TM-16 (Лекции), страница 2

Все они имеют одинаковую, положительную меру.Если бы они все не пересекались, то мера µ ( M ) была бы бесконечной. Поэтому, для некоторыхk > l ≥ 0 g k ( D) I g l ( D) ≠ ∅ . Следовательно, g k − l ( D) I D ≠ ∅ . Что и требовалось доказать.Замечание. В результате более тонких рассуждений можно показать, что множество тех точек из D , которые бесконечно много раз возвращаются в D измеримо, и его равна мере всего D(см., например П.

Халмош “Эргодическая теория”).Позже мы увидим, что натуральные Лагранжевы (и многие другие) системы имеют инвариантную меру.Пример. Рассмотрим, например, шарик в потенциальной яме. В его фазовом пространствеесть инвариантная мера, пространство некомпактно и его мера бесконечна. Но можно взять поверхность (многообразие) уровня интеграла энергии. Это будет уже компактное пространство. Как мывыше показали на нем также будет инвариантная мера, и все пространство будет иметь конечную меру.

Из теоремы Пуанкаре о возвращении вытекает следующее. Толкнем шарик так, чтоб он не выле-16-Инвариантная мера-5тел из потенциальной ямы. Он начнет совершать движения внутри ямы. Тогда можно запустить шарик из некоторой близкой точки, с близкой скоростью так, что он будет бесконечное число раз возвращаться сколь угодно близко к исходной начальной точке.Пример. В связи с теоремой Пуанкаре о возвращении имеется парадокс. Рассмотрим идеальный газ в сосуде с перегородкой.

Тут есть инвариантная мера. Если газ поместить в одну половину, апотом убрать перегородку, то мы знаем из опыта, что он рассредоточится по всему сосуду. Из теоремы Пуанкаре следует, что почти всегда рано или поздно газ соберется опять в начальную половинусосуда. И это будет бесконечное число раз. Одно из разрешений парадокса состоит в том, что времявозврата может быть очень большим.Вопросы к материалу Лекция 16-1.• Инвариантная мера.• Мера с гладкой плотностью.

Плотность при замене координат.• Теорема Лиувилля об инвариантной мере.• Построение инвариантной меры на многообразии уровней первых интегралов.• Интегрируемость в квадратурах.• Теорема Якоби о последнем множителе.• Теорема Пуанкаре о возвращении..