TM-16 (1159479)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

16-Инвариантная мера-1Лекция 16-1Инвариантная мера.Рассмотрим дифференциальное уравнение x& = f (x) , x ∈ M , где M - гладкое многообразие.Определение. Мера µ на фазовом пространстве M уравнения x& = f (x) , x ∈ M называетсяинвариантной, если для любой области D на M и любого t ∈ R из некоторой окрестности нуля выполнено∫ dµ = ∫ dµ .g t (D)Dгде g t - локальный фазовый поток дифференциального уравнения (т.е.

преобразование сдвига потраекториям).Мы будем рассматривать только меры с гладкой плотностью:dµ = ρ ( x)dx1 ∧ K ∧ dxn , n = dim M , ρ ( x) > 0Напомним, что в других координатах, ( x ↔ y ( x) ), плотность равна ∂y  ∂y  ρ ( x) , где det  - якобиан преобразования ∂x  ∂x ρ y ( y ( x)) = detи∫ ρ dy = ∫ ρ dy = ∫ ρyDyxDxDxy ∂y ( y ( x)) det dx ∂x Отсюда видно, что неравенство ρ ( x) > 0 сохраняется лишь при заменах координат, сохраняющих ориентацию. В сущности важно, что ρ гладкая и знакопостоянная.Теорема.

(Лиувилль) Гладкая функция ρ : M → R является плотностью инвариантной мерыдля уравнения x& = f ( x) тогда и только тогда, когдаdiv( ρf ) = 0(*)(в любых локальных координатах).Напомним, что в координатах x div( g ( x)) =∂g∑ ∂xfi .iЛемма. Пусть B(ε ) - квадратная матрица, непрерывно зависящая от параметра ε , и A квадратная матрицы той же размерности. Тогда, ε → 0а) det( A + εB(ε )) = det A + O(ε ) , или, иначе говоря,det( A + O(ε )) = det A + O(ε )б) det( E + εB (ε )) = 1 + εtr ( B (0)) + O(ε 2 )dв) Существует(det( E + εB(ε ))) = tr ( B(0))dt ε = 0trB - след матрицы B - сумма ее диагональных элементов E - единичная матрица.Доказательство. Поскольку εB(ε ) = O(ε ) , то сразу а) следует из определения определителя.Докажем б).1 + εb11 (0) + O(ε ) K εb1n (0) + O(ε ) KKKdet( A + εB(ε )) = det  εb (0) + O(ε ) K 1 + εb (0) + O(ε ) n1nnВсе члены этого определителя, кроме произведения диагональных элементов дадут O(ε 2 ) . А произведение диагональных элементов таково∏ (1 + εb11(0) + O(ε )) = 1 + ε ∑ bii + O (ε 2 )16-Инвариантная мера-2в) очевидное следствие б).

Лемма доказана.Доказательство теоремы. ρ плотность инвариантной меры ⇔ ∀Dddt∫ ρdx ∧ K ∧ dx1n=0t =0 g t ( D)“Разметим” точки области g t (D) точками области D . Это можно рассматривать как замену координат в области D : x ↔ y ( x) = g t ( x) . Используя формулу замены переменных под интегралом, получаем ∂g t ( x)  ρ ( g t ( x))dx1 ∧ K ∧ dxn∂x∫ ρdx1 ∧ K ∧ dxn = ∫ detg t (D)DСледовательно, ρ плотность инвариантной меры тогда и только тогда, когда  ∂g t ( x) t det  ∂x  ρ ( g ( x))  ≡ 0t =0 ∂g t∂ft2= E + t + O(t 2 ) .

ЗначитТ.к. g ( x) = x + f ( x)t + O(t ) , то∂x∂xt∂g∂f ∂fdet= det  E + t  + O(t 2 ) = 1 + tr t + O(t 2 )∂x∂x ∂xddt∂f∂g t= 1 + t divf + O(t 2 )Поскольку tr= divf , то det∂x∂xt∂f jd   ∂g ( x) ∂ρt det=∑ρ(g(x))f+ρ= divρf∑jdt t =0   ∂x ∂x∂xjjТеорема доказана.Следствие. Если divf = 0 , то мера с постоянной единичной плотностью инвариантна.Замечание. По теореме о выпрямлении векторного поля. Локально в окрестности неособойточки существует бесконечное число инвариантных мер. Далеко не всякая система обладает глобальной инвариантной мерой.

Даже локально в окрестности особой точки инвариантной меры можетне быть.Пример. x& = − xДопустим, есть инвариантная мера с плотностью ρ , тогда 0 =d ( ρ x)dρ=ρ+x. Отсюда, приdxdxx = 0 получаем ρ (0) = 0 . Но ρ ( x) = 0 - является решением этого дифференциального уравнения.По теореме о единственности решения – другого решения нет.Задача.

Докажите, что в нестационарном случае, когдаρ (t , x) инвариантна тогда и только тогда, когда∂ρ+ div( ρf ) ≡ 0∂tx& = f (t , x) . Мера с плотностью(**)Решение. (Решить!!!)Задача. Докажите, что условие (**) эквивалентно условиюdln ρ = divf . Производная беdtрется в силу системы x& = f (t , x) .Решение. (Решить!!!)Задача.

Докажите, что если x 0 - особая точка системы x& = f (t , x) (т.е. f (t , x 0 ) ≡ 0 ), то длясуществования инвариантной меры в ее окрестности необходимо, чтобы divf (t , x 0 ) ≡ 0 .Решение. (Решить!!!)16-Инвариантная мера-3Задача. Выведите из предыдущего утверждения, что у системы &x& = − sin x + αx& при α ≠ 0 неможет быть инвариантной меры.

(Это математический маятник с вязким трением.)Решение. (Решить!!!)Пусть система уравнений имеет первый интеграл F ( x) и инвариантную меру с плотностьюρ . Систему можно ограничить на многообразие (поверхность) уровня этого интегралаM c = {x ∈ M : F ( x) = c = const}Теорема. Если на M c dF ≠ 0 , то ограничение исходной системы на M c имеет инвариантную меру с гладкой плотностью.

Соответствующая дифференциальная (n − 1) -форма есть ограничение на M c формы λ такой, что λ ∧ dF = ρdx1 ∧ K ∧ dxn .Замечание. Указанное равенство определяет λ неоднозначно, с точностью до добавленияформы вида ν ∧ dF , где ν - любая (n − 2) -форма. Но ограничение λ |M c определено однозначно.Доказательство теоремы. Будем считать, что координаты x1 , …, xn выбраны так, чтоxn = F . (Поскольку dF ≠ 0 , то по теореме о неявной функции это можно сделать в окрестности любой точки M c ). Т.к. xn - первый интеграл, то f ( xn ) ≡ 0 .

Уравнение для λ приобретает видλ ∧ dxn = ρdx1 ∧ K ∧ dxn . Следовательно,λ = ρdx1 ∧ K ∧ dxn −1 + ν ∧ dxnx1 , …, xn −1 - локальные координаты на M c .λ |M c = ρdx1 ∧ K ∧ dxn −1 , f |M c = f ( x1 , K, xn −1 ,0)Согласно теореме Лиувилля, для исходной системы div( ρf ) ≡ 0 .

Т.к. xn первый интеграл, то f n ≡ 0 .Поэтомуn −1∂∂(ρ f j ) = ∑(ρ f j )j =1 ∂x jj =1 ∂x jn0≡∑Следовательно, по теореме Лиувилля, λ |M c инвариантна.Задача. Доказать аналогичный факт в случае нескольких независимых первых интегралов.Решение. (Решить!!!)Инвариантная мера и интегрируемость в квадратурах.Определение. Система x& = f (x) называется интегрируемой в квадратурах, если дано семей-ство функций gi (x) , i = 1 ,…, k таких, что любое решение системы может быть получено из этогосемейства с помощью конечного набора алгебраических операций, взятия неявных (обратных) функций, дифференцирований и нахождения первообразных.Утверждение. Если система n -го порядка имеет n − 1 всюду независимых первых интегралов F1 ,…, Fn −1 , то она интегрируема в квадратурах.Доказательство.

Любое решение лежит на некотором совместном уровне интегралов{x ∈ M : F1 = c1 ,K, Fn −1 = cn −1} . В силу независимости интегралов эта гладкая кривая (или некоторыйнабор гладкий кривых). Возьмем кривую, проходящую через начальную точку искомого решения.Она может быть параметризована, например, какой-нибудь координатой x j и находится путем решения системы уравнений F1 = c1 , K , Fn −1 = cn −1 относительно координат xk , k ≠ j . После этого зависимость x j (t ) находится из уравнения x& j = f j ( x1 ( x j ), x2 ( x j ),K, x j ,K xn ( x j )) в котором переменныеразделяются. Затем находятся xk (t ) , k ≠ j .Теорема.

(Якоби) (Теорема Якоби о последнем множителе.) Для интегрирования в квадратурах системы x& = f ( x) , имеющей инвариантную меру с гладкой плотностью ρ ( x) > 0 , достаточноn − 2 независимых первых интеграла.16-Инвариантная мера-4Доказательство. Сначала рассмотрим случай n = 2 . Рассмотрим дифференциальную формуω = − ρf 2 dx1 + ρf1dx2 . Ее дифференциал ∂∂dω = ( ρf 2 ) +( ρf1 ) dx1 ∧ dx2 = div( ρf ) dx1 ∧ dx2 ≡ 0∂x1 ∂x2Форма ω замкнута, значит локально она является дифференциалом некоей функцииω = − ρf 2 dx1 + ρf1dx2 = dF ( x1 , x2 )т.е.∂F∂F= − ρf 2 ,= ρf1∂x2∂x1Функция F - первый интеграл.

Действительно,∂F∂FF& =f1 +f2 = 0∂x1∂x2По предыдущей теореме, система интегрируема в квадратурах.При n > 2 сначала ограничим систему на совместный уровень первых интегралов. Он двумерный и у получившейся системы есть инвариантная мера с гладкой знакопостоянной плотностью.Доказательство завершено.Замечание. Позже мы увидим, что все натуральные Лагранжевы системы обладают инвариантной мерой.Теорема Пуанкаре о возвращении.Пусть M пространство с мерой µ и g : M → M измеримое отображение.Говорят, что отображение g сохраняет меру, если для любого измеримого D ⊆ M , (имеющего конечную меру) выполнено µ ( D) = µ ( g −1 ( D)) .

Где g −1 ( D) - это прообраз D при отображении g .Мы будем рассматривать случай, когда g - это взаимно-однозначное отображение и меравсего M конечна ( µ ( M ) < ∞ ).Пример - g = g τ - сдвиг за время τ вдоль решений системы x& = f ( x) , для которой мера µинвариантна.Часто берут отображение за период, g = g τ если x& = f (t , x) , где зависимость от t периодическая с периодом τ .Рассмотрим теперь последовательность отображений g , g 2 ,…, g n ,…Теорема. (Теорема Пуанкаре о возвращении) Пусть g - взаимно-однозначное отображениеg : M → M , сохраняющее меру и мера всего M конечна.

Тогда для любого подмножестваD ⊆ M , имеющего положительную меру ( µ ( D) > 0 ) существуют точка x ∈ D и натуральное числоn ∈ N такие, что g n ( x) = x . (Т.е. найдется точка которая будет периодически возвращаться в D ).Доказательство.Рассмотрим множества D , g ( D) , g 2 ( D ) .

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций