TM-13 (Лекции)

13-Уравнения Лагранжа 1-го и 2-го рода-1Лекция 13-1Учение о связях.Пусть механическая система состоит из n точек. Её положение характеризуется радиусвекторами r1 ,K, rn . Часто оказывается, что эти векторы зависимы, т.е. выполняются равенства видаf s (r1 ,K, rn , t ) = 0 , s = 1,2,K, k(*)В этом случае говорят, что на систему наложены голономные или интегрируемые связи. Иногда такиесвязи называются геометрическими.

Мы, конечно будем считать, что функции (*) достаточно гладкие.Примеры.(1) Математический маятникx2 + y 2 + z 2 = l 2Две связи: y = 0(2) Невесомый твердый стержень, на концах которого две материальные точкиОдна связь: ( x1 − x2 ) 2 + ( y1 − y2 ) 2 + ( z1 − z2 ) 2 = l 2(3) Движение материальной точки по поверхности Λ .Одна связь – уравнение поверхности: λ ( x, y, z ) = 0 .Координаты точек образуют пространство R 3n .

В пространстве R 3n решения уравнений (*)образуют пространство положений системы или конфигурационное пространство.Если связи невырождены, т.е.∂ ( f1 , K , f k )=k(**)∂ ( x1 , y1 , K, z n )то (в каждый момент времени t ) пространство положений – это (3n − k ) -мерное гладкое многообразие Σ t , возможно зависящее от времени. В связи с этим, иногда употребляется термин конфигурациrankонное многообразие.Задача. Доказать, что Σt – гладкое (3n − k ) -мерное многообразие.В частности, в примерах:(1) Σ t – окружность S 1 в R 3 .(2) Σ t – поверхность второго порядка (цилиндр) в R 6 .(3) Σt = Λ ⊂ R 3 .Локально, в пределах координатной окрестности Σt задается в видеr1 = r1 (q1 ,K , qm , t )(***)K Kr = r ( q , K , q , t )mn n 1где (q1 ,K, q m ) - локальные координаты на Σt .13-Уравнения Лагранжа 1-го и 2-го рода-2Пример.

В частности, если связей вообще нет, то Σ t = R 3n и (q1 ,K, qm ) = ( x1 , y1 ,K, z n ) .В случае невырожденных связей (**) имеем m = 3n − k и (q1 ,K, q m ) называются обобщенными координатами (иногда лагранжевыми координатами). Число m носит название число степеней свободы системы оно равно размерности многообразия Σ t . Положение системы взаимнооднозначно задается обобщенными координатами (q1 ,K, qm ) . Для краткости записи будем использоватьвектор обобщенных координат q = (q1 , K, qm ) .Связи зазываются стационарными или склерономными, если Σt не зависит от t .

В противномслучае (иногда) связи называются реономными.Замечание. Пусть на систему с обобщенными координатами (q1 ,K, q m ) наложена новаясвязь, представленная в виде g (q1 ,K, q m , t ) = 0 . При этом (q1 ,K, qm ) перестают быть обобщенными координатами (их слишком много).Виртуальные перемещения.Зафиксируем момент времени t и возьмем точку Q на Σ t . Пусть ее обобщенные координаты(q1 ,K, qm ) получили приращение (δq1 ,K, δqm ) . Тогда из (***) линейная часть приращения вектораr j равнаδr j =∂r jδq1 + K +∂r jδq m(4*)∂q1∂qmНабор чисел (δr1 ,K, δrn ) называется виртуальным перемещением точек системы его можно рассматривать, как координаты вектора в R 3n . Поскольку тождественно выполняетсяf s (r1 (q , t ),K, rn (q , t ), t ) ≡ 0 , s = 1,2,K, kто (δr1 ,K, δrn ) из (4*) удовлетворяют уравнениям∂f1∂f1=++rfδδKδrn = 011∂r1∂rn(5*)K K∂f∂fδf k = k δr1 + K + k δrn = 0∂r1∂rnЗначит, вектор (δr1 ,K, δrn ) является касательным к Σ t в точке Q (в фиксированный момент t ).Определение.

Пространством виртуальных перемещений в точке Q ∈ Σ t в момент времени tназывается пространство касательных векторов к Σt в этой точке и в этот момент времени.Выражения (5*) можно рассматривать как дифференциалы функций f j при замороженномвремени. Символ δ используется вместо d , чтобы указать на фиксацию времени.

Пространство виртуальных перемещений – это пространство векторов обнуляющих эти дифференциалы.Иногда виртуальные перемещения мыслятся как бесконечно малые смещения по конфигурационному многообразию Σt , при фиксированном t .В силу (**) имеется 3n − k линейно независимых виртуальных перемещений. Т.е. касательное пространство к Σ t имеет размерность 3n − k .Примеры.(1) В первом примере (см. выше) связь задается уравнением r2= l 2 , значит виртуальныеперемещения задаются условиями < r , δr >= 0 .

Можно выбрать в качестве обобщенной координатыугловую:r = (l sin ϕ ,0,−l cos ϕ )13-Уравнения Лагранжа 1-го и 2-го рода-3тогдаδr = (l cos ϕδϕ ,0, l sin ϕδϕ ) = leϕ δϕгде eϕ - единичный касательный вектор к окружности, по которой двигается точка.Неголономные (неинтегрируемые) связи.В классической механике встречаются ситуации, когда ограничения типа равенств наложеныне только на положения системы, но и на скорости.

Мы будем рассматривать самый распространенный случай, когда соответствующие равенства оказываются линейными по скоростям, т.е. имеют видm∑ a ( q , K, ql =1l1m, t )q& l + b (q1 ,K, qm , t ) = 0(+++)где al и b - вектор-функции, а (q1 ,K, qm ) - обобщенные координаты. Если нет других связей, томожно взять q = (r1 ,K, rn ) .Заметим, что обычная (голономная) связь может всегда быть представлена в виде (+++).

Действительно, из f (r1 ,K, rn ) = 0 следуетn∂f & ∂f=0rl +∂tl∑ ∂rl =1Заметим, что из этого равенства следует, что f (r1 ,K, rn ) = const .Определение. Если связь (+++) не приводится к виду f (q , t ) = const , то она называется неинтегрируемой, или неголономной.Замечание. В связи с этим определением голономные связи иногда называются интегрируемыми.Реально доказать, что данная связь неинтегрируема обычно непросто.Пример 1. Связьx&y&z&+ += 0 интегрируемая (для доказательства этого надо домножитьyz xz xyее на xyz ).Пример 2. Конек Чаплыгина (или Сани Чаплыгина).Конек Чаплыгина – это диск на льду, опирающийся на полукруглое лезвие в своем центр.Связь состоит в том, что скорость центра диска параллельна лезвию.Пусть ( x, y ) - координаты центра диска, ϕ - угол поворота диска. ( x, y, ϕ ) - обобщенные координаты.

Связь состоит в том, что векторы ( x& , y& ) и (cos ϕ , sin ϕ ) параллельны, т.е., чтоx& sin ϕ − y& cos ϕ = 0Утверждение. Указанная связь – неинтегрируемая.Доказательство. Предположим, что связь приводится к виду f ( x, y, ϕ ) = const . Это означает, что из данного положения ( x0 , y0 , ϕ 0 ) можно попасть, не нарушая связи, лишь в положения( x, y, ϕ ) , удовлетворяющие равенствуf ( x, y , ϕ ) = f ( x0 , y 0 , ϕ 0 )Покажем, что в действительности, можно попасть в любое положение, не нарушая связи. Действительно, повернем конек так, чтобы лезвие смотрело в точку ( x, y ) плоскости. Затем, продвинем конек по прямой до этой точки. Затем, повернем конек так, чтобы угол стал равен ϕ . Доказательствозакончено.13-Уравнения Лагранжа 1-го и 2-го рода-4Пример 3. Шар, катящийся без проскальзывания по шероховатой плоскости. Связь: точки касания (нижней точки шара) равна нулю.Задача. Доказать, что связь интегрируемая.Виртуальные перемещения δq в случае неинтегрируемых (или непроинтегрированных) связей определяются как удовлетворяющие равенствамm∑ a (q ,K, ql =1l1m, t )δql = 0где связь имеет вид (+++).Проверить, что в случае интегрируемой связи определение совпадает с приведенным выше.Вопросы к материалу Лекция 13-1.• Учение о связях.

Голономные связи.• Конфигурационное пространство. Конфигурационное многообразие.• Обобщенные координаты. Число степеней свободы системы.• Склерномные (стационарные) связи.• Виртуальные перемещения.• Неголономные связи.• Конек Чаплыгина.• Виртуальные перемешения для неинтегрируемых связей.Лекция 13-2Уравнения движения систем со связями.Пусть F j = F j (r1 , K, rn , r&1 ,K, r&n , t ) - сила, действующая на j -ю точку, когда связи не наложены.

Чтобы система не сходила со связей , должны действовать дополнительные силы – реакциисвязей R j . Силы F j называются активными. Итак, уравнения движения – следующиеm j &r&j = F j + R jТо, что наложение связей можно заменить действием каких-то сил R j является аксиомойклассической Ньютоновской механики.Аксиома освобождения от связей. Для любого действительного движения системы(r1 (t ),K, rn (t )) можно добавить некие силы – реакции связей R j (t ) , так, что, при отбрасывании связей, движение останется таким же.Содержательность этой аксиомы состоит в том, что R j - это Ньтоновские силы, т.е.