x + H p y + Ht zz== ( H q a + H p b + H t c ) z − ( H q x + H p y + H t z )cПоэтомуd ( pdq − Hdt )(u, v) = (dp ∧ dq − dH ∧ dt )(u, v) == bx − ay − ( H q a + H pb + H t c) z + ( H q x + H p y + H t z )c(**)Лемма 1. Векторное поле vH = ( H p ,− H q ,1) в расширенном фазовом пространстве являетсяаннулятором 2-формы d ( pdq − Hdt ) , т.е. для любого векторного поля u выполненоd ( pdq − Hdt )(v, vH ) = 0(***)Доказательство.

Действительно, при подстановке v = vH в (**) получим (***). Доказательство завершено.Лемма 2. Пусть векторное поле v = ( x, y,1) в расширенном фазовом пространстве являетсяаннулятором формы d ( pdq − Hdt ) (для некоторого H ). Тогдаv = vH = ( H p ,− H q ,1)Доказательство. Рассмотрим более общий случай. Пусть v = ( x, y, z ) .

По условию леммыпри любых (a, b, c) выполненоd ( pdq − Hdt )(u, v) = 0т.е.bx − ay − ( H q a + H pb + H t c) z + ( H q x + H p y + H t z )c = 0Группируя коэффициенты при (a, b, c) получим− y − H q z = 0 , x − H p z = 0 , − Ht z + H q x + H p y + Ht z = H q x + H p y = 0Третье равенство есть следствие первых двух. Итак, мы получилиx = H p z , y = −H q zПо условию z = 1 . Доказательство закончено.Замечание.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций