TM-13 (1159476), страница 2

Файл №1159476 TM-13 (Лекции) 2 страницаTM-13 (1159476) страница 22019-09-18СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

они зависят только от положения и скорости точек системы R j = R j (r1 , K, rn , r&1 ,K , r&n , t ) . И можно говорить,например, о работе этих сил на перемещениях и т.п.Определение. Пусть к точкам системы приложены силы F j . Элементарной работой этих силна виртуальном перемещении (δr1 ,K, δrn ) называется величинаn∑ < F , δrj =1jj>Определение. Связи называются идеальными, если (для любого действительного движениясистемы) элементарная работа реакций связей на любом виртуальном перемещении равна нулю:n∑ < R , δrj =1jj> = 0 , ∀δr - виртуального перемещения.13-Уравнения Лагранжа 1-го и 2-го рода-5Примеры идеальных связей.(1) Математический маятник.< R , δr >= 0(2) Твердое тело.Из третьего закона Ньютона Rij = − R ji . Реакция приложенная к одной точкеR j = ∑ R jiiПредложение. Пусть Rij || ( ri − r j ) . Тогда связи в твердом теле идеальные.Доказательство.

Поскольку ri − r j2= const , то виртуальные перемещения определяютсяуравнениями< ri − r j , δri − δr j >= 0Выписываем элементарную работу реакции связей∑ < R , δrjjj> = ∑ < R ji , δr j > = ∑ < R ji , δr j > + ∑ < R ji , δr j > =iji< ji> j= ∑ < R ji , δr j > + < Rij , δr j > = ∑ < R ji , δr j − δri >= 0i< ji< jЧто и требовалось показать.(3) Шар, катящийся без проскальзывания по шероховатой плоскости.Связь идеальная, т.к.

реакция приложена только к точке касания шара и плоскости (нижней точки).Все виртуальные перемещения для нее – нулевые. δρ = 0 , где δρ - виртуальное перемещение нижней точки.В самом деле, пусть ρ - точка касания шара и плоскости. Условие связи состоит в том, чтоρ& = 0 . По определению виртуальных перемещений δρ = 0 .(4) Движение материальной точки по поверхности.13-Уравнения Лагранжа 1-го и 2-го рода-6Виртуальные перемещения – касательные вектора к поверхности. Следовательно, связь идеальная тогда и только тогда, когда R || n ( n - нормаль к поверхности).

Нормальная компонента Rназывается нормальной реакцией, касательная – силой трения. Связь идеально тогда и только тогда,когда нет трения.Принцип Даламбера-Лагранжа.Утверждение. Если связи наложенные на систему идеальны, то на любом действительномдвижении системы для любого виртуального перемещения δr ∈ R 3n выполненоn∑ < m &r& − F , δrj =1j jjj>=0(*)Доказательство.

Из аксиомы освобождения от связей получаемR j = m j &r&j − F jПодставив это в определение идеальности связей, получим требуемое утверждение.Принцип Даламбера –Лагранжа состоит – это аксиома говорящая, что верно не только прямоеутверждение, но и обратное.Формулировка. Если связи, наложенные на систему идеальны, то кривая r (t ) является действительным движением системы тогда и только тогда, когда в любой момент времени, для любоговиртуального перемещения δr ∈ R 3n выполнено (*).Можно показать, что, если связи невырождены, то из (*) траектория восстанавливается однозначно, если заданы начальные условия.Вопросы к материалу Лекция 13-2.• Реакции связей.• Аксиома освобождения от связей.• Элементарная работа.• Идеальные связи.• Идеальность связей математического маятника.• Идеальность связей твердого тела.• Идеальность связей качения без проскальзывания.• Идеальность движения точки по поверхности.• Принцип Даламбера-Лагранжа.Лекция 13-3Уравнения Лагранжа второго рода.Пусть на систему из n точек наложены голономные связиr = (r1 ,K, rn ) ∈ R 3n , rj = rj (q1 ,K, qk , t ) , j = 1,K, nq = (q1 ,K, qk ) - обобщенные координаты (координаты на поверхности Σt ).k = dim Σt - это число называется числом (количеством) степеней свободы.∂r∂r,K, ∈ R 3 N - линейно независимы – это следствие определения локальОтметим, что векторы∂q1qkных координат на поверхности.13-Уравнения Лагранжа 1-го и 2-го рода-7Скорости точек, выраженные через обобщенные координатыn∂rjk =1∂qlr&j = ∑q&l +∂rj∂tВыражаем кинетическую энергию через обобщенные координаты1 nm j r& 2 = T2 + T1 + T0∑2 j =1где T2 - квадратична по q& , T1 - линейна по q& , T0 - не зависит от q& .T=T2 = ∑∂rjmj∑ ∂q2ll∂rjq&l , ∑∂qllq&l =T1 = ∑ bl (q, t )q&l , bl = ∑ m j <jT0 =∂r1mj j∑2∂t∂r ∂r1ali (q, t )q&l q&i , ali = ∑ m j < j , j >∑2∂ql ∂qij∂rj ∂rj,>∂ql ∂t2Лемма.

Матрица (ali ) положительно определена.Доказательство. Заморозим время и возьмем произвольное виртуальное перемещение с компонентамиδr j = ∑∂rjδql∂qlЕсли не все δql = 0 , то хотя бы один из δrj отличен от нуля. Тогда0<∑m j (δrj ) 22=1∑ aliδqlδqi2Доказательство завершено.Замечание. Еще проще лемма доказывается, если заметить, что матрица (ali ) - это матрицаГрамма векторов∂r∂r,…,∈ R 3n в метрике, задаваемой матрицей масс∂q1∂qk m1m10m10Omn Замечание. Если связи не зависят от времени, то можно считать, что rj = rj (q1 ,K qk ) и тогдаT = T2 .Вопрос.

Почему здесь используется осторожнаяОтвет. Обобщенные координаты локальны.фраза“можносчитать,что”?Движение системы можно задавать в терминах обобщенных координат:ql = ql (t ) , l = 1, K , k , тогда rj = rj (q1 (t ).K , qk (t ), t )Теорема. (Лагранж) Функции q1 (t ).K , qk (t ) задают движение системы тогда и только тогда,когда они удовлетворяют уравнениям Лагранжа второго рода:d ∂T ∂T−= Ql , l = 1, K, kdt ∂q&l ∂qlгде величины13-Уравнения Лагранжа 1-го и 2-го рода-8Ql = ∑ < Fj ,j∂rj>∂qlназываются обобщенными силами.Замечание. При взятии частных производных в уравнениях Лагранжа второго рода T надорассматривать как функцию от 2k + 1 независимых переменных: q, q& , tT = T (q, q& , t )Так, например, если T = q&12 + q16 , то∂T∂T= 2q&1 , и= 6q1 .∂q&1∂q1Доказательство.

Применим принцип Даламбера-Лагранжа (помня, что он является необходимым и достаточным условием)∑ <m &r& − F , δrj jj> = 0 , δr j = ∑jjl∂rj∂qlδql для любых δqВозьмем δq = (0, K , δs,0, K ,0) , где ненулевая компонента имеет номер i , тогда∂rj∑ <m &r& − F , ∂qj jjj> δs = 0iЗначит,∂rj∑ <m &r& , ∂qj jj> = QiiДалее все следует из такой Леммы:Лемма.∂rj∑ <m &r& , ∂qj jj>=ld ∂T ∂T−dt ∂q&l ∂qlДоказательство. Сначала докажем два полезных равенства∂r&j∂q& l=∂r j∂ql• ∂rj  ∂r&j = ∂ql  ∂ql(1)(2)В этих формулах, при взятии частных производных переменные q, q& , t рассматриваются как независимые.Формула (1) сразу следует из того, что r&j =n∂rj∑ ∂qk =1lq&l +∂rj∂t.

Отсюда же видим, что∂ 2 rj∂ 2 rj∂r&d ∂rj=∑q&i += jdt ∂ql∂ql ∂t ∂qlj ∂ql ∂qiЭти и есть (2)Перейдем теперь к доказательству леммы. Имеем•d   m < r& , ∂rj >  − m < r& ,  ∂rj ∑j  dt  j j ∂q  j j  ∂q l l d ∂r& ∂r& = ∑   m j < r&j , j >  − m j < r&j , j >  =∂q&l ∂ql j  dt mj & &  ∂  mj & & d  ∂∑= < rj , rj >  −< rj , rj > ∑2dt  ∂q&l j 2q∂jl ∂r∑j <m j &r&j , ∂qj > =l> =Доказательство леммы завершено.

Тем самым, и доказательство теоремы завершено.13-Уравнения Лагранжа 1-го и 2-го рода-9Итак, для составления уравнений Лагранжа второго рода нужно1) Ввести обобщенные координаты q = (q1 , K , qk ) , через которые выражаются абсолютныекоординаты точек системы.2) Найти кинетическую энергию системы в обобщенных координатах T = T (q, q& , t ) .3) Найти обобщенные силы< Fj , δrj > = Qlδql , Ql = Ql (q, t )∑∑4) Выписать уравненияd ∂T ∂T= Ql , l = 1, K , k−dt ∂q&l ∂qlВ случае потенциальных сил выразим потенциал через обобщенные координаты V = V (q, t ) .Тогда имеем∑ < F , δrj− ∑∑ <jlЗначит,Ql = −j> = −∑ <∂r∂V, ∑ j δql > =∂rj l ∂ql∂V∂V ∂rj,δql > = −∑δql =∂rj ∂qll ∂ql∑ Q δqll∂V (q, t )∂qlУравнения Лагранжа принимают видd ∂L ∂L=0−dt ∂q& ∂qгдеL = T (q, q& , t ) − V (q, t )Функция L(q, q& , t ) называется лагранжианом.Пример.

Физический маятник.T=1I zϕ& 2 , V = − mgl cos ϕ2Уравнения ЛагранжаI zϕ&& = −mgl sin ϕДва утверждения про обобщенные силы.Утверждение 1. Пусть одна из обобщенных координат – это угол поворота ϕ системы какодного целого вокруг неподвижной оси l , проходящей через начало абсолютной системы координатO .

Тогда обобщенная сила Qϕ - это момент внешних активных сил в системе, относительно оси l .Доказательство. Действительно, повороту δϕ соответствует виртуальное перемещение скомпонентами13-Уравнения Лагранжа 1-го и 2-го рода-10δr j = [el , r j ]δϕ , j = 1, K, n( r j имеет начало в точке O ∈ l ). Следовательно компоненты общего виртуального перемещения таковы:Значитδrj = [el , rj ]δϕ + (K)δq2 + K + (K)δqk∑ < F , δrjj> = ∑ < el , [rj , Fj ] > δϕ + (K)δq2 + K + (K)δqkjДоказательство завершено.Утверждение 2. Пусть x - координата центра масс системы на оси Ox - выбрана, как однаиз обобщенных координат.

Тогда обобщенная сила Qx - это сумма внешних активных сил в системе,в проекции на ось Ox .Доказательство. Действительно, смещению δ x соответствует виртуальное перемещение скомпонентами (Решить!!!)Вопросы к материалу Лекция 13-3.• Уравнения Лагранжа второго рода. Обобщенные силы.• Случай потенциальных сил. Лагранжиан.• Два утверждения о механическом смысле обобщенных сил.Лекция 13-4Первые интегралы уравнений Лагранжа второго рода.Рассмотрим уравнения Лагранжа в потенциальном случае.d ∂L ∂L= 0 , q = (q1 , K , qk )−dt ∂q& ∂q(*)(1) Интеграл Якоби.Утверждение.

Пусть L не зависит явно от t . Тогда функция H =<∂L, q& > − L является∂q&первым интегралом уравнений Лагранжа.Замечание. Этот интеграл называется обобщенным интегралом энергии или интегралом Якоби. Поясним это название. Пусть L = T2 + T1 + T0 − V . Тогда по теореме Эйлера об однородныхфункциях<∂Ts, q& >= sTs∂qЗначитH = 2T2 + T1 − T2 − T1 − T0 + V = T2 − T0 + VВ случае, когда связи не зависят от времени, имеем T = T2 . Тогда H = T + V - это простополная энергия системы в обычном смысле.Доказательство утверждения. Проводим прямые вычисления.dd ∂LdH = I − II , I = <, q& > , II = Ldtdtdt ∂q&∂L= 0 находимИз (*), используя то, что∂td ∂L∂L∂Ld∂LI =<, q& > + <, q&& >=<, q& > + <, q&& > = L = IIdt ∂q&∂q&∂q∂q&dtДоказательство завершено.(2) Циклические координаты и интегралы.13-Уравнения Лагранжа 1-го и 2-го рода-11Рассмотрим систему с k степенями свободы и ланранжевыми координатами q ∈ R k .

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
367,49 Kb
Материал
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Лекции
01-Введение
02-Кинематика точки
03-Кинематика твердого тела
04-Относительное движение
05-Ньютонова механика
06-Учение о связях
07-Общие теоремы динамики для систем со связями
08-Общие теоремы динамики в относительном движении
09-Динамика и статика свободного твердого тела
10-Динамика материальной точки
11-Небесная механика
12-Силы инерции
13-Уравнения Лагранжа 1-го и 2-го рода
14-Вариационные принципы Симметрии
15-Устойчивость положений равновесия Малые колебания
Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6499
Авторов
на СтудИзбе
303
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее