TM-13 (1159476), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Пустьлагранжиан системы - L(q, q& , t ) . Координата qi называется циклической, есливии с уравнениями Лагранжа второго рода имеемветствует первый интеграл движенияПустькоординаты∂L≡ 0 . В соответст∂qid ∂L= 0 . Значит, циклической координате соотdt ∂q&i∂L= β i , который называется циклическим интегралом.∂q&iqC = (ql +1 , ql + 2 ,...qk )циклические.ОстальныекоординатыqП = (q1 , q2 ,...ql ) называются позиционными. Лагранжиан имеет вид L(qΠ , q&Π , q&c ) . Циклическим ко∂L= β , β ∈ R l . Будем предполагать, чтоординатам соответствуют первые интегралы движения∂q& Πу нас невырожденный случай, и нам удалось разрешить эту систему уравнений относительно циклических скоростей: q&c = q&c (qΠ , q&Π , β ) .
Составим функцию Рауса R (qΠ , q&Π , β ) = L − βq&c , в которойвезде подставлено q&c = q&c (qΠ , q&Π , β ) .Теорема. (Раус) Переменные qП = (q1 , q2 ,...ql ) удовлетворяют уравнениям Лагранжа второгорода с лагранжианом RПолучаем∂R∂L ∂L ∂q&c∂q&∂L∂L∂q&=+−β c =+(− β) c∂q&Π∂q&Π ∂q&Π ∂q&c ∂q&Π∂q&Π ∂q&Π∂q&c∂L∂R∂L= β , получаем отсюда=.
АналогичноВспоминая, что∂q& Π ∂q& Π∂q&C∂L ∂L ∂q&c∂R∂q&∂L∂L∂q&∂L=+−β c =+(− β) c =∂qΠ ∂qΠ ∂q&c ∂qΠ∂q&Π ∂qΠ∂q&c∂qΠ ∂qΠЗначит, можно рассмотреть систему с координатами qΠ и лагранжианом R движение системы будетописываться уравнениями Лангранжа второго родаd ∂R∂R−=0dt ∂q&Π ∂qΠДоказательство завершено.Система с координатами qΠ и лагранжианом R называется приведенной системой. Поскольку число степеней свободы приведенной системы меньше исходного (на число циклических координат), то метод Рауса называется также понижением поряка системы по Раусу.
Или игнорированиемциклических координат по Раусу.Пример. Движение по поверхности вращения.Пусть ось симметрии вертикальна. Обобщенные координаты h - высота, ϕ - полярный угол.Обозначим расстояние до оси симметрии r = r (h) . m - масса точки.Кинетическая энергия T =mv 2. Выражаем через обобщенные координаты.213-Уравнения Лагранжа 1-го и 2-го рода-12Заметим, что в цилиндрических координатах r , ϕ , h модуль скорости точки выражается следующим образом: v 2 = h& 2 + r& 2 + (rϕ& ) 2 .
В самом деле,x = r cos ϕ , y = r sin ϕ , z = hx& = r& cos ϕ − rϕ& sin ϕ , y& = r& sin ϕ + rϕ& cos ϕ , z& = hv 2 = x& 2 + y& 2 + z& 2 = h& 2 + r& 2 + (rϕ& ) 2В нашем случае r = r (h) . Поэтомуv 2 = h& 2 + r ′2 h& 2 + (rϕ& ) 2Внешние силы – поле сил тяжести. Значит,L=mv 2m− V = [(1 + r ′2 )h& 2 + r 2ϕ& 2 ] − mgh22Замечаем, что ϕ - циклическая переменная. Находим циклический интеграл∂L= mr 2ϕ& = c∂ϕ&Это интеграл момента количества движения (кинетического момента). Выражаем скорость циклической переменной через все остальноеϕ& =cmr 2Строим функцию Раусаmcc[(1 + r ′2 )h& 2 + r 2 ( 2 ) 2 ] − mgh − c 2 =mr2mr2mc= (1 + r ′2 )h& 2 − mgh −22mr 2R = L − cϕ& =Мы перешли к системе с одной степенью свободы.
У нее есть первый интеграл – обобщенный интеграл энергииmc2(1 + r ′2 )h& 2 + mgh += c022mr 2(*)В исходной системе был интеграл энергииm[(1 + r ′ 2 )h& 2 + r 2ϕ& 2 ] − mgh = c02c, получим (*). Значит обобщенный интеграл энергии в приведенной систеПодставив сюда ϕ& =mr 2ме – равен полной энергии исходной системы.Следствие. Область возможности движения (ОВД) в приведенной системеc2≥0c0 − mgh −2mr 2Видим, что в области со слишком малым r траектория не заходит (если c ≠ 0 ).Задача. Нарисовать фазовый портрет приведенной системы (на плоскости (h, h&) .Решение.
(Решить!!!)Преобразования лагранжиана, сохраняющие уравнения.Отметим, что исходный лагранжиан можно изменить так, что уравнения Лагранжа второгорода не изменятся. Такие преобразования называются калибровкой лагранжиана. Они помогают упростить лагранжиан. Приведем примеры таких преобразований.а) L → cL , c = const ≠ 0 - тривиальноб) L → L + c , c = const - тривиально∂f∂fq& +в) L → L + f& (q, t ) . В самом деле, f = f (q, t ) , f& =∂q∂t13-Уравнения Лагранжа 1-го и 2-го рода-13Замечаем теперь, чтоd ∂f& ∂f& d ∂f ∂ 2 f∂2 f−= − 2 q& +=0∂t∂qdt ∂q& ∂q dt ∂q ∂qв) доказано.Явный вид уравнений Лагранжа.Пусть связи стационарны и rk = rk (q ) . Тогда T = T2 =∂T= ∑ aij q& j .
Дифференцируя по t , получаем∂q&j1∑ a jl q& j q&l и a jl = alj , поэтому2∂ad ∂T= ∑ aij q&&j + ∑ ij q& j q&kdt ∂q&jj , k ∂qkЗамечаем, что∂aij∑ ∂qj ,kq& j q&k =k1 ∂aij ∂aik+∑2 j , k ∂qk ∂q jq& j q&kи∂T 1 ∂a jl= ∑q& j q&l∂qi 2 j ,l ∂qiВыписываем уравнения Лагранжа в явном виде∑ a q&&ijjj+1 ∂aij ∂aik ∂a jk+−∑2 j , k ∂qk ∂q j ∂qiq& j q&k = Qi (*)siПусть a - матрица обратная к aij , так, что∑asiaij = δ js - символ КронекераiДомножив (*) на обратную матрицу, получимq&&s + Γjks q& j q&k = a siQi(**)∑∑j,kiГде величиныΓjks = ∂a∂a1∂aa si ij + ik − jk∑ ∂q2 i k ∂q j ∂qiназываются символами Кристоффеля Римановой метрики (см.
Дифф. Геомктрию)2Tdt 2 = ds 2 = a jk dq j dqk(***)∑Если обобщенные силы отсутствуют: Q = 0 , то уравнения движения приобретают видq&&s + ∑ Γjks q& j q&k = 0j ,kт.е. движение происходит по геодезическим метрики ds . Иногда ее называют кинетической метрикой.Замечание. Мы заодно показали, что уравнения Лагранжа однозначно разрешаются относительно старших производных.Задача. Показать, что Лагранжева производная – ковектор.(Обсудить!!!)Вопросы к материалу Лекция 13-4.• Первые интегралы уравнений Лагранжа второго рода.• Обобщенный интеграл энергии. Интеграл Якоби.13-Уравнения Лагранжа 1-го и 2-го рода-14••••••Циклические координаты и интегралы.Теорема Рауса.Преобразования лагранжиана, сохраняющие уравнения.
Калибровка.Явный вид уравнений Лагранжа.Символы Кристоффеля. Кинетическая метрика. Геодезические.Разрешимость уравнений Лагранжа относительно старших производных.Лекция 13-5Первые интегралы уравнений Лагранжа второго рода.Рассмотрим уравнения Лагранжа в потенциальном случае.d ∂L ∂L−= 0 , q = (q1 , K , qk )dt ∂q& ∂q(*)(1) Интеграл Якоби.Утверждение. Пусть L не зависит явно от t . Тогда функция H =<∂L, q& > − L является∂q&первым интегралом уравнений Лагранжа.Замечание. Этот интеграл называется обобщенным интегралом энергии или интегралом Якоби.
Поясним это название. Пусть L = T2 + T1 + T0 − V . Тогда по теореме Эйлера об однородныхфункциях<∂Ts, q& >= sTs∂qЗначитH = 2T2 + T1 − T2 − T1 − T0 + V = T2 − T0 + VВ случае, когда связи не зависят от времени, имеем T = T2 . Тогда H = T + V - это простополная энергия системы в обычном смысле.Доказательство утверждения. Проводим прямые вычисления.d ∂LddH = I − II , I = <, q& > , II = Ldtdt ∂q&dt∂LИз (*), используя то, что= 0 находим∂td ∂L∂Ld∂L∂LI =<, q& > + <, q&& >=<, q& > + <, q&& > = L = IIdt ∂q&∂q&dt∂q∂q&Доказательство завершено.(2) Циклические координаты и интегралы.Рассмотрим систему с k степенями свободы и ланранжевыми координатами q ∈ R k .
Пустьлагранжиан системы - L(q, q& , t ) . Координата qi называется циклической, есливии с уравнениями Лагранжа второго рода имеемветствует первый интеграл движенияПустькоординаты∂L≡ 0 . В соответст∂qid ∂L= 0 . Значит, циклической координате соотdt ∂q&i∂L= β i , который называется циклическим интегралом.∂q&iqC = (ql +1 , ql + 2 ,...qk )циклические.ОстальныекоординатыqП = (q1 , q2 ,...ql ) называются позиционными. Лагранжиан имеет вид L(qΠ , q&Π , q&c ) . Циклическим ко-13-Уравнения Лагранжа 1-го и 2-го рода-15ординатам соответствуют первые интегралы движения∂L=β,∂q& Πβ ∈ R l .
Будем предполагать, чтоу нас невырожденный случай, и нам удалось разрешить эту систему уравнений относительно циклических скоростей: q&c = q&c (qΠ , q&Π , β ) . Составим функцию Рауса R (qΠ , q&Π , β ) = L − βq&c , в которойвезде подставлено q&c = q&c (qΠ , q&Π , β ) .Теорема. (Раус) Переменные qП = (q1 , q2 ,...ql ) удовлетворяют уравнениям Лагранжа второгорода с лагранжианом RПолучаем∂R∂L ∂L ∂q&c∂q&∂L∂L∂q&=+−β c =+(− β) c∂q&Π ∂q&Π ∂q&c ∂q&Π∂q&Π ∂q&Π∂q&c∂q&Π∂L∂R∂L= β , получаем отсюда=.
АналогичноВспоминая, что∂q& Π ∂q& Π∂q&C∂R∂L ∂L ∂q&c∂q&∂L∂L∂q&∂L=−β c =++(− β) c =∂qΠ ∂qΠ ∂q&c ∂qΠ∂q&Π ∂qΠ∂q&c∂qΠ ∂qΠЗначит, можно рассмотреть систему с координатами qΠ и лагранжианом R движение системы будетописываться уравнениями Лангранжа второго родаd ∂R ∂R−=0dt ∂q&Π ∂qΠДоказательство завершено.Система с координатами qΠ и лагранжианом R называется приведенной системой. Поскольку число степеней свободы приведенной системы меньше исходного (на число циклических координат), то метод Рауса называется также понижением поряка системы по Раусу. Или игнорированиемциклических координат по Раусу.Пример. Движение по поверхности вращения.Пусть ось симметрии вертикальна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
