Агаева, Ершова, Зотина (МУ, Лекции и Семинары по ТФКП)

Министерство высшего к среднего скандального обраэованни СССР Московское ордене Ленина и ордена Трудового Красного Знамени вышнее текническое училище им. Н.Э. Баумана Э,И. Агеева, М.И, Ершова. Р.С. Зотина Утверждено редсоветом МВТУ как учебное нособие Пособие по теории функвий комдлексного деременного Ванное пособие по практической части теорни функций комплексного переменного нздаетск в соответствии с учвбным планом Рассмотрено и одобрено кафадрой 'Высшан математика 3/УП-78 г., Матодичеокой комисоней факультета ОТ и Учебноматодическим управланием.

Рвценэеиты к.т.н. доц. МВТУ Иналова Е.Л. к.т,н, доц. МИРЭА Мордасова Г.М. Агаева Эльза Ибрагимовна, Ершова Маргарита Игнатвевна, Зотина Римма Сергеевна Редактор Л,П. Кистанов Корректор Л.И. Малютина Заказ ЗсЗ Обьем 4,2бдл. (Ф,1 уч.-иад.л.) ТиРаж 2000 акз. Пена 16 коц. Подписано к цечатн 12.06.79г: План 1979г ЖВВ. Ротапринт МВТУ, 107006, Моокаа, Б 43, 2-и Бауманская, 6. Банное пособяе предназначено для самостоятельной )аботы иа практических занятиях по математике студентов чегвертсго семеотра. В нем представчеяы разработки для семи занятий, соответствующих календарному плану прохождения данной темы.

Предполагается, что студенты прорабатывают материал самостоятельно в присутствии прелодевателн и при необходимо сти могут получить его консультапню, Бель денного пособия - активизировать работу студентов, на- учить работать самостоятельно с книгой, что будет способствовать улучшению качества подготовки студентов по данному разделу. В занятиях рассматриваются следуюлпш темы: 1) действия пад комплексными числами и их геометричео- кая ннтерпретапюц 2) задание областей на комплексной плоскости, функция комплексного переменного н ее геометрическая интерпретация; 3) элементарные функции комплекснса'о переменного, диф- фереяпнрованнв функций, условие анвжтичности функций; 4) геометрический смысл модуля и аргумента производной, конформньш отображения1 8) числовые ряды с комлю.вислыми членами, их сходнмость, ряды Тейлора н Лорана, нх обчвсти сходимости; 6) разложение функций комплексного переменнаго в ряд Тейлора ялн в ряд Лорана) 7) особые точки, ик класса~шепни, понятие вычета н вы- числение вычетов, вычисление интегралов с помошью вычетов.

Каждое занятна состоит нз краткого теоретического вве- дения, решения типовых прнмеров я контрольных заданий, пред- назначенных для выполнении студентами. Бель контрольных за- даний - выработка самоконтроля студентов при усвоении ирой- денной темы. ЗАНЯТИЕ 1. Комплексные чиола, формы ик задания, геометрическое изображение. Г,айствия над комплексными числамя 6 1.

К ~плах е чн ын а е асс.Л~ф, Х н О ) аЪ~а ам~ф+1, Х сО, У~О; а и (:9 ф- - Т', Х с О, Цо с 0 б. Выражение действительной н мнимой чаотей комплексного числа через модуль и аргумент Х йа Х я!Х! СОй аЧй Х; (4) цаЮмй-!3!.~Па~ й .' 6. Формы задания комплексных чисел: а) ~р~еская - У Х ЬЦ, (б) б) тригонометрическая - ье!ь! (Ъбаъ~Р+ьб~лскфх) (8) в) показательная - Е щ и'аЧ~ (7) (3) 1.

Огнищ)еленке. Комплеконым числом называется выражение вида ХчХ+Ц, где Х н Ц - действительные числа> (. - мнимая единипа ~Р=-() 1 Х -Кба - действительная часть й; Ц н Зп\ а мнкмая часть 2. Геометрическое изображение комплексного чиода, Геометричеоки комплексное число Х еХ+Щ задается точкой на плоокости М(Х,Д) или радиусом вектором втой точки ОГ( "-(Х,Ц). 3, Определение. Модулем коь(~попого числа Хч С~ называется длина радиуса вектора 1)г! .

Модуль обозначается через )а! и вычисляется по формуле !Х! нБ*+У' (1) 4. Определение. Аргументом комплеконого числа К т ь1~ называетоя угол, который образует радиус вектор данного числа с положительным направлением оси ОХ . Обозначается через Д ц), К . Главным значением аргумента 0:Ч) й называется а гуХюнт, лежаший в промежутке~-%~%3 . Очевидно, что аргумент Х н главное значение аргумента к связаны следуклдим соотношениеьд Ясса д аЛуЪ+2%.'К, К а О,й(,Х2, ... (2) Главное значение аргумента Х (рио.

1) определяетса по формуле Рис. 1 Примеры: эаписать комплексные числа, эаданные в алгебра«еской форме, в тригонометрической и покаэательной формах. ~эобразить данные числа геометрически. указать иа чертеже пни данного числа ! й(,ач,й,ййй, ЪаЬ. 1. У. = (+в. 1) Найдем модуль комплексного числа по формуле (1) )е(= (7+Г =6.". 2) Найдем аргумент комплексноге чиепа по формуле (3), у читыван, что Х = ( ъ О ЙЧф Й "- 0.ЪС~ ( = ц- 3) дапишем комплексв з число в тригонометрическом аиде по формуле 16) кв Ц (Сей," + ~вМ 4) Запишем комплексное число в показатепьном виде по формупе (7) я= Ге б) Изобразим чиопо йе(+Ь геометрически (рис.

2) у ио. ис. 2. Е -6'+~" Решим пример по тому же апгорнтыу 1) я~ =О=~а~. 2) так как Ке-1ГЗ<О, а Це(~0, то ().72~-а(С(у(-щ)т) а-$ ( +' 3) З е Я(собф~й + ~б(д б Ф) ° 4) Х еЛЮ "~ б) Изобразим чиспо Ь е-1З+ Ь геометричеоки (рнс. Э). Ф К н ал В 2. ей в! к пле с и щи(о() ~ощ2 Пусть даны два комплексных чнспа З~ =Х~'ч+, Ьха Це~~а. 1. Равенство комплексных чисел. Комплеюные чиода 2<ах,+фи аа" Уч+ "~к равны тогда н толью тогда, когда Х1е тх,~»* я~. Очевидно, )й~~ =Щ ОМ$ц еЮфЪк, Аъ~ 2 Аъ~З +Як%, к-о,б(,т2, ... Записать комппексные чиода в тригонометричесюй и докаоатепьной формах и изобразить нх гр~ачесчи 1. аа-(»(, > 2.

З (» МК. 2. Сложение и вычитание. Суммой чисел Е» н 'яа иаэываетоя комплексное число а»+ка (Х»+ХО+ ЦЧ»ФЦда (3) а разностью чисел Е» и 2а - комплексное число Х» За а(~а Ха) + ( (Я» Ца) ° (3) Прн сложении (или вычиаании) комплексных чисел изображающие их векторы складываются (или вычитаютон) по обычным правилам векторной алгебры. 3. Сопряженные комплексные числа. 11ва комплексных числа 3еХ+а»1 и $ЧХ-~.Д называются сопряженными. Точкк, иэображаюшие сопряженные числа, симметричны относительно действительной ося.

Очевидно, что )Е)е!а1, »Иф%= -ОЛЯМИ. 4. Умножение. Комплексные, числа умножаются как двучлек на пвучлен Ь»'Еа' (Х»+» ЦДХат (ф =(Х» Ха ЦЩ+ ( (Х» Ца т Ц» Ха). Проиэведенне комплексного числа и ему сопряженное является действительным числом, равным кван~эту их модуля 3 Ь =(Х+Щ)(Х-ф = Ха+Ц'=13! 1Й'. (13) 8.

11еление. При делении комплексных чисел + необходимо числитель н энаменатель дроби умножить на число, сопря-. женное знаменателю. В результате получим Й~ Х1+(Я» фд+Сф~Ха-ЬЯЬ) Х»Х +~фЯа ° Ха» ~ Х»Яа ( ) ~г Х +3»1а Х +»~а Х'+»~а Ха+»~,' 6. Возведение в степень. При возведении в степень исполь- зуется бином Ньютона (а+6)"еа"+С„'О"'6+С„'а"'Ь' ...+С,а""6 + ...

6". а При етом следует помнить, что (. х-(, (. е-ь (. а4, ~, е~,( к (, Примерьп даны Е»=Ъ, и каа»-а . Найти 1. Я ~Ь 2. Х,-Х З.У Ъ~, 4. И» . б апач, Изобразить графически данные числа н результаты примеров 1,2,3,4,5. 1, Р»+Ьа Й+» ь "+(" (рис, 4), аа хк""(» а~е (+3" (Р»»с 3)* Равность 2»-~а есть равность векторов Е» и Ьа, ?1гобходпмо этот вектор поместить в ь. чало координат, тогда конел его дает число к» ла, 3.

~» Е к Яб(» -д ~ Яь -Я а = Я+Я а ., -с Лены Ь1а-(+ь16 и Хха2+й61.. Вычислить 1, Ьч+%а, 2. 3~-3а, 3, Ь~ Ьь. 4, -~- . 5, Й~ И! з (14) 1, Сложение и вычнта~пю удобнее произво1п гь в алгебраической Форме. 2. При умножении двух комплексных чисел модули их перемножавтся, а аргументы складывавтся й< ~~4Ц Щ ~сов(Охф3ч+Онф М+~'.30ъОРЯ и+«Ц М~; (12) ((сии) 1, + он~%~) Х< Ь;(3ЩЕ (13) И< 3, При деления двух комлпексиых чв~ эл -на- модули их делятоя, а аргументы вычитается к' . ф~соб(ачба„-(1лу3.)-ьь( (му~,-ал93,я; ((аЧ1 -дну~ ) (16) И, ф 4, При возведении в степень модуль возводится в ту же степень, а аргу ° т умножаетоя на показатель отеиени Р"а(И~" (ССВЛ(РЬ23 Ьь(ППО'ЧЦ.

(16) кс. иа 7 У Рис. 8 Риа 9 При поспедукнпнх значенинх к" значении корней повторяютои в силу периодичности функпий синуса и косинуса, например, при К 3 '4У, 'Гг ~саф+лг) ~ьеЯ-+льД = 6'~ «$+сьм$). о. Вычислить $1 Переведем попкореннсе выражение в показатели ло форму. Подучим (-фъ) -~-ье йЕ Извлечем корень по формуле (19), подучим "й"е ~ й~ -$ьй МВ ) 'Ч2Е~ ", "ПГе~ ', %2Е ~»" КвО Кх1; К=2' к=3' / К=)1.

Все найденные точки являютоя вершинами пятиугольника п1и~- вильного вписанного в круг радиуса 42'~ (рис. О). Кон о н' а 3Ф 3 ЗАНЯТИЕ 2, Геометрия ка комплексной плоскости. Функпия комплексного переменного, ее геомвтрическнй смысл 6 1. Гам ня на пл о в ге м ич н к пле даос~ 1. )2<-2 ) - расстояние между точкамн Ж„и 2 2 )2-Й~ К - уравнение окружности с центром в точке 2~6 и раднуоом К, тех как расстояние всех тсвех 2 Вычислить, переходя от апгебраичесиой формы записи к тригОнометрической фобе, следующие выраженвщ 1.

ЬьО--ИУ) 2. ~у."щ~- З.~~Т-4~ 4. 1-1+~АУ)~ 3. 17 6. " ~27Г-Хь йайаннну да дйм М1. Даны комплексные чийра ц,' 3"'2~~ 2а '"4+ь. Вычис- лить Я~+йе 2 аа ~~+ха ~ 2» йа и построить на комплекс- ной плоскости, %2. Вычислить ) и+ ~а')',,)~~л'" ), 1в 3, Вычислить все зйаченкя корней и построить нх на комп- лексной плоскости а)'1-1+6; б) )-Г ' в) ~:~~ Л7 от постояпной точки О„постояяио и равно Й . З.~Е-Е~~+ ~Е-б~) = ЛО - уравнение эллипса, так как сумма раостояний от двух данных точек Р, я Ик (фонуоов) есть величина постояпная, равная 20.