TM-17 (Лекции), страница 2

Линейнаячасть имеет постоянную производную. Значит производная монотонна И, следовательно может обращаться в ноль только один раз.Вывод.17-Динамика твердого тела с ненодвижной точкой-7Фазовый портрет выглядит следующим образом (внимание!!! – что скажете о стрелках на рисунке?).В частности, θ колеблется в пределах[θ min (k z , kς , h),θ max (k z , kς , h)] . В зависимости от значений постоянных k z , kς , h ось динамической симметрии Oς может описывать на единичной сфере сцентром в O кривые следующего вида:Начнем увеличивать энергию h от минимального значения и выше. Тогда последовательно получимвсе эти случаи.a) Здесь h минимально и θ = const .

Это регулярная прецессия волчка Лагранжа. Действительно,Aψ& sin 2 θ = k z − kς cosθ , ψ& =k z − kς cosθИ, поскольку θ = const , то и ψ& = const .A sin 2 θ(**)б) Здесь θ меняется в таких пределах, что k z − kς cosθ ≠ 0 , и, следовательно, ψ& нигде необращается в ноль и сохраняет свой знакв) Здесь θ меняется в таких пределах, что на одной из границ выполняетсяk z − kς cosθ = 0(***)В этих точках ψ& = 0 и у следа оси на сфере образуется “клюв”, поскольку на границе и θ& = 0 .Уравнение (***) может иметь только одно решение при θ ∈ (0,π ) .

Поэтому скорость ψ& может обращаться в ноль только при одном значении θ . Заметим, что на нижней границе “клюв” образоваться не может. Покажем это. Используя циклический интеграл (*-1), интеграл энергии можно записатьследующим образом1 &2A(θ + ψ& 2 sin 2 θ ) + Ckς2 + mgl cosθ = h2(+)Нижнее значение θ - это максимальное значение.

Если бы при нем было ψ& = 0 , θ& = 0 , то было быCkς2 + mgl cos θ max = hПри уменьшении θ величина cosθ растет, и также растет1 &2A(θ + ψ& 2 sin 2 θ ) . Значит (+) не может2выполняться.Покажем теперь, что в точке “клюва” след имеет вертикальную касательную. Уравнения движенияAθ&& +∂V=0∂θДают то, что в верхней точке (где θ минимально) θ&& > 0 .

Из (**) получаем, что ψ&& = g (θ )θ& . Значит,в верхней точке ψ&& = 0 . Итак, если мы проходим через верхнюю точку при t = 0 , то в окрестностиэтой точки17-Динамика твердого тела с ненодвижной точкой-81612θ (t ) = θ min + θ&&0t 2 + O(t 2 ) , ψ (t ) = ψ 0 + ψ&&&0t 3 + O(t 3 )Разрешая первое уравнение относительно t 2 получимt2 =2(θ − θ min ) + O((θ − θ min ) 2 )&&θ0Подставляя во второе, получаем321 2ψ (θ ) = ψ 0 + ψ&&&0  && (θ − θ min )  + K6  θ0Т.е.

полукубическую параболу.г) Здесь ψ& обращается в ноль внутри интервала θ . В верхней части движение направлено вобратную сторону (ψ& меняет знак).с-135ς 0 = 0 . Дополнительный интеграл уравнений ЭйлераСлучай Ковалевской. A = B = 2C ,имеет четвертую степень по p, q, r , γ ξ , γ η , γ ς . Мы этот случай рассматривать не будем.Вопросы к материалу Лекция 17-2.• Геометрическая интерпретация Пуансо движения волчка Эйлера.• Регулярная прецессия в случае Эйлера.• Случай Лагранжа.• Циклические интегралы.• Понижение по Раусу.• Фазовый портрет.• След оси динамической симметрии на сфере.• Регулярная прецессия волчка Лагранжа..