TM-13 (Лекции), страница 2

они зависят только от положения и скорости точек системы R j = R j (r1 , K, rn , r&1 ,K , r&n , t ) . И можно говорить,например, о работе этих сил на перемещениях и т.п.Определение. Пусть к точкам системы приложены силы F j . Элементарной работой этих силна виртуальном перемещении (δr1 ,K, δrn ) называется величинаn∑ < F , δrj =1jj>Определение. Связи называются идеальными, если (для любого действительного движениясистемы) элементарная работа реакций связей на любом виртуальном перемещении равна нулю:n∑ < R , δrj =1jj> = 0 , ∀δr - виртуального перемещения.13-Уравнения Лагранжа 1-го и 2-го рода-5Примеры идеальных связей.(1) Математический маятник.< R , δr >= 0(2) Твердое тело.Из третьего закона Ньютона Rij = − R ji . Реакция приложенная к одной точкеR j = ∑ R jiiПредложение. Пусть Rij || ( ri − r j ) . Тогда связи в твердом теле идеальные.Доказательство.

Поскольку ri − r j2= const , то виртуальные перемещения определяютсяуравнениями< ri − r j , δri − δr j >= 0Выписываем элементарную работу реакции связей∑ < R , δrjjj> = ∑ < R ji , δr j > = ∑ < R ji , δr j > + ∑ < R ji , δr j > =iji< ji> j= ∑ < R ji , δr j > + < Rij , δr j > = ∑ < R ji , δr j − δri >= 0i< ji< jЧто и требовалось показать.(3) Шар, катящийся без проскальзывания по шероховатой плоскости.Связь идеальная, т.к.

реакция приложена только к точке касания шара и плоскости (нижней точки).Все виртуальные перемещения для нее – нулевые. δρ = 0 , где δρ - виртуальное перемещение нижней точки.В самом деле, пусть ρ - точка касания шара и плоскости. Условие связи состоит в том, чтоρ& = 0 . По определению виртуальных перемещений δρ = 0 .(4) Движение материальной точки по поверхности.13-Уравнения Лагранжа 1-го и 2-го рода-6Виртуальные перемещения – касательные вектора к поверхности. Следовательно, связь идеальная тогда и только тогда, когда R || n ( n - нормаль к поверхности).

Нормальная компонента Rназывается нормальной реакцией, касательная – силой трения. Связь идеально тогда и только тогда,когда нет трения.Принцип Даламбера-Лагранжа.Утверждение. Если связи наложенные на систему идеальны, то на любом действительномдвижении системы для любого виртуального перемещения δr ∈ R 3n выполненоn∑ < m &r& − F , δrj =1j jjj>=0(*)Доказательство.

Из аксиомы освобождения от связей получаемR j = m j &r&j − F jПодставив это в определение идеальности связей, получим требуемое утверждение.Принцип Даламбера –Лагранжа состоит – это аксиома говорящая, что верно не только прямоеутверждение, но и обратное.Формулировка. Если связи, наложенные на систему идеальны, то кривая r (t ) является действительным движением системы тогда и только тогда, когда в любой момент времени, для любоговиртуального перемещения δr ∈ R 3n выполнено (*).Можно показать, что, если связи невырождены, то из (*) траектория восстанавливается однозначно, если заданы начальные условия.Вопросы к материалу Лекция 13-2.• Реакции связей.• Аксиома освобождения от связей.• Элементарная работа.• Идеальные связи.• Идеальность связей математического маятника.• Идеальность связей твердого тела.• Идеальность связей качения без проскальзывания.• Идеальность движения точки по поверхности.• Принцип Даламбера-Лагранжа.Лекция 13-3Уравнения Лагранжа второго рода.Пусть на систему из n точек наложены голономные связиr = (r1 ,K, rn ) ∈ R 3n , rj = rj (q1 ,K, qk , t ) , j = 1,K, nq = (q1 ,K, qk ) - обобщенные координаты (координаты на поверхности Σt ).k = dim Σt - это число называется числом (количеством) степеней свободы.∂r∂r,K, ∈ R 3 N - линейно независимы – это следствие определения локальОтметим, что векторы∂q1qkных координат на поверхности.13-Уравнения Лагранжа 1-го и 2-го рода-7Скорости точек, выраженные через обобщенные координатыn∂rjk =1∂qlr&j = ∑q&l +∂rj∂tВыражаем кинетическую энергию через обобщенные координаты1 nm j r& 2 = T2 + T1 + T0∑2 j =1где T2 - квадратична по q& , T1 - линейна по q& , T0 - не зависит от q& .T=T2 = ∑∂rjmj∑ ∂q2ll∂rjq&l , ∑∂qllq&l =T1 = ∑ bl (q, t )q&l , bl = ∑ m j <jT0 =∂r1mj j∑2∂t∂r ∂r1ali (q, t )q&l q&i , ali = ∑ m j < j , j >∑2∂ql ∂qij∂rj ∂rj,>∂ql ∂t2Лемма.

Матрица (ali ) положительно определена.Доказательство. Заморозим время и возьмем произвольное виртуальное перемещение с компонентамиδr j = ∑∂rjδql∂qlЕсли не все δql = 0 , то хотя бы один из δrj отличен от нуля. Тогда0<∑m j (δrj ) 22=1∑ aliδqlδqi2Доказательство завершено.Замечание. Еще проще лемма доказывается, если заметить, что матрица (ali ) - это матрицаГрамма векторов∂r∂r,…,∈ R 3n в метрике, задаваемой матрицей масс∂q1∂qk m1m10m10Omn Замечание. Если связи не зависят от времени, то можно считать, что rj = rj (q1 ,K qk ) и тогдаT = T2 .Вопрос.

Почему здесь используется осторожнаяОтвет. Обобщенные координаты локальны.фраза“можносчитать,что”?Движение системы можно задавать в терминах обобщенных координат:ql = ql (t ) , l = 1, K , k , тогда rj = rj (q1 (t ).K , qk (t ), t )Теорема. (Лагранж) Функции q1 (t ).K , qk (t ) задают движение системы тогда и только тогда,когда они удовлетворяют уравнениям Лагранжа второго рода:d ∂T ∂T−= Ql , l = 1, K, kdt ∂q&l ∂qlгде величины13-Уравнения Лагранжа 1-го и 2-го рода-8Ql = ∑ < Fj ,j∂rj>∂qlназываются обобщенными силами.Замечание. При взятии частных производных в уравнениях Лагранжа второго рода T надорассматривать как функцию от 2k + 1 независимых переменных: q, q& , tT = T (q, q& , t )Так, например, если T = q&12 + q16 , то∂T∂T= 2q&1 , и= 6q1 .∂q&1∂q1Доказательство.

Применим принцип Даламбера-Лагранжа (помня, что он является необходимым и достаточным условием)∑ <m &r& − F , δrj jj> = 0 , δr j = ∑jjl∂rj∂qlδql для любых δqВозьмем δq = (0, K , δs,0, K ,0) , где ненулевая компонента имеет номер i , тогда∂rj∑ <m &r& − F , ∂qj jjj> δs = 0iЗначит,∂rj∑ <m &r& , ∂qj jj> = QiiДалее все следует из такой Леммы:Лемма.∂rj∑ <m &r& , ∂qj jj>=ld ∂T ∂T−dt ∂q&l ∂qlДоказательство. Сначала докажем два полезных равенства∂r&j∂q& l=∂r j∂ql• ∂rj  ∂r&j = ∂ql  ∂ql(1)(2)В этих формулах, при взятии частных производных переменные q, q& , t рассматриваются как независимые.Формула (1) сразу следует из того, что r&j =n∂rj∑ ∂qk =1lq&l +∂rj∂t.

Отсюда же видим, что∂ 2 rj∂ 2 rj∂r&d ∂rj=∑q&i += jdt ∂ql∂ql ∂t ∂qlj ∂ql ∂qiЭти и есть (2)Перейдем теперь к доказательству леммы. Имеем•d   m < r& , ∂rj >  − m < r& ,  ∂rj ∑j  dt  j j ∂q  j j  ∂q l l d ∂r& ∂r& = ∑   m j < r&j , j >  − m j < r&j , j >  =∂q&l ∂ql j  dt mj & &  ∂  mj & & d  ∂∑= < rj , rj >  −< rj , rj > ∑2dt  ∂q&l j 2q∂jl ∂r∑j <m j &r&j , ∂qj > =l> =Доказательство леммы завершено.

Тем самым, и доказательство теоремы завершено.13-Уравнения Лагранжа 1-го и 2-го рода-9Итак, для составления уравнений Лагранжа второго рода нужно1) Ввести обобщенные координаты q = (q1 , K , qk ) , через которые выражаются абсолютныекоординаты точек системы.2) Найти кинетическую энергию системы в обобщенных координатах T = T (q, q& , t ) .3) Найти обобщенные силы< Fj , δrj > = Qlδql , Ql = Ql (q, t )∑∑4) Выписать уравненияd ∂T ∂T= Ql , l = 1, K , k−dt ∂q&l ∂qlВ случае потенциальных сил выразим потенциал через обобщенные координаты V = V (q, t ) .Тогда имеем∑ < F , δrj− ∑∑ <jlЗначит,Ql = −j> = −∑ <∂r∂V, ∑ j δql > =∂rj l ∂ql∂V∂V ∂rj,δql > = −∑δql =∂rj ∂qll ∂ql∑ Q δqll∂V (q, t )∂qlУравнения Лагранжа принимают видd ∂L ∂L=0−dt ∂q& ∂qгдеL = T (q, q& , t ) − V (q, t )Функция L(q, q& , t ) называется лагранжианом.Пример.

Физический маятник.T=1I zϕ& 2 , V = − mgl cos ϕ2Уравнения ЛагранжаI zϕ&& = −mgl sin ϕДва утверждения про обобщенные силы.Утверждение 1. Пусть одна из обобщенных координат – это угол поворота ϕ системы какодного целого вокруг неподвижной оси l , проходящей через начало абсолютной системы координатO .

Тогда обобщенная сила Qϕ - это момент внешних активных сил в системе, относительно оси l .Доказательство. Действительно, повороту δϕ соответствует виртуальное перемещение скомпонентами13-Уравнения Лагранжа 1-го и 2-го рода-10δr j = [el , r j ]δϕ , j = 1, K, n( r j имеет начало в точке O ∈ l ). Следовательно компоненты общего виртуального перемещения таковы:Значитδrj = [el , rj ]δϕ + (K)δq2 + K + (K)δqk∑ < F , δrjj> = ∑ < el , [rj , Fj ] > δϕ + (K)δq2 + K + (K)δqkjДоказательство завершено.Утверждение 2. Пусть x - координата центра масс системы на оси Ox - выбрана, как однаиз обобщенных координат.

Тогда обобщенная сила Qx - это сумма внешних активных сил в системе,в проекции на ось Ox .Доказательство. Действительно, смещению δ x соответствует виртуальное перемещение скомпонентами (Решить!!!)Вопросы к материалу Лекция 13-3.• Уравнения Лагранжа второго рода. Обобщенные силы.• Случай потенциальных сил. Лагранжиан.• Два утверждения о механическом смысле обобщенных сил.Лекция 13-4Первые интегралы уравнений Лагранжа второго рода.Рассмотрим уравнения Лагранжа в потенциальном случае.d ∂L ∂L= 0 , q = (q1 , K , qk )−dt ∂q& ∂q(*)(1) Интеграл Якоби.Утверждение.

Пусть L не зависит явно от t . Тогда функция H =<∂L, q& > − L является∂q&первым интегралом уравнений Лагранжа.Замечание. Этот интеграл называется обобщенным интегралом энергии или интегралом Якоби. Поясним это название. Пусть L = T2 + T1 + T0 − V . Тогда по теореме Эйлера об однородныхфункциях<∂Ts, q& >= sTs∂qЗначитH = 2T2 + T1 − T2 − T1 − T0 + V = T2 − T0 + VВ случае, когда связи не зависят от времени, имеем T = T2 . Тогда H = T + V - это простополная энергия системы в обычном смысле.Доказательство утверждения. Проводим прямые вычисления.dd ∂LdH = I − II , I = <, q& > , II = Ldtdtdt ∂q&∂L= 0 находимИз (*), используя то, что∂td ∂L∂L∂Ld∂LI =<, q& > + <, q&& >=<, q& > + <, q&& > = L = IIdt ∂q&∂q&∂q∂q&dtДоказательство завершено.(2) Циклические координаты и интегралы.13-Уравнения Лагранжа 1-го и 2-го рода-11Рассмотрим систему с k степенями свободы и ланранжевыми координатами q ∈ R k .