Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » PDF-файлы » В.М. Тихомиров - Вариационное исчисление и оптимальное управление

В.М. Тихомиров - Вариационное исчисление и оптимальное управление, страница 8

Описание файла

Файл "В.М. Тихомиров - Вариационное исчисление и оптимальное управление" внутри архива находится в папке "В.М. Тихомиров - Вариационное исчисление и оптимальное управление". PDF-файл из архива "В.М. Тихомиров - Вариационное исчисление и оптимальное управление", который расположен в категории "лекции и семинары". Всё это находится в предмете "вариационное исчисление и операционное управление" из седьмого семестра, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст 8 страницы из PDF

â®â १ã«ìâ â ­ §ë¢ îâ ¨­®£¤  ¢â®à®© ⥮६®© ®â¤¥«¨¬®áâ¨.„®ª § â¥«ìá⢮.…᫨f=f ∗∗ ,â®f ∈ClCof (X ) (®¡ í⮬ £®¢®à¨-«®áì).…᫨ f ≡ ∞ à ¢¥­á⢮ f ∗∗ = f á«¥¤ã¥â ¨§ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï.DZãáâì f ∈ ClCof (X ) ¨ áãé¥áâ¢ã¥â í«¥¬¥­â x0 â ª®©, çâ® f (x0 ) < ∞.’®£¤  (x0 , f (x0 )1 ) 6= epif ¨ ¨§ ¢â®à®© â¥®à¥¬ë ®â¤¥«¨¬®á⨠᫥¤ã¥â, çâ® ­ ©¤ñâáï â ª®© «¨­¥©­ë© ä㭪樮­ « (x∗ , β ) ∈ X ∗ × IR çâ®sup(x,α)∈epif hx∗ , xi + αβ > hx∗ , x0 i + (f (x0 ) − 1)β . Ÿá­®, çâ® β > 0, ®âªã¤ á«¥¤ã¥â, çâ® £à ä¨ª  ä䨭­®© ä㭪樨 a0 (x) = h(x∗ /β ), x − x0 i + f (x0 )«¥¨â ¯®¤ epif .¥à ¢¥­á⢮ f (x) ≥ f ∗∗ (x) ∀x ∈ X á«¥¤ã¥â ¨§ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï. „®¯ãá⨬, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â â®çª  x1 â ª ï, çâ® f (x1 ) > f ∗∗ (x1 ). …᫨ x1 ∈domf ⮣¤  ¬ë (ª ª íâ® ¡ë«® ¯à®¤¥« ­® á â®çª®© x0 ) ­ ©¤ñ¬  ä䨭­ãîäã­ªæ¨î a1 (x) = hx∗1 , xi − α1 â ªãî, çâ® a1 (x) = hx∗1 , xi − α1 ≤ f (x) ∀x ∈42X,¨ ⮣¤  f ∗(x1∗ ) ≤ α1(i) ¨ a1 (x1 ) = hx∗1 , xi − α1 > f ∗∗ (x1 )(ii).∗∗∗∗∗ˆ§ (i) ¨ (ii) á«¥¤ã¥â, çâ® hx1 , x1 i > f (x1 ) + f (x1 ), çâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â­¥à ¢¥­áâ¢ã ž­£ . ª®­¥æ, à áᬮâਬ â®â á«ãç ©, ª®£¤  f (x2 ) = ∞, f ∗∗ (x2 ) < ∞.DZਫ®¥­¨¥ ¢â®à®© â¥®à¥¬ë ®â¤¥«¨¬®á⨠¯à¨¢®¤¨â ª áãé¥á⢮¢ ­¨î£¨¯¥à¯«®áª®á⨠¢ X × IR , áâண® ®â¤¥«ïî饩 epif ¨ â®çªã (x0 , f ∗∗ (x0 )).ë«® ¤®ª § ­®, çâ® íâ  £¨¯¥à¯«®áª®áâì ­¥ ¬®¥â ¡ëâì £à ä¨ª®¬  ä䨭­®© ä㭪樨.

‡­ ç¨â, ®­  \¢¥à⨪ «ì­ ", â. ¥. § ¤ ñâáï ãà ¢­¥­¨¥¬ hx∗2 , xi = β2 . DZãáâì ¢ ¤®¯®«­¥­¨¥ ª í⮬ã hx∗2 , xi ≤ β2 ∀x ∈ domf¨ hx∗2 , x2 i > β2 .  áᬮâਬ ᥬ¥©á⢮  ä䨭­ëå ä㭪権 aµ (x) =a0 (x) + µ(hx∗2 , xi − β2 ), µ ≥ 0. ƒà ä¨ª¨ ¢á¥å íâ¨å  ä䨭­ëå äã­æª¨© «¥ â ¯®¤ epif ,   ¯à¨ ¤®áâ â®ç­® ¡®«ì讬 µ ®­ ¡ã¤¥â «¥ âì ­ ¤(x2 , f ∗∗ (x2 )). Š ª ¬ë §­ ¥¬, íâ® ­¥¢®§¬®­®, çâ® ¤®ª §ë¢ ¥â ⥮६㔥­å¥«ï { Œ®à®.⊓⊔„¢¥ ä®à¬ã«ë ¨áç¨á«¥­¨ï á㡤¨ää¥à¥­æ¨ «®¢DZãáâì X | «¢¯ ¨ fi , i = 1, 2 | ¤¢¥ ¢ë¯ãª«ë¥ ä㭪樨, ­¥¯à¥à뢭륢 â®çª¥ xb. ’®£¤  ¨¬¥îâ ¬¥áâ® ä®à¬ã«ë:b) = ∂f1 (xb) + ∂f2 (xb) (⥮६  Œ®à® { ®ª ä¥«« à );∂ (f1 + f2 )(xb) = ∂f1 (xb)o ∪ ∂f2 (xb) (⥮६  „ã¡®¢¨æª®£® { Œ¨«î⨭ ).∂ (f1 ∨ f2 )(x(¥§ ¤®ª § â¥«ìá⢠.)4.3.ˆáç¨á«¥­¨¥ á㡤¨ää¥p¥­æ¨ «®¢ ¨ ¯p¨­æ¨¯‹ £p ­  ¤«ï ¢ë¯ãª«ëå § ¤ ç…᫨ f | ¢ë¯ãª« ï äã­ªæ¨ï, â® ­¥®¡å®¤¨¬ë¬ ¨ ¤®áâ â®ç­ë¬ ãá«®¢¨¥¬ ⮣®, çâ® í«¥¬¥­â xb ¤®áâ ¢«ï¥â ( ¡á®«îâ­ë©) ¬¨­¨¬ã¬ f , ï¥âá«î祭¨¥ 0 ∈ ∂f (⥮६  ”¥à¬  ¤«ï ¢ë¯ãª«®© § ¤ ç¨ ¡¥§ ®£à ­¨ç¥­¨©).

 áᬮâਬ ⥯¥àì ¢ë¯ãª«ãî § ¤ çã á ®£à ­¨ç¥­¨ï¬¨.(’¥®à¥¬  Š àãè  { Šã­  { ’ ªª¥à  | ¯p¨­æ¨¯ ‹ £p ­ ¤«ï ¢ë¯ãª«ëå § ¤ ç). DZãáâì ¢ § ¤ ç¥’¥®à¥¬ f0 (x) → min,¯p®áâp ­á⢮IR ∪ {+∞}λ1 ≤ i ≤ m,(P )x∈Aª®­¥ç­®¬¥p­® (¨«¨, ®¡é¥¥, «¢¯), ä㭪樨¢ë¯ãª«ë ¨ ­¥¯p¥pë¢­ë ¢ â®çª¥¯®¤¬­®¥á⢮­ ¡®pXfi (x) ≤ 0,X.T®£¤ , ¥á«¨= (λ0 , λ1 , . . . , λm ) =6 0bxb ∈ A,x£¤¥| p¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨A(P ),fi:X →| ¢ë¯ãª«®¥â® ­ ©¤¥âáשּׂ®¨â¥«¥© ‹ £p ­  â ª®©, çâ®  )434.

‚›DZ“Š‹€Ÿ „‚Ž‰‘’‚…Ž‘’œ ˆ ˆ‘—ˆ‘‹…ˆ…= 0, 1 ≤ i ≤ m¨ á) ¢ë¯®«­¥­Pmä㭪樨 ‹ £p ­  L(x, λ) =i=0 λi fi (x):λ≥0,b)b)λi fi (x¯p¨­æ¨¯ ¬¨­¨¬ã¬  ¤«ïmin L(x, λ) = L(xb, λ).x∈Aâ®â १ã«ìâ â ¬ë ­ §ë¢ ¥¬¤ ç.¯à¨­æ¨¯®¬ ‹ £à ­  ¤«ï ¢ë¯ãª«ëå § -b | à¥è¥­¨¥ (P ) (­¥ ®£à ­¨ç¨¢ á¥¡ï ¢ ®¡é„®ª § â¥«ìá⢮. DZãáâì x­®áâ¨, ¬®­® áç¨â âì, çâ® f0 (xb) = 0). ’®£¤  xb ï¥âáï à¥è¥­¨¥¬ ¨â ª®© § ¤ ç¨ ¡¥§ ®£à ­¨ç¥­¨©:f (x) → min, x ∈ X £¤¥ f (x) = max(fi (x), 0 ≤ i ≤ m) + δA(x) = g(x) +b), ¯® ⥮६¥ Œ®à®-®ª ä¥«« à δA(x). DZ® ⥮६¥ ”¥à¬  0 ∈ ∂f (x∗∗­ ©¤ñâáï í«¥¬¥­â x ∈ X â ª®©, çâ® x∗ ∈ X ∗ â ª®©, çâ® x∗ ∈b), −x∗ ∈ ∂δA(xb.

«¥¬¥­â x∗ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¯® ⥮६¥ „ã¡®¢¨æª∂g(xP∗®£®-Œ¨«î⨭  ¢ ¢¨¤¥ x∗ = m0, λi fi (xb) = 0, i ≥ 1,i=0 λi xi , λi ≥Pm∗b). Žáâ ñâáï ¯®«®¨âì L(x, λ) =xi ∈ ∂fi (xi=0 λi fi (x), ¨ ¬ë ¯à¨å®¤¨¬ ª ¯à¨­æ¨¯ã ¬¨­¨¬ã¬ .⊓⊔4.4.„¢®©á⢥­­®áâì ¨ ¨áç¨á«¥­¨¥ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ïž­£ {”¥­å¥«ï ¨ ¨å ¯à¨«®¥­¨¥ ª ¤¢®©á⢥­­®á⨢ë¯ãª«ëå § ¤ ç ç­¥¬ á ®¡é¥© áå¥¬ë ¯®áâ஥­¨ï ¤¢®©á⢥­­®© § ¤ ç¨ ª ¤ ­­®©.DZãáâì X | «¢¯, X ∗ | ᮯàïñ­­®¥ ¯à®áâà ­á⢮, f ∈ Conef (X ).  áᬮâਬ § ¤ çãf (x) → min, x ∈ X.(P )‚ª«î稬 ¥ñ ¢ ᥬ¥©á⢮ § ¤ ç, § ¢¨áïé¨å ®â ­¥ª®â®à®£® ¯ à ¬¥âà  y ∈Y (£¤¥ Y | ⮥ «¢¯), à áᬮâॢ äã­ªæ¨î F : X × Y → IR â ªãî, çâ®F (x, 0) = f (x) ¤«ï ¢á¥å x ∈ IRn . ‘¥¬¥©á⢮ § ¤ ç:F (x, y ) → min,x ∈ IRn(P y )­ §®¢ñ¬ ¢®§¬ã饭¨¥¬ § ¤ ç¨ (P ),   äã­ªæ¨ï S : IRm → IR, ᮯ®áâ ¢«ïîé ï y §­ ç¥­¨¥ S (y ) § ¤ ç¨ (P y ), ­ §®¢ñ¬ S -ä㭪樥© ᥬ¥©á⢠(P y ). ©¤ñ¬ äã­ªæ¨î, ᮯàïñ­­ãî á S ¢ á¬ëá«¥ ž­£ {”¥­å¥«ï.

ˆ¬¥¥¬:44S (y∗∗) = supy∈Y∗hy , yi −inf F (x, y) = sup (h0, xi + hy , yi − F (x, y)),x∈Xx∈X,y∈Y£¤¥ ¢ëà ¥­¨¥ á¯à ¢  | ᮯà省­ ï äã­ªæ¨ï ª F ¢ â®çª¥ (0, y ∗ ).„¢®©á⢥­­®© § ¤ ç¥© ª (P ) (®â­®á¨â¥«ì­® § ¤ ­­®£® ¢®§¬ã饭¨ï)­ §®¢ñ¬ § ¤ çã−F ∗ (0, y ∗ ) → max, y ∗ ∈ Y ∗ .((P ∗ )…᫨ ¯à¥¤¯®«®¨âì, çâ® S ∈ Conef (X ), â® ¢ ᨫã â¥®à¥¬ë ¤¢®©á⢥­­®á⨠¤«ï ä㭪権 §­ ç¥­¨ï ¯àאַ© ¨ ¤¢®©á⢥­­®© § ¤ ç¨ ᮢ¯ ¤ îâ.DZਬ¥­¨¬ íâã ª®­áâàãªæ¨î ª § ¤ ç¥ «¨­¥©­®£® ¯à®£à ¬¬¨à®¢ ­¨ï¢ ­®à¬ «ì­®© ä®à¬¥:c · x → min,Ax ≥ b,x ≥ 0,(i)£¤¥, ª ª ®¡ëç­®, x ∈ IRn , c ∈ (IRn )′ , A | ¬ âà¨æ  à §¬¥à  m × n, b ∈ IRm¨ ­¥à ¢¥­á⢮ ¬¥¤ã ¢¥ªâ®à ¬¨ ¯®­¨¬ ¥âáï ¯®ª®®à¤¨­ â­®.‡ ¯¨è¥¬ ¢®§¬ã饭¨¥ § ¤ ç¨ (i) § ¯¨è¥âáï ¢ ¢¨¤¥c · x → min,−Ax + b ≤ y,x ≥ 0.(ii)’®£¤ −F ∗ (0, y ′ ) = − sup(y ′ · (−Ax + b) − c · x) =x≥0inf (−y ′ · b + (y ′ A + c) · x).0x≥Œ­®¥á⢮ â¥å y ′ , £¤¥ íâ  äã­ªæ¨ï à ¢­  −∞, ¬®­® ®â¡à®á¨âì, â ªª ª ­ á ¨­â¥à¥áã¥â ¥¥ ¢¥àå­ïï £à ­ì.

’ ª¨¬ ®¡à §®¬, y ′ A ≥ −c ¨ ¢í⮬ á«ãç ¥ −F ∗ (0, y ′ ) = −y ′ · b. …᫨ ᤥ« âì § ¬¥­ã ξ = −y ′ , ⮤¢®©á⢥­­ ï § ¤ ç  ª (i) § ¯¨è¥âáï ¢ ¢¨¤¥ξ · b → max,ξA ≤ c,ξ ≥ 0.(i∗ )¯¨£à ä S -ä㭪樨 ¢®§¬ã饭¨ï (ii) § ¤ ç¨ (i) | ¯®«¨í¤à «ì­ë© ª®­ãá, á«¥¤®¢ â¥«ì­®, ®­ § ¬ª­ãâ, â. ¥. á ¬  S -äã­ªæ¨ï § ¬ª­ãâ  ¨ ¯®â¥®à¥¬¥ ”¥­å¥«ï{Œ®à® S = S ∗∗ . ‚ ç áâ­®áâ¨, S (b) = S ∗∗ (b). â® ¯à¨¢®¤¨â ª á«¥¤ãî饬ã १ã«ìâ âã:4. ‚›DZ“Š‹€Ÿ „‚Ž‰‘’‚…Ž‘’œ ˆ ˆ‘—ˆ‘‹…ˆ…’¥®à¥¬ .45„«ï ¯àאַ© ¨ ¤¢®©á⢥­­®© § ¤ ç «¨­¥©­®£® ¯à®£à ¬¬¨à®-|S (b)| = ∞, «¨¡® |S (b)| < ∞.(i) à ¢­® −∞, «¨¡® ¬­®¥b ¨‚® ¢â®à®¬ á«ãç ¥ à¥è¥­¨ï x¢ ­¨ï ¨¬¥¥â ¬¥áâ®  «ìâ¥à­ â¨¢ : «¨¡®‚ ¯¥à¢®¬ á«ãç ¥ «¨¡® §­ ç¥­¨¥ § ¤ ç¨á⢮ ¤®¯ãá⨬ëå í«¥¬¥­â®¢ ¯ãáâ®.ξb ®¡¥¨å§ ¤ ç áãé¥áâ¢ãîâ, ¨å §­ ç¥­¨ï à ¢­ë ¨ ªà¨â¥à¨¥¬ à¥è¥­¨©ï¢«ï¥âáï à ¢¥­á⢮€«£®à¨â¬ëb · c = ξb · b.xŒ­®£¨¥  «£®à¨â¬ë ­ å®¤¥­¨ï à¥è¥­¨© íªáâ६ «ì­ëå § ¤ ç ®á­®¢ë¢ îâáï ­  ¨¤¥ïå 楫¥á®®¡à §­®£® á¯ã᪠,   â ª¥ ¬¥â®¤ å ®âá¥ç¥­¨ï ¨ èâà ä .

Œ­®£¨¥ ¬¥â®¤ë ¢ë¯ãª«®© ®¯â¨¬¨§ æ¨¨ ¨ ¨§¢¥áâ­ë©á¨¬¯«¥ªá-¬¥â®¤ à¥è¥­¨ï § ¤ ç «¨­¥©­®£® ¯à®£à ¬¬¨à®¢ ­¨ï ®á­®¢ë¢ ¥âáï ­  ¨¤¥¥ 楫¥á®®¡à §­®£® á¯ã᪠. ‚¥á쬠 íä䥪⨢­ë ¬¥â®¤ë¢ë¯ãª«®© ®¯â¨¬¨§ æ¨¨. ˆá¯®«ì§ãï ¨¤¥î ®âá¥ç¥­¨ï, ¢ ­¨å 㤠ñâáï ¤®¡¨âìáï á室¨¬®á⨠(¯® ä㭪樮­ «ã) ᮠ᪮à®áâìî £¥®¬¥âà¨ç¥áª®© ¯à®£à¥áᨨ ­¥§ ¢¨á¨¬® ®â à §¬¥à­®á⨠§ ¤ ç¨.Œ¥â®¤ 業âà¨à®¢ ­­ëå á¥ç¥­¨© áᬮâp¨¬ á«¥¤ãîéãî ¯à®¡«¥¬ã:­ªæ¨¨f­ ©â¨ ¬¨­¨¬ã¬ ¢ë¯ãª«®© äã-­  ¢ë¯ãª«®¬ ª®­¥ç­®¬¥à­®¬ ª®¬¯ ªâ­®¬ ¬­®¥á⢥f (x) → min,x ∈ A.A ⊂ IRd :(P1 )â® | ®¡é ï ¯à®¡«¥¬  ¢ë¯ãª«®© ª®­¥ç­®¬¥p­®© ®¯â¨¬¨§ æ¨¨.‚ á¥p¥¤¨­¥ è¥á⨤¥áïâëå £®¤®¢ €. ‹¥¢¨­ ¨§ ®áᨨ ¨ „. ì­¨§ ‘˜€ ¯p¥¤«®¨«¨ ¬¥â®¤ ¯®¨áª  ¬¨­¨¬ã¬  ¢ § ¤ ç¥ (P1 ), (¢ ª®â®à®© f ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 ,   ¬­®¥á⢮ A ᮤ¥à¨â ¢­ãâ७­îî â®çªã),¡ §¨àãî騩áï ­  ⥮६¥ ƒàî­¡ ã¬ -• ¬¬¥p . ‘®£« á­® í⮩ ⥮६¥, ¥á«¨ ç¥à¥§ 業âà âï¥á⨠­¥ª®â®à®£® ¢ë¯ãª«®£® ⥫  A ¢ d-¬¥à­®¬¯à®áâà ­á⢥ ¯à®¢¥á⨠£¨¯¥à¯«®áª®áâì, â® ®­  à §®¡ì¥â ⥫® ­  ¤¢  ¬­®¥á⢠ A′ ¨ A′′ ¨ ¯à¨ í⮬ ®¡ê¥¬ «î¡®£® ¨§ íâ¨å ¯®¤¬­®¥á⢠­¥ ¯à¥¢®á室¨â ¢¥«¨ç¨­ë (1 − 1/e) ®¡ê¥¬  ¬­®¥á⢠ A.â®â ¬¥â®¤ ¯®«ã稫 ­ §ë¢ ­¨¥ ¬¥â®¤  業âà¨à®¢ ­­ëå á¥ç¥­¨©).Ž¯¨á ­¨¥ ¬¥â®¤ .

Ž¡®§­ ç¨¬ ­ ç «ì­®¥ ⥫® A ç¥à¥§ A0 .  ©¤¥¬â®çªã x0 = grA0 , ïîéãîáï 業â஬ âï¥á⨠A0 . ‚ëç¨á«¨¬ f ′(x0 ).…᫨ íâ®â ¢¥ªâ®à | ­ã«¥¢®©, § ¤ ç  à¥è¥­ : ¬¨­¨¬ã¬ 㥠­ ©¤¥­. €¥á«¨ íâ®â ¢¥ªâ®à ®â«¨ç¥­ ®â ­ã«ï, ¬®­® ®â¡à®á¨âì ç áâì A0 , «¥ éãî¢ ¯®«ã¯à®áâà ­á⢥ ′0 := {x | hf ′ (x0 ), x−x0 i > 0} (¨¡®, ª ª ¬ë ¯®¬­¨¬,¤«ï «î¡®© ¢ë¯ãª«®© ä㭪樨 ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮ f (x) − f (ξ ) ≥hf ′ (ξ ), x − ξi, ¨, §­ ç¨â, ¥á«¨ x ∈ A0 ∩ ′0 , â® f (x) > f (x0 ) ≥ min f .)46Žáâ ¢èãîáï ¯®á«¥ ®â¡à á뢠­¨ï A0 ∩′0 ç áâì ®¡®§­ ç¨¬ A1 ¨ ¯®¢â®à¨¬¢áî ¯à®æ¥¤ãàã á­®¢ .

ˆ â ª ¤ «¥¥.DZ®á«¥¤®¢ â¥«ì­®áâì, á室ïéãîáï ª à¥è¥­¨î § ¤ ç¨, áâநâáï â ª.DZ®á«¥ n-⮣® è £  ¢ë¡¥à¥¬ â ªãî â®çªã ξn á।¨ {x0 , ..., xn−1 }, ¢ ª®â®à®© §­ ç¥­¨¥ f ­¥ ¡®«ìè¥, 祬 «î¡®¥ ¨§ §­ ç¥­¨© {f (xi ) 0 ≤ i ≤ n − 1}.„®ª ¥¬, çâ® f (ξn) á室¨âáï ª fmin ᮠ᪮à®áâìî £¥®¬¥âà¨ç¥áª®©¯à®£à¥áᨨ. „¥©á⢨⥫쭮, ­¥ ®£p ­¨ç¨¢ á¥¡ï ¢ ®¡é­®áâ¨, ¬®­®áç¨â âì, çâ® 0 ∈ A0 ¨ íâ® { â®çª  ¬¨­¨¬ã¬  ¢ § ¤ ç¥ (P1 ).

DZãáâì(V old An /V old A0 )1/d < α < 1. (V old ‘ | ®¡ê¥¬ d-¬¥p­®£® ¬­®¥á⢠‘). ’®£¤  ¯® ®¯p¥¤¥«¥­¨î V old (αA0 ) > V old An , â. ¥. ­ ©¤¥âáï í«¥¬¥­âx ∈ αA0 \An . ˆ§ ª®­áâàãªæ¨¨  «£®à¨â¬  á«¥¤ã¥â, çâ® à § í«¥¬¥­â x ¡ë«®â¡à®è¥­, §­ ç¨â, f (x) > f (xs) ¤«ï ­¥ª®â®à®£® s,   §­ ç¨â, f (x) > f (ξn ).® x ∈ αA0 , á«¥¤®¢ â¥«ì­®, x = αξ, ξ ∈ A0 ¨ §­ ç¨â, (ç¥p¥§ V arf ®¡®§­ ç¥­  ¬ ªá¨¬ «ì­ ï p §­®áâì f (x) − f (0), x ∈ A):f (ξn ) < f (x) = f (αξ ) + 0(1 − α)) ≤ αf (ξ ) + (1 − α)f (0) =deff (0) + α(f (ξ − f (0)) ≤ f (0) + αV arf α ≤ f (0)+(V old An /V old A0 )1/d V arf≤ f (0) + (1 − e−1 )n/d V arf.Œ¥â®¤ 業âà¨à®¢ ­­ëå á¥ç¥­¨© ­¥ ¯®«ã稫 ¯à ªâ¨ç¥áª®£® à á¯à®áâà ­¥­¨ï ¢ ᨫã âà㤭®á⨠­ å®¤¥­¨ï 業âà  âï¥áâ¨.

® ¥£® ®á­®¢­ ï ¨¤¥ï ¯à¨¬¥­¨¬  ª ¯®áâ஥­¨î  «£®à¨â¬®¢, ¨¬¥îé¨å ¡®«ì讥 ¯à ªâ¨ç¥áª®¥ §­ ç¥­¨¥. ‚®â ®¤¨­ ¨§ â ª¨å  «£®à¨â¬®¢.Œ¥â®¤ ®¯¨á ­­ëå í««¨¯á®¨¤®¢Œ¥â®¤ ®¯¨á ­­ëå í««¨¯á®¨¤®¢ ®á­®¢ ­ ­  ª®¬¡¨­ æ¨¨ ¤¢ãå ¨¤¥© |¨¤¥¥ ®âá¥ç¥­¨ï, ® ª®â®à®© £®¢®à¨«áì à ­¥¥, ¨ ­  â ª®¬ £¥®¬¥âà¨ç¥áª®¬ä ªâ¥: ¯®«®¢¨­ã í««¨¯á®¨¤  ¬®­® ¯®¬¥áâ¨âì ¢ í««¨¯á®¨¤ ®¡ê¥¬ ¬¥­ì襣® , 祬 ¨§­ ç «ì­ë© í««¨¯á®¨¤! DZਠí⮬ 業âà ­®¢®£® í««¨¯á®¨¤  ¬®­® ¢ëç¨á«¨âì ¯® ¯®«ãí««¨¯á®¨¤ã á § âà â®© ¯®à浪  d2®¯¥à æ¨©. DZ®áâந¬ ®¯¨á ­­ë© í««¨¯á®¨¤.‚ á¨«ã  ä䨭­®á⨧ ¤ ç¨ ¬®­® áç¨â âì, çâ® ¨§­ ç «ì­ë© í««¨Pd2¯á®¨¤ { íâ® è à k=1 xk ≤ 1,   ¯®«ãè à á®á⮨⠨§ â®ç¥ª í⮣® è à  á­¥®âà¨æ â¥«ì­®© ¯®á«¥¤­¥© ª®®à¤¨­ â®©. DZ®¬¥á⨬ 業âà ®¯¨á ­­®£®í««¨¯á®¨¤  ¢ â®çªã ξ á ª®®à¤¨­ â ¬¨ (0, .

. . , 0, 1/overd + 1) ¨ ®¯à¥¤¥«¨¬í««¨¯á®¨¤ ­¥à ¢¥­á⢮¬1 x2 (d2 − 1) (xd − 1 )2 (d + 1)2d+1k+2dd2k =1d−X≤ 1.4. ‚›DZ“Š‹€Ÿ „‚Ž‰‘’‚…Ž‘’œ ˆ ˆ‘—ˆ‘‹…ˆ…47Ž¡êñ¬ ¯®áâ஥­­®£® í««¨¯á®¨¤  à ¢¥­ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨î ¯®«ã®á¥© ­  ®¡êñ¬¥¤¨­¨ç­®£® è à , ¨ ¤¥«¨âì ¯®â®¬ ­ ¤® ­  ®¡êñ¬ ¥¤¨­¨ç­®£® è à , â ªçâ® ¨­â¥à¥áãîé ï ­ á ¢¥«¨ç¨­  à ¢­ d−1dddd√α(d) ==.d+1(d − 1)(d−1)/d (d + 1)(d+1)/dd2 − 11¥§ âà㤠 ¤®ª §ë¢ ¥âáï, çâ® α(d) < e− 2(d+1) ¤«ï «î¡®£® ­ âãà «ì­®£®d ≥ 2.€ ⥯¥àì ¬®­® ®¯¨á âì ¨ á ¬  «£®à¨â¬. Ž¡®§­ ç¨¬ ç¥à¥§ E0 ­¥ª®â®àë© í««¨¯á®¨¤, ᮤ¥à é¨© ¢ ᥡ¥ ¬­®¥á⢮ A.

…᫨ ¥£® 業âà c0­¥ ¯à¨­ ¤«¥¨â A, ¯à®¢¥¤¥¬ ç¥à¥§ c0 £¨¯¥à¯«®áª®áâì, ­¥ ᮤ¥à éãîâ®ç¥ª ¨§ A ¨ ®â¡à®á¨¬ ¯®«®¢¨­ã í««¨¯á®¨¤ , ­¥ ¯¥à¥á¥ª îéãîáï á A.…᫨ ¥ c0 ∈ A, ¢ëç¨á«¨¬ f ′ (c0 ), ¯à®¨§¢¥¤¥¬ ®âá¥ç¥­¨¥ "¯® ‹¥¢¨­ãì­ã" ¨ á­®¢  ¬ë ¯®«ã稬 ¯®«®¢¨­ã í««¨¯á®¨¤ , ª®â®àãî ®¡®§­ ç¨¬ E0′ . € ⥯¥àì ®¯¨è¥¬ ¢®ªà㣠E0′ í««¨¯á®¨¤ ¬¥­ì襣® ®¡ê¥¬ , 祬®¡ê¥¬ E0′ , ®¡®§­ ç¨¬ ­®¢ë© í««¨¯á®¨¤ E1 ¨ ­ ç­¥¬ ¢á¥ á­ ç « . â®â ª¥ ¯à¨¢®¤¨â ª áâ६«¥­¨î ¯® ä㭪樮­ «ã ᮠ᪮à®áâìî £¥®¬¥âà¨ç¥áª®© ¯à®£à¥áᨨ. Œ¥â®¤ í««¨¯á¨¤®¢ á室¨âáï ¬¥¤«¥­­¥¥, 祬 ¬¥â®¤1業â஢ âï¥áâ¨, â ª ª ª ¯à¨ ¡®«ìè¨å d ¢¥«¨ç¨­  e− 2(d+1) ¬¥­ìè¥, 祬1 − e−1 ¢ ¬¥â®¤¥ ‹¥¢¨­ -ì­ .

Свежие статьи
Популярно сейчас